CHAPITRE POLYNOMES Dans toute cette leçon K

CHAPITRE
POLYNOMES
Dans toute cette leçon K désigne un corps. On pourra imaginer qu ’il s’agit de R ou C. Vous trouverez
en petits caractères des complements à lire en deuxième ou troisième lecture
Ceci étant les résultats des parties I et II s’étendent à tout corps sauf l’identification entre les fonctions polynomiales et
les polynomes qui ne fonctionne pas dans les corps finis. Les polynomes à coefficients dans un corps finis sont extrèmememt
utiles dans les problèmes de codage. Dans les parties
pour nous R, C ou au pire Q.
III et IV , on se place dans un corps de caractéristique 0, c’est à dire
1–ALGÈBRE K[X]
Dans cette partie K désigne R ou C.
En fait, tous les résultats établis dans cette parties sont valable pour
K quelconque.
1-DÉFINITION D’UN POLYNOME ET NOTATION STANDART.
1-1 Définition.— On appelle polynome à coefficients dans K toute suite d’éléments de K nulle à partir
d’un certain rang.
1-2 Exemples et premières notations.— P=(1,6,2,0,0,..). On note O le polynome (0, 0, 0, 0, 0...),
X = (0, 1, 0, 0, 0, 0..)
1-3 Proposition.— La somme de deux polynomes est un polynome. Toute combinaison linéaire de
deux polynomes est un polynome.
Pn 1-4 Définition.— Soit P = (an ) et Q = (bn ) deux polynomes, on définit le produit de P et Q par
( k=0 ak bn−k ). Cette suite est nulle à partir d’un certain rang, c’est donc un polynome que l’on appelle le
polynome produit de P et Q.
1-5 Exemples.— Calcul de X.X, Calcul de X k
1-6 Notation standart.— Soit P = (am ), on sait qu’il existe p tel que :
∀m ∈ N m ≤ p + 1 ⇒ am = 0
P+∞
On note P = a0 + a1 X + ... + ap X p = n=0 an X n
P+∞
1-7 Définition.— Soit P = n=0 an X n un polynome non nul, on appelle degré de P et l’on note
deg(P ) l’entier naturel max{m, am 6= 0}. On appelle coefficient dominant adeg(P ) . Lorsque P est le polynome
nul, on pose deg(P ) = −∞.
1-8 Définition.— Un polynome non nul est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
1-9 Notation.— Soit P un polynome et a un élément de K, on note P (a) l’élément de K ainsi défini :
deg(P )
P (a) =
X
k=0
ak ak =
+∞
X
ak ak
k=0
1-10 Remarques.— Soient P et Q deux polynomes et a un éléments de K, il vient (P + Q)(a) =
P (a) + Q(a) et (P.Q)(a) = P (a)Q(a)
1-11 Définition.— Soit a un élément de K, on dit que a est un zéro ou une du racine du polynome P
si P (a) = 0.
1-12 Remarques.— Soit P un polynome de degré n, l’équation P (x) = 0 s’appelle une équation
algébrique. On dit que n est le degré de cette équation. Le théorème de d’Alembert Gauss affirme que dans
C, toute équation algébrique de degré supérieur ou égal à 1 a au moins une solution.
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Chapitre : Polynomes
2-STRUCTURE D’ALGÈBRE
K désigne un corps commutatif.
2-1 Définition.— On dit qu’un ensemble non vide A muni d’une addition +, d’une multiplication ∗
et d’une multiplication externe . est une K algèbre unitaire si A, +, . est un K espace vectoriel et si ∗ est
associative, muni d’un neutre et vérifiant
∀(a, b, c) ∈ A3 ∀λ ∈ K
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c λ.(a ∗ b) = (λ.a) ∗ b = a ∗ (λ.b)
Lorsque la multiplication est commutative, on dit que l’algèbre est commutative.
2-2 Proposition.— L’ensemble des polynomes à coefficients dans K muni de +,∗ et la multiplication
par un élément de K est une K-algèbre commutative. On note K[X] cette K algèbre.
