UFR Sciences

ANNÉE 2014-2015
Examen terminal
11 décembre 2014
UFR Sciences
LICENCE Sciences et Technologie – 2ème année
Examen terminal
ECP31
Physique du mouvement II
Durée 1,5 heure
Les deux exercices sont indépendants. Documents interdits. Calculatrice interdite.
I Pluton et Charon
Pluton, qui a longtemps été la dernière planète du système solaire avant d’être déclassée, a cinq
satellites connus. Nous ne considérerons que le plus gros d’entre eux, Charon. Tout au long de
l’exercice, on négligera l’attraction du Soleil et l’on considèrera que le système Pluton+Charon est
isolé.
1) Ecrire les équations du mouvement satisfaites par Pluton en M1 et Charon en M2 dans un
référentiel absolu galiléen d’origine O. On notera m1 la masse de Pluton et m2 celle de
Charon.
! ! !"
! ! !"
𝑚! !! ! ! = 𝐹!→! et 𝑚! !! ! ! = 𝐹!→! .
2) En déduire le mouvement de G le centre de masse du système ? Justifier votre réponse.
𝑂𝐺 =
!! !"! !!! !"!
!! !!!
. Ainsi,
! ! !"
!! !
= 0 car 𝐹!→! = −𝐹!→! => mvt rectiligne uniforme.
3) On note 𝑟 = 𝑀! 𝑀! , la distance relative entre Pluton et Charon. Déterminer les distances 𝐺𝑀!
et 𝐺𝑀! de Pluton et de Charon à leur centre de masse G en fonction de 𝑟 ? Pour ce système,
𝑚! = 9 𝑚! . Sachant que la distance r = 20 000 km, faire l’application numérique pour ces
distances. Le rayon de Pluton étant de 1 200 km, commenter ce résultat.
!!!
!!
𝐺𝑀! = ! !!
𝑟 et 𝐺𝑀! = ! !!
𝑟.
!
!
!
!
AN : 𝐺𝑀! = 2 000 km et 𝐺𝑀! = 18 000 km.
Le rayon de la trajectoire du Pluton est plus grand que le rayon de l’astre (contrairement à la
Terre ou au Soleil).
4) Représenter sur un dessin, dans le référentiel barycentrique, les trajectoires de Pluton et
Charon supposées circulaires. Indiquer aussi le centre de masse et les vitesses.
cercles concentriques centrés sur G.
Pluton + G + Charon alignés correctement.
5) Il est possible d’étudier le mouvement relatif des deux corps à partir de l’équation du
mouvement d’un point particulier dont on précisera les caractéristiques. Ecrire cette équation.
! !
Point fictif de masse 𝜇 = ! !!!! et repéré par 𝑟.
!
!!!
!
Equation : 𝜇 !! ! = 𝐹!→! .
6) Rappeler l'expression de l'accélération d'un point matériel dans la base intrinsèque ou dans la
base polaire pour un mouvement circulaire. En déduire une relation entre la période de
rotation T et la distance relative r (troisième loi de Kepler généralisée).
𝑎=
!!
!
!"
𝑁 + !" 𝑇 ou 𝑎 = −𝑟𝜔! 𝑢! + 𝑟𝜔𝑢! .
=> 𝜔 = 0 => 𝜔 =
!!
!
!!
et ! ! = 𝐺
!! !!!
!!!
.
II Pendule de Newton
Le pendule de Newton est représenté sur la figure ci-dessus. Nous allons étudier une version
simplifiée avec uniquement deux billes et un seul fil par bille. Les différentes parties de cet
exercice sont largement indépendantes.
Les deux billes ont une masse 𝑚 et un rayon 𝑅. La longueur du fil, de masse négligeable, est notée ℓ𝓁.
On rappelle que le moment d’inertie d’une boule pleine homogène de rayon 𝑅 et de masse 𝑚 par
!
rapport à un axe passant par son centre vaut 𝐼 = ! 𝑚𝑅! .
A) Etude du mouvement d’un pendule seul
Dans cette première partie on étudie le mouvement d’une seule bille suspendue à un seul fil.
