Correction du contrôle de Mathématiques n°11 : Équations et cosinus Exercice 1 1. Donnez l'expression du cosinus de l'angle 2. En considérant les triangles rectangles Dans le triangle : Dans le triangle : . puis , donnez deux expressions du cosinus de l'angle . Exercice 2 : à l'aide d'un théodolite (appareil utilisé pour mesurer les angles) un géomètre, placé à 40 mètres du bas d'un immeuble, obtient les mesures suivantes : 1. Modélisez la situation à l'aide d'un schéma annoté. Le schéma ci-dessous est à l'échelle. 2. Calculez la hauteur de cet immeuble. Dans le triangle rectangle en : soit : donc : On utilise alors le théorème de Pythagore : soit : donc : Conclusion : l'immeuble mesure m. Exercice 3 : le but de cet exercice est de déterminer une fraction égale à dénominateur est égale à dont la somme du numérateur et du . 1. Le problème consiste à rechercher deux nombres et tels que : Écrire le produit en croix relatif à cette égalité. 2. Par ailleurs, on sait que : . En vous servant de cette égalité, exprimez en fonction de 3. Réécrivez l'égalité de produit en croix en remplaçant N'oubliez pas les parenthèses ! soit : 4. Résolvez l'équation obtenue à la question 3. 5. Proposez une réponse au problème, et vérifiez que votre réponse est juste. On vérifie que donc et de plus : répond bien au problème. : par l'expression que vous avez trouvé à la question 2. L'égalité de produit en croix s'écrit : On a donc trouvé a et b : et Exercice 4 : Si le dragon rouge avait rouge a Soit têtes de plus que le dragon vert, ils en auraient têtes de moins que le vert ! Combien de têtes a le dragon rouge ? à eux deux. Mais le dragon le nombre de têtes du dragon rouge. Le dragon rouge a têtes de moins que le vert donc le dragon vert a 6 têtes de plus que le rouge, donc le dragon vert possède têtes. La somme de leur nombres de têtes est égale à 34, donc : soit : et donc : d'où : Conclusion : le dragon rouge a 14 têtes. Exercice 5 : résolvez l'équation suivante : On commence par supprimer les parenthèses en développant : Puis on simplifie en effectuant les produit : Après les produit viennent les additions et les soustractions : On soustrait de part et d'autre de l'égalité : Soit : D'où le résultat : Soit, en simplifiant par 4 :