2-3 Notation.— De façon plus générale si A est une K algèbre unitaire ( ensemble muni de trois
opérations, deux opérations internes et une opération externe, et L un élément de A, on note P (L) l’élément
de A ainsi définie :
deg(P )
+∞
X
X
a k Lk =
a k Lk
k=0
k=0
0
avec L =neutre multiplicatif de A que l’on note 1 s’il n’y a pas d’ambiguité ou 1A sinon.
2-4 Remarques.— On retrouve les relations Soient P et Q deux polynomes et a un éléments de K, il
vient (P + Q)(L) = P (L) + Q(L) et P.Q(L) = P (L)Q(L) si L est un élément d’une K algèbre.
2-5 P
Remarque.— Si P et Q sont deux polynomes, en utilisant une remarque qui précéde, on a défini
P (Q) =
ak Qk . On note aussi P ◦ Q ce dernier polynome. Attention P (Q) et Q(P ) sont différents.
2-6 Notation.— Il est donc loisible de noter P (X) ou P le polynome P .
2-7 Proposition.— Soit P (X) et Q(X) deux polynomes, il vient :
∀n ∈ N
n
(P + Q) =
n
X
Cnk P k Qn−k
k=0
1 − P n = (1 + P + P 2 + .. + P n−1 )(1 − P )
∀(P, Q) ∈ K[X]
∀(P, Q, R) ∈ K[X]
P.Q = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0
3
P.Q = P.R et P 6= 0 ⇒ Q = R
3-DEGRÉ
3-1 Proposition.— Soient P et Q deux polynomes à coefficients dans K :
deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q)
deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q))
3-2 Notation.— Kn [X] Toute combinaison linéaire de polynomes de Kn [X] est un polynome de Kn [X]
3-3 Proposition.— Soient P0 , P1 , .., Pn une famille de polynomes telles que
0 ≤ deg(P0 ) < deg(P1 ) < .. < deg(Pn )
Si l’on a la relation linéaire suivante :
a0 P0 + a1 P1 + .. + an Pn = 0
alors a0 = a1 = .. = an = 0
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Chapitre : Polynomes
2–DIVISIBILITÉ PREMIÈRE APPROCHE
Dans cette partie, K désigne un corps quelconque On se place dans K[X].
1-DÉFINITION
1-1 Définition.— On dit qu’un polynome A divise un polynome B s’il existe un polynome Q tel que
A = B.Q. On dit que B est un diviseur de A et que A est un multiple de B.
1-2 Exemples.— X n − 1 est divisible par X − 1. X n − 1 est divisible par X + 1 lorsque n est pair.
Factorisation classique
1-3 Définition.— On dit qu ’un polynome P de K[X] est irréductible s’il ne peut pas s’écrire sous la
forme d’un produit de deux polynomes de degré supérieur ou égal à 1.
1-4 Définition.— On dit que deux polynomes A et B sont associés si A divise B et B divise A.
1-5 Exemples.— Donner des exemples de polynomes irreductibles et non irreductibles, faire référence
au corps de base.
1-6 Proposition.— Deux polynomes sont associés s’il existe a ∈ K∗ tel que B = aA.
1-7 Exemples et remarques.— La relation divise sur les polynomes unitaires est une relation d’ordre.
1-8 Exercice.— Montrer que l’ensemble des multiples de B est un sous espace vectoriel de K[X].
2-DIVISION EUCLIDIENNE
2-1 Proposition.— Soit A et B deux polynomes, il existe un couple de polynomes unique (Q, R) tel
que A = BQ + R et deg(R) < deg(B)
2-2 Algorithme de la division enclidienne.—
2-3 Proposition.— Le polynome (X − a) divise P ssi P (a) = 0
2-4 Proposition.— Soient a1 , a2 , .., an n éléments de K distincts deux à deux,
ssi
∀i ∈ {1, .., n}
Qn
k=1 (X
− ai ) divise P
P (ai ) = 0
3-CONSEQUENCES
3-1 Conséquence 1.— Un polynome de degré n a au plus n racines. Toute équations algébrique de
degré n a au plus n solutions dans K.
3-2 Consequence 2.— Un polynome ayant une infinité de racine est necessairement le polynome nul.
