Chapitre 1

Chapitre 1
Exercices
1.1 Interaction avec la radiation
1.1.1 Unités de spectroscopie
On peut exprimer l’énergie d’une transition de plusieurs façons.
Les raies D 1 D 2 du sodium sont mesurées à 5889.950954 Å et 5895.924247 Å.
Décrire la position et la séparation de ces raies à l’aide des unités suivantes :
1. nm
2. J
3. eV
4. Hz
5. cm−1
6. kWh
7. Tonne de TNT
8. foe (abbreviation de fifty-one ergs)
1.1.2 Correction gravitationnelle
Soit un puits unidimensionnel de profondeur infinie positionné verticalement.
Sa largeur est de 1 nm. Ainsi, l’électron qui s’y trouve est influencé par une attraction gravitationnelle non uniforme. Pour l’état fondamental ∣0⟩, déterminer la
correction énergétique si ce puits se trouve,
1. à la surface de la Terre ;
2. à la surface d’une étoile à neutron où l’accélération est 1010 g .
1
1.1 Interaction avec la radiation
2
Solution
1. 2.79 × 10−20 eV
2. 2.79 × 10−10 eV
La gravité est une très faible force.
1.1.3 Correction anharmonique
Calculer, au premier ordre, la correction à l’énergie du niveau fondamental de
l’oscillateur harmonique produite par des termes anharmoniques prenant la
forme ax 3 + bx 4 , où a et b sont des constantes. Considérer les trois cas suivants :
1. La correction anharmonique est effective pour toutes valeurs de x.
2. La correction anharmonique est effective seulement en compression, x ≤ 0.
3. La correction anharmonique est effective seulement en tension , x ≥ 0.
Solution
1 /4
(1 )
3b
mk
= 4α
4 , où α = ( h
̵2 )
(1 )
3b
mk
= − 2α3aπ1/2 + 8α
4 , où α = ( h
̵2 )
(1 )
3b
mk
= 2α3aπ1/2 + 8α
4 , où α = ( h
̵2 )
1. E 0
2. E 0
3. E 0
1 /4
1 /4
1.1.4 Probabilité de transition sous l’effet de E z
À t = 0, un atome d’hydrogène est perturbé par un champ électrique E z . Déterminer la probabilité de trouver l’électron dans une orbitale 2p z au temps t
si,
1. l’électron est initialement dans l’état 1s et E z (t ) = αt ,
2. l’électron est initialement dans l’état 1s et E z (t ) = βt 2 .
Solution
2
1 2 2
1. ∣a 2p z (t )∣2 = ( 256aeα
̵ 2 ) [1 − cos ωt − ωt sin ωt + 2 ω t ] où a est le rayon de
243hω
Bohr,
2. ∣a 2p z (t )∣2 = (
2
256aeβ
√
) [8 − 8 cos ωt
3
̵
243 2hω
+ 4ω2 t 2 cos ωt − 8ωt sin ωt + ω4 t 4 ].
1.1 Interaction avec la radiation
3
1.1.5 Puits infini
Un puits infini unidimensionnel possède les fonctions d’onde suivante ∣n ⟩ =
√
2
sin ( nπ
x ),
a
a
1. Tracer les fonctions d’onde des quatre premiers niveaux énergétiques permis ;
2. Déterminer, sans faire de calcul, les transitions dipolaires permises entre
ces niveaux et exprimer ces résultats à l’aide d’une règle de sélections.
Quelle est la polarisation de la lumière absorbée ou émise ?
3. Pour un électron dans un puits de largeur a = 5 nm, calculer A f ,i pour la
première transition permise impliquant le niveau fondamental.
On applique un champ électrique E x dans la direction +x.
4. Déterminer l’effet du champ électrique sur l’énergie d’un état ∣n ⟩ et discuter
de l’effet de ce champ sur l’énergie des transitions ;
5. Sous l’effet de ce champ électrique, est-ce que la règle de sélection développée ci-haut est toujours valide ? Qu’arrive-t-il aux transitions permises et
interdites ?
Solution
1.
2. ∆n = ±1, ±3, ±5 . . . La polarisation est selon x puisque l’électron ne peut se
déplacer que selon cet axe.
3. A 21 = 27 921.2 Hz
4. L’énergie est réduite de −aE x e /2 pour tous les niveaux. Les énergies des
transitions ne sont pas affectées. Ainsi, les transitions ne permettent de
déterminer la présence d’un champ électrique au premier ordre.
5. La règle de sélection demeure valide. Cependant, sous l’effet de la perturbation, la fonction d’onde s’exprime comme une superposition de solutions
stationnaires du puits infini. Par exemple, pour le niveau n = 1, la fonction
d’onde prendra la forme
(1 )
∣1⟩ + ∑
Hn1
(0 )
(0 )
n ≠1 E n − E n
(1)
∣n ⟩,
où Hn1 = ⟨n ∣e Ex x ∣1⟩ ≠ 0 si n est une fonction impaire. Ainsi, un niveau de
parité paire (impaire) acquiert une composante de parité impaire (paire).
