TD1. Classes monotones et existence d`une mesure.

Université Pierre & Marie Curie
Année 2011-12
Licence de mathématiques 3
UE LM365
TD1. Classes monotones et existence d’une mesure.
On rappelle que :
Une famille Λ de parties d’un ensemble Ω est appelée λ−système si elle est stable par union croissante
et différence propre :
S
1) Pour toute suite croissante (Sn )n∈N d’éléments de S, on a n∈N Sn ∈ S
2) Pour tout A, B ∈ S tels que A ⊂ B, on a B \ A ∈ S
Une famille M de partie d’un ensemble Ω est une classe monotone si c’est un λ−système contenant
Ω.
On rappelle également que :
a) Une intersection de π−systèmes est un π−système, et qu’une intersection de λ−systèmes est un
λ−système.
b) Soit D un π−système. La classe monotone engendrée par D est égale à la tribu engendrée par D
Convention : Un π−système sur Ω est une classe de sous-ensembles stable par intersections finies et
contient Ω.
Exercice 1. Les classes suivantes sont elles des π−systèmes ? des classes monotones ?
a) L’ensemble des unions finies disjointes d’intervalle du type ]a, b] dans R, avec −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞
(on pose ]a, +∞] =]a, +∞[). L’ensemble {A ∈ P(R) A au plus dénombrable} ∪ {R} dans R.
b) L’ensemble {A ∈ P(N), |A| < +∞} ∪ {N} dans N.
c) L’ensemble des disques ouverts de R2 . L’ensemble des unions finis de convexes de Rd .
d) L’ensemble des compacts d’un espace topologique séparé.
Solution de l’exercice 1.
Si d ≥ 2, la classe des unions finies de convexes n’est pas stable par différence propre : B̄(0, 1)\B(0, 1) =
S(0, 1) (on utilise la norme euclidienne). Si S(0, 1) = ∪pi=1 Ci était union finie des convexes Ci , l’un
d’eux, disons C1 , contiendrait deux points distincts a, b. Mais [a, b] ∩ S(0, 1) = {a, b} et ]a, b[ ne serait
pas contenu dans C1 . Contradiction.
L’ensemble des compacts d’un espace topologique séparé est toujours stable par intersection finie. Si
X est non compact, ce n’est pas un π−système, ni une classe monotone. Si X est compact fini on a
la tribu discrète. Sinon (X compact infini) la classe est non stable par union croissante ou différence
propre : En effet, soit A = {x1 , . . . , xn , . . .} infini dans X. Si A est non compact : A étant union
croissante de sous parties finies on n’a pas stabilité par suite croissante. Si A est compact, soit a ∈ A
un point d’accumulation (dans A ou dans X) alors A \ {a} n’est pas fermé. Remarque : Un espace
compact infini admet toujours un point d’accumulation cad un point x tel que ∀W voisinage de x,
W \ {x} est non vide (ou infini). Sinon tout les points sont isolés, l’espace est discret et compact donc
fini.
Exercice 2. Soit (An )n∈N une suite décroissante de sous ensembles d’un ensemble Ω. Vérifier que
A = {Ai , i ∈ N} est stable par intersection finie et décrire le Λ−système engendré par A.
Solution de l’exercice 2.Considérons A comme une classe de sous ensemble de A0 . On cherche alors
le λ−système sur A0 engendré par A. C’est la tribu engendrée par A. Posons Cn = An \ An+1 et
C∞ = ∩n∈N An . Les Ci sont disjoints. Soit B = {∪i∈I Ci , I ∈ P(N ∪ {∞})}. C’est la tribu sur A0
engendrée par A.
Exercice 3.
1
a) Soient P1 et P2 deux mesures de probabilités sur (Ω, B). Montrer que M = {A ∈ B , P1 (A) =
P2 (A)} est une classe monotone.
Solution de l’exercice 3. Ω ∈ M. P1 et P2 étant des mesures, M est stable par union dénombrable
croissante. Si B ⊂ A sont dans B, P1 (A) = P1 (A\B)+P1 (B). Comme P1 (B) est finie, on a P1 (A\B) =
P1 (A) − P1 (B). Donc M est stable par différence propre.
On déduit de cela que deux mesures finies qui coincident sur un π−système coincident sur la tribu
engendrée par ce π−système.