3-3 Conséquence 3.— Soit n un entier naturel, si P et Q sont des polynomes de K[X] et s’il un sous
ensemble de n + 1 éléments a0 , a1 , ..., an distincts deux à deux de K tels que P̃ (ai ) = Q̃(ai ) alors P = Q.
3-4 Remarque.— X − 1 6= 0 X − 1 n’est pas le polynome nul. x − 1 est un élément de K qui peut
être nul lorsque x = 1
3-5 Définition.— Soit P un polynome, l’application de K dans K qui à x associe P (x) est la fonction
polynome associée au polynome P . On note temporairement P̃ cette application.
3-6 Proposition.— Soient P et Q deux polynomes tel qu’il existe un sous ensemble infini de K vérifiant
:
∀x ∈ A
P̃ (x) = Q̃(x)
alors P = Q.
Cette identification n’est pas possible dans les corps finis.
3-7 Conséquence 3.— Lorsque K est infini, il est possible d’identifier polynomes et fonctions polynomes. C’est ce que nous ferons désormais. Nous garderons cependant la notation P (X) pour l’objet
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Chapitre : Polynomes
polynome ou fonction polynome et nous utiliserons P (x) pour l’élément de K lorsque x est un élément de
x.
3–UNE PAUSE LINÉAIRE.
Dans cette partie, K désigne un corps de caractéristique 0. D’un point de vue pratique R, C ou au pire
Q
1-DERIVATION
P+∞
1-1 Définition.— Soit P (X) = k=0 ak X k un élément de K[X], on appelle polynome dérivée de P
P+∞
le polynome noté P 0 (X) ou D(P ) déterminé par P 0 (X) = k=1 kak X k
1-2 Exemples.— D(1), D(X), D(X n ).
1-3 Remarque importante.— Il est essentiel d’observer que la dérivation correspond à la dérivation
des fonctions polynomes.
1-4 Proposition.— D(aP + bQ) = aD(P ) + bD(Q), D(P.Q) = D(P )Q + P.D(Q)
1-5 Remarques.— D est une application de K[X] dans K[X], il est possible de s’interesser à D ◦ D
que l’on notera D2 et plus généralement à Dn . Par convention, on pose D0 = IdK[X] . On pourra utiliser la
notation P k (X) pour Dk (P )
1-6 Proposition.— Soit n un entier naturel, on a
∀(P, Q) ∈ K[X]2
Dn (aP + bQ) = aDn (P ) + bDn (Q)
Dn (P.Q) =
n
X
Cnk Dk (P )Dn−k (Q)
k=0
(k)
1-7 Exercice.— Calcul de (X m )
.
1-8 Remarque.— n est un entier naturel.
deg(P ) = n ⇒ Dn (P ) = cd(P )n! et Dn+1 (P ) = 0
∀P ∈ K[X]
2-FORMULE DE TAYLOR
2-1 Proposition.— Soit P un polynome de degré m et a un élément de K,
P (X) =
m
X
P (k) (a)
k=0
k!
(X − a)k
2-2 Remarque.— On note aussi :
P (X) =
+∞
X
P (k) (a)
k=0
k!
(X − a)k
P (a + X) =
+∞
X
P (k) (a)
k=0
k!
Xk
Ce dernier point sera relu après le cours sur les espaces vectoriels :
La famille des polynomes ((X
une famille génératrice de K[X]
− a)k )k∈{0,1,..,n} est une famille génératrice de Kn [X]. la famille ((X − a)k )k∈N est
3-POLYNOMES D’INTERPOLATION DE LAGRANGE.
Q
Soient a0 , a1 , .., an n + 1 éléments de K, on désigne pour i = 0, .., n Li = k6=i
X−ak
ai −ak
3-1 Proposition.— La famille L0 , L1 , .., Ln est une famille libre et génératrice de Kn [X ] . Plus
précisément
n
X
∀P ∈ Kn [X]
P =
P (ai )Li
k=0
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Chapitre : Polynomes
4–RACINES ET POLYNOME
Dans cette partie, le corps K est un corps de caractéristique nulle, c’est à dire pour nous R ou C, au
pire Q
1-MULTIPLICITÉ ET RACINES
1-1 Définition.— On dit que a est une racine de multiplicité m de P s’il existe un polynome Q tel
que P (X) = Q(X)(X − a)m et Q(a) 6= 0.
