3ème PGCD de deux nombres 2011/2012 ----> Activité rappels Objectifs : - Savoir trouver tous les diviseurs et les multiples d'un nombre. - Savoir calculer le PGCD de deux nombres et interpréter le résultat. - Savoir dire si un nombre est premier ou non. - Savoir simplifier une fraction grâce au PGCD. - Savoir si deux nombres sont premiers entre eux. I. Division Euclidienne (Rappel) La division de 56 par 17 est : EXERCICES : (Division euclidienne) II. Diviseurs et multiples Définition : Soient a et b deux nombres entiers non nuls. On dit que b est un diviseur de a lorsqu'il existe un nombre entier n tel que a = n x b. On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b. Exemples : On a 55 = 11 x 5 donc : 5 est un diviseur de 55, 55 est un multiple de 11, 55 est divisible par 5. Remarques : • Si b est un diviseur de a, alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul. • 1 est un diviseur de n'importe quel nombre. EXERCICES : (Diviseurs et multiples) III. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) Définition : Un diviseur commun à 2 ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 3 est un diviseur commun à 12 (car 12 = 3 x 4) à 27 (car 27 = 3 x 9) par exemple. Définition : Le Plus Grand Commun Diviseur à 2 ou plusieurs nombres entiers est appelé PGCD de ces nombres. Remarques : • Trouver le PGCD de 60 et 75 en écrivant la liste de leurs diviseurs : 60 = 1 x 60 60 = 2 x 30 60 = 3 x 20 60 = 4 x 15 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 75 = 1 x 75 75 = 3 x 25 75 = 5 x 15 Donc les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60 Donc les diviseurs de 75 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75 Les diviseurs communs à 60 et 75 sont 1 ; 3 ; 5 ; 15. Le plus grand d'entre eux est 15. Donc le PGCD de 60 et 75 est 15, on le note PGCD ( 60 ; 75 ) = 15 EXERCICES : (Recherche de PGCD) -----> Activité Partie 2 - Algorithmes EXERCICES : (Algorithmes) IV. Nombres premiers entre eux Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Leur seul diviseur commun est donc 1. Remarques : • Les nombres 14 et 27 sont-ils premiers entre eux ? 14 = 1 x 14 14 = 2 x 7 Donc les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 14 ; 27 27 = 1 x 27 27 = 3 x 9 Donc les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27 14 et 27 ont un seul diviseur commun 1. Donc PGCD ( 14 ; 27 ) = 1 donc 14 et 27 sont premiers entre eux. EXERCICES : (Nombres premiers entre eux) V. Fractions irréductibles Définition : Une fraction est dite irréductible lorsqu'elle ne peut pas être simplifiée. Propriété : (admise) Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul. Si a et b sont premiers entre eux, alors la fraction est irréductible. Exemple : 14 • • 27 35 est une fraction irréductible car 14 et 27 sont premiers entre eux. n'est pas une fraction irréductible car on peut encore diviser par 5 le numérateur et le 45 dénominateur. Propriété : (admise) Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul. Si on simplifie par le PGCD de a et b, alors la fraction obtenue sera irréductible. Exemple : Rendre la fraction 60 irréductible. 75 D'après les calculs précédents, le PGCD de 60 et 75 est 15. Donc 60 15x4 4 = = 75 15x5 5 Donc la fraction irréductible de 60 75 est EXERCICES : (Fractions irréductibles) EXERCICES : (Problèmes liés au PGCD) 4 5 .