Exercice 4. Soient µ1 et µ2 deux mesures positives sur (Rd , BRd ) finies sur tout compact (on dit
qu’elles sont des mesures de Radon). On suppose que ∀f ∈ C 0 (Rd ) positive de support compact,
Z
Z
f dµ2 .
f dµ1 =
Rd
Rd
On veut montrer que µ1 = µ2
a) Montrer que la classe C des ouverts d’un espace topologique est un π−système.
b) Montrer que si U est un ouvert borné (non vide) de Rd , il existe une suite croissante (fn )n∈N de
fonctions continues positives de supports compacts inclus dans U telle que limn∈N fn = 1U .
c) En déduire que les deux mesures coincident.
Solution de l’exercice 4.
a) Soit χ : R → R+ une fonction continue telle que χ|]−∞,1] = 0 et χ|[2,+∞] = 1. Alors
fn : Rd 3 x → fn (x) = χ(ndist(x, U c )) ∈ R+
répond à la question (si U est borné) : la fonction x → d(x, U c ) est Lipschitzienne, donc fn est
continue, nulle sur U c donc de support un fermé contenu dans U donc compact si U est borné.
(fn (x))n∈N croit vers 0 si x 6∈ U et 1 si x ∈ U .
Remarque : la propriété est vraie si U est un ouvert quelconque : Si U 6= Rd est un ouvert non
borné : on multiplie par une fonction gn construite via χ2 ( ||x||
n ) avec χ2 affine sur R qui vaut 1
si t ≤ 1 et 0 si t ≥ 2 :
hn : Rd 3 x → gn (x)fn (x) = χ(ndist(x, U c ))χ2 (
||x||
) ∈ R+
n
est de support contenu dans le compact {dist( . , U c ) ≥ n1 } ∩ B(0, , 2n).
Si U = Rd , on prend seulement gn .
b) Donc si U est un ouvert borné :
Z
lim
n→+∞ Rd
Z
fn dµ1 = lim
n→+∞ Rd
fn dµ2 .
Le théorème de convergence monotone entraine que µ1 (U ) = µ2 (U ). Si U est un ouvert quelconque, on a µi (U ) = limn→+∞ µi (U ∩ B(0, n)) (i = 1, 2) donc µ1 (U ) = µ2 (U ).
On applique le lemme des classes monotones pour conclure : les mesures coincident sur le
π−système des ouverts de Rd et sont σ−finies. Elles coincident donc sur la tribu borélienne
qui est la classe monotone engendrée par ce π−système.
Exercice 5. On cherche une version fonctionnelle du lemme des classes monotones :
Soit C une classe stable par intersection finie sur Ω et H un espace vectoriel de fonctions réelles sur Ω
tels que :
2
i) Pour toute suite croissante (hn )n∈N de fonctions positives de H telle que h = supn∈N hn soit
finie, on a h ∈ H,
ii) ∀C ∈ C, 1C ∈ H et 1Ω ∈ H.
Alors H contient toutes les fonctions réelles σ(C)−mesurables finies.
a) Soit S = {A ∈ P(Ω) , 1A ∈ H}. Montrer que S est une classe monotone contenant C.
b) En déduire que H contient l’espace vectoriel des fonctions étagées σ(C)−mesurables.
c) En déduire que H contient toute fonction σ(C)−mesurable.
Solution de l’exercice 5.
a) Par hypothèse, C ∪ {Ω} ⊂ S. Soient S1 , S2 ∈ S telle que S1 ⊂ S2 alors 1S2 −S1 = 1S2 − 1S1 ∈ H
car H est un espace vectoriel. De plus si (Sn )n∈N est une suite croissante de S, on 1∪n∈N Sn =
supn∈N 1Sn ∈ H par hypothèse i).
b) S est une classe monotone contenant le π−système C ∪ {Ω}, elle contient donc σ(C) la plus petite
classe monotone contenant
C. Cad ∀A ∈ σ(C), 1A ∈ H. Mais H est un espace vectoriel, donc
Pn
∀A1 , . . . An ∈ σ(C), i=1 ai 1Ai ∈ H.
c) Toute fonction positive (finie) σ(C)mesurable étant limite croissante de telles fonctions étagées,
sera dans H d’aprés i). Et comme toute fonction σ(C)−mesurable finie h s’écrit h = h+ − h− ,
pour des fonctions mesurables positives finies, on conclut car H est un ev.
3