La bille est suspendue à un support fixe dans un référentiel galiléen. Le point d’attache au support est
noté O et le point d’attache à la bille A. Le centre de masse de la bille est noté G1.
On écarte le pendule d’un angle 𝜃! et on le lâche sans vitesse initiale. Lors du mouvement, on
supposera que les points O, A et G1 sont toujours alignés sur une droite.
z
O
𝜃
A
G1
x
1) Définir le système étudié et les forces extérieures appliquées.
Système : bille ; forces extérieures : 𝑚𝑔 et 𝑇 la tension du fil.
2) Faire un schéma avec les forces, l’axe de rotation et le sens positif de rotation choisi.
3) Que vaut le moment d’inertie du système par rapport à l’axe de rotation ?
𝐼! = 𝐼 + 𝑚 𝑅 + ℓ𝓁 ! .
4) Donner l’expression de l’énergie cinétique du système.
!
𝐸𝑐 = ! 𝐼! 𝜔! .
5) Montrer que l’énergie potentielle du système vaut 𝐸𝑝 = −𝑚 ℓ𝓁 + 𝑅 𝑔cos𝜃 + 𝑐𝑡𝑒, où 𝑔 est
l’accélération de la pesanteur.
6) En déduire la vitesse angulaire du pendule quand il passe par sa position d’équilibre.
La conservation de l’énergie mécanique donne 𝜔 = ±
!! ℓ𝓁!! !(!!cos!! )
!!
.
7) Quelle est la vitesse du centre de masse de la bille au même moment ? Donner sa direction,
son sens et sa norme.
𝑣 = 𝑅 + ℓ𝓁 𝜔𝑢! .
B) Etude du choc.
On va maintenant étudier le choc entre les deux billes. On suppose que la bille de gauche, notée 1,
arrive avec une vitesse horizontale 𝑣! au moment où elle heurte la bille de droite, immobile, notée 2.
Dans la suite, on va assimiler les billes à des points matériels et regarder des instants juste avant et
juste après le choc de façon à ce que le problème soit à une dimension.
1) Qu’appelle-t-on choc élastique ? On supposera que c’est bien le cas.
Conservation de l’énergie cinétique.
2) Déterminer 𝑢! et 𝑢! , les vitesses des billes dans le référentiel de leur centre de masse, juste
avant le choc.
!
!
!
!
𝑣! = !!! 𝑣! = ! 𝑣! . Et donc, 𝑢! = 𝑣! − 𝑣! = ! 𝑣! ; 𝑢! = − ! 𝑣! .
3) Donner, sans démonstration, 𝑢′! et 𝑢′! , les vitesses de ces billes dans le référentiel de leur
centre de masse, juste après le choc.
𝑢′! = −𝑢! et 𝑢′! = −𝑢! .
4) En déduire la vitesse de ces billes juste après le choc dans le référentiel du laboratoire.
𝑣′! = 𝑢′! + 𝑣! = 0 et 𝑣′! = 𝑣! .
5) En déduire, sans calcul, l’angle maximal que va atteindre le pendule n°2. Justifier votre
réponse. Que se passe-t-il ensuite ?
Angle maximal : 𝜃! .
Le deuxième pendule revient à la verticale, cogne le premier. Le deuxième mobile est de
nouveau immobile et le premier va faire une demi-oscillation…
C) Etude de la fréquence des chocs
On veut maintenant calculer avec quelle fréquence ont lieu les chocs. On reprend donc l’étude d’un
pendule seul, comme dans la partie A.
1) A l’aide du théorème du moment cinétique, trouver l’équation différentielle satisfaite par
l’angle 𝜃.
!!!
= 𝑂𝐺 ∧ 𝑚𝑔 => 𝐼! 𝜃 = −𝑚𝑔 ℓ𝓁 + 𝑅 sin 𝜃.
2) En déduire la période des oscillations du pendule seul dans l’approximation des petits angles.
!"
Petits angles : 𝜃 = −
!" ℓ𝓁!!
!!
𝜃 => 𝑇 =
!!
!
= 2𝜋
!!
!" ℓ𝓁!!
.
3) Quelle est alors la durée entre deux chocs pour le pendule de Newton à deux billes ?
𝑇/2.