1-2 Proposition.— a est une racine de multiplicité n de P ssi P (a) = ... = P n−1 (a) = 0 et P n (a) 6= 0.
1-3 Proposition.— Soient a et b deux éléments distincts de K et n et m deux entiers naturels, si
(X − a)n divise (X − b)m .Q(X) alors (X − a)m divise Q(X).
1-4 Proposition.— Soit P un polynome non nul, si Q
P admet s racines a1 , a2 , .., as de multiplicité
m
m1 , m2 , .., ms alors il existe un polynome Q tel que P (X) = k=1 (X − ai )mi Q
1-5 Remarques.— deg(P ) ≥ m1 + m2 + ..ms . Cas interessant s’il y a égalité alors Q = cd(P ).
1-6 Définition.— On dit qu’un polynome P de degré n est scindé sur K s’il peut s’écrire sous la forme
P = cd(P )
n
Y
(X − ai )
k=1
Les ai pouvant être confondus.
2-LIEN RACINES-COEFFICIENTS
Nous venons de voir apparaitre une deuxième forme interessante pour les polynomes. On parle parfois
de la forme factorisée.
2-1 Définition.— Soit n un entier naturel non nul et soit k un élément de {1, .., n}, on désigne par
σn,k l’application de Kn dans K ainsi définie :
∀(x1 , .., xn ) ∈ Kn
σn,k (x1 , x2 , .., xn ) =
X
xi1 .xi2 ...xik
1≤i1 <..<ik ≤n
Les fonctions précedentes s’appelle les fonctions symétriques élémentaires.
2-2 Exercices.— Dans le cas où n = 2, n = 3 déterminer les fonctions symétriques élémentaires
2-3 Notation.— Pour k = 0 on pose σn,0 (a1 , .., an ) = 1
2-4 Exercices.— Soit n ≥ 1 et k ≥ 1, montrer que
σn+1,k (a1 , .., an+1 ) = σn,k (a1 , .., an ) + σn,k−1 (a1 , .., an )an+1
2-5 Proposition.— Soit (a1 , a2 , ..an ) ∈ Kn :
Qn
k=1 (X
− ai ) =
Pn
n−k
σn−k (a1 , a2 , ..an )X k
k=0 (−1)
2-6 Exemples d’utilisation.— Formules de Viete à connaitre.
2-7 Exercices .— Factoriser le polynome X 3 + 2/3 ∗ X 2 − 37/3 ∗ X + 4 sachant que le produit de deux
racines vaut 1.
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Chapitre I : Polynomes
3-ETUDE DE C[X] ET R[X].
3-1 Proposition.— Tout polynome de C[X] de degré supérieur ou égal à 1 s’écrit comme produit de
polynome de degré 1. Plus précisement si Z(P ) désigne l’ensemble des racines de P et si pour tout élément
de a de Z(P ) va (p) désigne la multiplicité de a comme racine de P , on a :
P = cd(P )
Y
(X − a)va (p)
a∈Z(P )
si P n’est pas le polynome nul.
3-2 Remarques.— La factorisation dans C[X] se ramène à la recherche des racines. Nous verrons
dans le cours d’arithmétique le lien entre cette écriture et le théorème fondamental de l’arithméthique.
3-3 Proposition.— Si P (X) ∈ R[X] et si z est une racine de P de multiplicité m alors z̄ est une racine
de P (X) de multiplicité m.
3-4 Proposition.— Dans R[X] tous les polynomes peuvent s’écrire comme produit de polynomes de
degré 1 et polynomes de degré deux.
3-5 Remarques.— La forme générale factorisée d’un polynome non nul dans R[X] est
P = cd(P )
Y
a∈Z(P )∩R
Y
(X − a)va (P )
a∈Z(P )
(X 2 − 2Re(a)X + |a|2 )va (p)
Im(a)>0
En dehors des techniques de factorisation classique, on factorise un polynome de R[X], en le factorisant dans
C[X].