Étant donné que tous les niveaux possèdent une parité mixte selon l’effet
de x, toutes les transitions deviennent permises.
1.1 Interaction avec la radiation
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1.1.6 Buckyball
Le comportement des électrons π d’une molécule de C60 peut-être représenté par
des particules libres se déplaçant sur la surface d’une sphère creuse de diamètre
a. Comme chacun des atomes de carbone contribue un électron π, il y aura
60 électrons se déplaçant librement sur cette surface. On néglige l’interaction
coulombienne entre ces électrons π ; on les considère donc indépendants, ce qui
simplifie considérablement le problème.
1. Donner les fonctions d’ondes et leurs énergies.
2. En considérant le principe d’exclusion de Pauli, distribuer les soixante
électrons π et déterminez le nombre quantique l du dernier niveau occupé.
À l’aide d’un rayon X, un électron de la couche l = 1 est éjecté de la molécule. Un
électron d’une couche supérieure se désexcite par émission spontanée vers l = 1.
3. Donner le nombre quantique l du niveau supérieur.
F IGURE 1.1: La molécule de C60
4. Calculer le taux d’émission spontanée A. Pour simplifier l’analyse, considérer que la projection du moment angulaire est nulle, m i = m f = 0. Votre
réponse ne doit contenir que a et des constantes fondamentales.
Solution
1. Les fonctions d’onde de ces électrons sont les harmoniques sphériques
Ylm (θ, φ) et les énergies permises sont E l =
̵ 2 l (l + 1 )
2h
.
ma 2
2. l = 5
3. l = 2
4. A =
̵2 e 2
h
512
45 m 3 a 4 π²0 c 3
1.1.7 Puits infini bidimensionnel
Un électron est confiné dans un puits bidimensionnel défini par le potentiel
suivant,
V (x, y ) = {
si − L2 ≤ x ≤ L2 et − L2 ≤ y ≤
∞ partout ailleurs.
0
L
2
Les fonctions d’onde s’expriment à l’aide de deux nombres quantiques, ∣n, m ⟩.
1. Déterminer les fonctions d’ondes, les énergies et les dégénérescences des
trois premiers niveaux.
1.1 Interaction avec la radiation
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2. Donner l’opérateur dipolaire électrique associé à ce problème à deux dimensions.
3. À l’aide de l’opérateur dipolaire électrique, calculer le temps de vie de la
transition ∣2, 1⟩ à ∣1, 1⟩. Simplifier l’expression de façon à ce que celle-ci
s’exprime en fonction de L et des constantes fondamentales.
4. Pour l’opérateur dipolaire électrique, déterminer les règles de sélection sur
m et n.
5. L’opérateur quadripolaire électrique associé à ce problème à deux dimensions inclut des termes en x 2 , y 2 , x y et y x. Déterminer les règles de sélection sur m et n qui en découle.
1.1.8 Émission spontanée et émission stimulée
Calculer le taux d’émission stimulée (W f i = B f i u (E f i )) et le taux d’émission
spontanée pour la transition 3p → 2s d’un atome d’hydrogène placé dans une
cavité à une température de
1. 300 K,
2. 1000 K,
3. 100 000 K.
Solution
T (K)
1.
300
2.
1000
3. 100 000
u (m−3 J s)
1.097 × 10−45
1.782 × 10−23
2.402 × 10−13
Bu (s)
4.16 × 10−25
0.68 × 10−2
9.15 × 107
A (Hz)
2.243 × 107
2.243 × 107
2.243 × 107
La cavité Fabry-Perot permet de produire une densité de radiation similaire à
celle que l’on retrouve à des températures extrêmes.
1.1.9 Temps de vie
Estimer le temps de vie d’un niveau supérieur si la pleine largeur à mi-hauteur
d’une transition est
1. 0.01 cm−1
2. 1.00 cm−1
3. 100 cm−1
1.1 Interaction avec la radiation
6
Solution
1. 531 ps
1.1.10 He :Ne
Un laser He :Ne opère à 50 ○C. Comparer l’élargissement Doppler de la raie 6328 Å
à l’élargissement naturel. Utiliser le temps de vie trouvé dans les notes de cours.
Solution
∆νD
∆νN
= 97
1.1.11 Laser He-Cd : Élargissement isotopique et Doppler
La raie d’émission 441.6 nm des isotopes Cd110 et Cd112 diffère de 1.57 GHz. Soit
un mélange 75 ∶ 25, tracer l’intensité d’émission en fonction de la fréquence si
1. T = 100 ○C
2. T = 400 ○C
Solution
(112)
= 887 MHz et ∆νD
(112)
= 1.19 GHz et ∆νD
1. ∆νD
2. ∆νD
(110)
= 895 MHz
(110)
= 1.20 GHz