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Polynomes
Divisibilité
Exercice 1.1 – Déterminer le reste de la division euclidienne du polynome A par le polynome B dans les
cas qui suivent :
A = X − 3 B = X 4 + 2X 3 − X 2 + 1
A = (X − 2)(X − 1) B = X 8 − X 5 + X 4 + X 3 + X + 1
A = X 2 − X + 1 B = (X − 1)12 + 1
A = (X + 1)3 B = X n + X + 1
Exercice 1.2 – Pour quelles valeurs de m le polynome Pm = (X + 1)2m + X m + 1 est-il divisible par
X + X + 1.
2
Exercice 1.3 – Montrer que dans le polynome B = X n+1 cos(n − 1)θ − X n cos nθ − X cos θ + 1 on peut
mettre en facteur X 2 − 2 cos θX + 1
X
12
Exercice 1.4 – Peut on trouver a b et c réels tels que le polynome X 3 + X 2 + X divise le polynome
+ X 8 + X 4 + aX 2 + bX + c
Exercice 1.5 – Montrer que le polynome nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n est divisible par (X − 1)3 .
Exercice 1.6 – (*)Soit P (X) et Q(X) deux polynomes à coefficients dans un sous corps K0 de K. Montrer
que si P (X) divise Q(X) dans K[X] ssi P (X) divise Q(X) dans K0 [X].
Exercice 1.7 – * Fadeev Sominsky. Montrer que le polynome 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 divise le polynome
X
+X 5n1 +1 +X 5n2 +2 +X 5n3 +3 +X 5n4 +4 où nk pour k = 0, 1, 2, 3, 4 sont des entiers naturels quelconques.
Généraliser.
5n0
Décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Exercice 2.1 – Décomposer dans R[X] les polynomes qui suivent :
X4 + X2 + 1
X 6 − 2 cos tX 3 + 1
1 + X + X2 + X3 + X4 + X5
Exercice 2.2 – Décomposer dans R[X] le polynome X 2n − 1.
Exercice 2.3 – Décomposer dans R[X] le polynome 1 + X + X 2 + ... + X 2n−1 . en déduire les produits
suivants :
n−1
n−1
Y
Y
kπ
kπ
sin
cos
2n
2n
k=1
k=1
Exercice 2.4 – Décomposer le polynome X n − 1 dans C[X], en déduire (*) les produits qui suivent :
n−1
Y
k=0
où est un réel non élément de πZ.
sin(x +
kπ
)
n
Recherches de polynomes
Exercice 3.1 – Déterminer les polynomes de C[X] tel que P (X + 1) = P (X) (hyperclassique).Existe t’il
un polynome P à coefficients réels tels que : ∀t ∈ R
P (t) = sin(t)
Exercice 3.2 – Déterminer les polynomes P vérifiant P (X)2 = P (X 2 )
Exercice 3.3 – Déterminer les polynomes P vérifiant :
P (2) = 1, P 0 (2) = 2, P 00 (2) = 3, ∀k ⊂ N
k > 2 ⇒ P (k) (2) = 0
Exercice 3.4 – n étant un entier naturel, déterminer les polynomes P de K[X] tels que : P 0 − P = X n
Polynomes et racines
Exercice 4.1 – Déterminer les triplets (x, y, z) tels que : x + y + z = 3; x2 + y 2 + z 2 = 3; x3 + y 3 + x3 = 3
Exercice 4.2 – On désigne par x1 , x2 , et x3 les racines du polynome P (X) = X 3 + sX 2 + pX + q,
déterminer x11 + x12 + x13 et x12 + x12 + x13
1
2
3
Exercice 4.3 – Soit z une racine septième de l’unité autre que 1, montrer que z 3 + z 5 + z 6 et z + z 2 + z 4
sont les racines de X 2 + X + 2.
Exercice 4.4 – Résoudre dans C x4 − 5x3 + 9x2 − 15x + 18 = 0 sachant que deux racines x1 et x2 vérifient
x1 x2 = 6.
Exercice 4.5 – Montrer qu’il existe un unique polynome Tn de degré n vérifiant :
∀t ∈ R
Tn (cos(t)) = cos(nt)
Donner Tn sous sa forme factorisée dans R[X].
Quelques énoncés des oraux des concours
Exercice 5.1 – Trouver tous les polynomes P tels que (X + 4)P (X) = XP (X + 1)
Exercice 5.2 – Trouver tous les polynomes P de R7 [X] tels que (X − 1)4 divise P (X) − 1 et (X + 1)4
divise (X + 1)4 divise P (X) + 1
Exercice 5.3 – Soit n un entier naturel , montrer l’existence de Pn ∈ Rn [X] tel que :
∀t ∈]0,
π
[
2
Pn (cotan2 (t)) =
sin(2n + 1)t
(sint)2n+1
Trouver les racines de Pn et calculer leur somme. En utilisant l’inégalité cotan2 (t) <
P+∞
]0, π2 [, étudier la somme k=1 k12
1
t2
< 1 + cotan2 (t) sur
Exercice 5.4 – Soit Pn la suite de polynomes réels définie par P0 = 2, P1 = X et Pn+2 = XPn+1 − Pn .
Exprimer pour z ∈ C∗ et n ∈ N Pn (z + z1 ) Factoriser Pn .
Exercice 5.5 – Racines du polynome X n + Cn1 cosaX n−1 + ... + Cnk coskaX n−k + .. + cos(na)
Exercice 5.6 – Soit P = nX n+1 − (n + 1)aX n + an+1 , montrer que (X − a)2 divise P et calculer le
P
quotient (X−a)
2.
Exercice 5.7 – Soit P = X 3 + X − 1. Un complexe qui est une racine de P peut il être réel ? entier ?
rationnel ?zéro d’un polynome de degré deux à coefficients rationnels.
Exercice 5.8 – Trouver les polynomes P de R[X] tels que P (X 2 ) = P (X)P (X − 1).
Exercice 5.9 – Soit P =
pas de racines réelles.
Pn
i=0
ai X i un polynome de R[X] à racines simples, montrer que P 02 − P P 00 n’a
Exercice 5.10 – Quel est le reste de la division euclidienne de (X n + 1)2 par (X + 1)2
Exercice 5.11 – Soit n ≥ 2 et Tn = X n − X + 1. Nombre de racines de Tn dans Q ? dans R ? dans C ?
Exercice 5.12 – Pour quelle(s) valeur(s) de n, le polynome (X + 1)n − X n − 1 possède-t-il une racine
multiple dans C.
Exercice 5.13 – Soit (X − a)(X − b)(X − c) = X 3 + uX 2 + vX + w un polynome complexe. Donner les
coefficients de (X − (1 + a2 ))(X − (1 + b2 )(X − (1 + c2 )).
5.14 – Soit n impair et soient z1 , z2 , .., zn−1 les racines nième de l’unité autre que 1. Calculer
Qn−1Exercice
1−zi
i=1 1+zi .
Exercice 5.15 – On pose ω = exp 2iπ
n . Montrer que
n−1
Y
(aω + b) = bn + (−1)n+1 an
k=0
Soit P = X n +
Pn
k=1 ck X
n−k
=
Qn
k=1 (X
− zk ). Calculer
Qn
k=1 (az
k
+ b). Calculer
Qn
k=1 (ω
2k
− 2ω k cos θ + 1)
Exercice 5.16 – Soit n un entier naturel non nul, α ∈ R \ πZ ; on considère le polynome :
P (X) = (X − 1)n − exp(2iα)(X + 1)n
Déterminer les racines de P . En déduire une expression simple de :
n−1
Y
cotan(x +
k=0
kπ
)
n
Exercice 5.17 – Résoudre dans C :
(1 + x)2n = (1 − x)2n
Calculer le produit des racines non nulles.
Exercice 5.18 – Soient x1 , x2 , x3 les racines dans C du polynome à coefficients complexes X 3 + pX − q
avec q 6= 0. Déterminer :
X
1
2
xi xj
(i,j)|i6=j