Correction

22-11-2012
3ème
Correction du devoir commun
1e partie (sans calculatrice)
Exercice 1
(3 points)
(1 + 1 + 0,5 + 0,5 = 3)
1) Donner la liste des diviseurs de 40.
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40.
2) Donner la liste des diviseurs de 75.
1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75
3) Donner la liste des diviseurs communs de 40 et 75 ; en déduire leur PGCD.
Exercice 2
(2 points)
1 ; 5. PGCD (40 ; 75) = 5.
(1 + 1 = 2)
Expliquer pourquoi les affirmations suivantes sont fausses.
a) PGCD (14; 8) = 4
4 n’est pas un diviseur de 14.
b) PGCD (30; 40) = 5
10 est un diviseur commun de 30 et 40.
Exercice 3
(5,5 points)
(0,53 + 14 = 5,5)
1) Calculer sans étapes (si le calcul semble impossible, expliquer pourquoi).
A=
 7
2
B=
A=7

3

2
C = (4,2) 2
La racine d’un nombre négatif n’existe pas
C = −4,2
2) Calculer en faisant apparaître au moins une étape :
D =  8 2 8
D=
√
D = −2 × 8
D = −16
52  32
E=
√
F=
98
50
G=( √ )
F=
49
25
G=
G=9×7
G = 63
E=√
E=√
E=4
G=( √ )
F=
Exercice 4
(2 points)
( √ )
√
√
(1 + 1 = 2)
Ecrire les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible.
L = 72
M=
L=√
M=√
L=√
L= √
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√
6  15
M=√
√
√
√
√
M= √
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2e partie (avec calculatrice)
Exercice 5
(4,5 points)
(3,5 + 1 = 4,5)
Pour Noël, un magasin de décoration veut vendre entièrement un stock composé de 130 boules et 220
étoiles. Un vendeur décide alors de réaliser le plus grand nombre de coffrets contenant un mélange de
boules et d’étoiles. Le nombre de boules doit être le même dans chaque coffret. Le nombre d’étoiles doit
être le même dans chaque coffret.
1) Déterminer le nombre de coffrets qu’il réalisera.
On veut vendre tout le stock et le nombre de boules doit être le même dans chaque coffret, donc le
nombre de coffret doit être un diviseur du nombre de boules, c'est-à-dire de 130. De même le nombre de
coffret doit être un diviseur du nombre d’étoiles, c'est-à-dire de 220. Par conséquent le nombre de coffrets
doit être un diviseur commun de 130 et 220.
De plus on veut réaliser le plus grand nombre de coffrets, c'est-à-dire le pgcd de 130 et 220.
On calcule le pgcd des nombres 220 et 130 en utilisant
l’algorithme d’Euclide. On effectue la division euclidienne de a
par b. L’algorithme s’arrête lorsque le reste est nul.
a
b
reste
220
130
90
130
90
40
90
40
10
40
10
0
a
b
reste
806
496
310
496
310
186
Le PGCD est le dernier reste non nul. Pgcd (806 ; 496) = 62
310
186
124
186
124
62
A=
124
62
0
Le pgcd est le dernier reste non nul. Pgcd (220 ; 130) = 10.
Le vendeur réalisera 10 coffrets.
2) Combien de boules et d’étoiles y aura-t-il dans chaque coffret ?
220 : 10 = 22 et 130 : 10 = 13
Donc chaque coffret contiendra 22 étoiles et 13 boules.
Exercice 6
(4 points)
(2,5 + 1,5 = 4)
496
pour la rendre irréductible.
806
On calcule le pgcd des nombres 806 et 496 en utilisant
l’algorithme d’Euclide. On effectue la division euclidienne de a
par b. L’algorithme s’arrête lorsque le reste est nul.
1) Simplifier A =
A=
2) Calculer B =
B=
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496 3

(donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible).
806 26
B=
B=
B=
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Exercice 7
(8,5 points)
(1 + 2 + 1,5 + 1,5 + 1,5 + 0,5  2 = 8,5)
ABCDEF est un hexagone régulier de centre O tel que OC = 2 cm.
1) Calculer :
a) La mesure de l’angle AOF ;
ABCDEF est un hexagone régulier, donc AOF = 360 : 6 = 60°
b) La mesure de l’angle AEB.
Les angles AOF et AOB sont égaux.
L’angle AOB est un angle au centre. L’angle AEB est un angle
inscrit qui intercepte le même arc AB.
Or la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la
mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Donc
AEB = 1/2 AOB
AEB = 1/2 × 60
AEB = 30°
2) Déterminer :
a) La nature du triangle CEF ;
Le segment [FC] est un diamètre du cercle et E est un point de ce cercle.
Or si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est
rectangle.
Donc le triangle CEF est rectangle en E.
b) La nature du quadrilatère ABDE ;
Les segments [EB] et [AD] sont des diamètres du cercle, donc ils ont le même milieu et la même longueur.
Or si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur, alors c’est un rectangle.
Donc ABDE est un rectangle.
c) La nature du quadrilatère ABOF.
Les triangles OAB et OAF sont équilatéraux, par conséquent le quadrilatère ABDE a ses côtés qui ont la
même longueur.
Or un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur est un losange.
Donc ABDE est un losange.
3) Donner sans justifier :
a) Le symétrique du triangle OCD par rapport à O ;
Le triangle OFA
b) Le symétrique du triangle OEF par rapport à la droite (BE).
Le triangle OED
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Exercice 8
(4 points)
(2 + 2 = 4)
Les points P, J, L et I sont sur le cercle de centre G.
1) Déterminer la mesure de l’angle LPI .
Les angles LPI et LJI sont deux angles inscrits qui interceptent le
même arc LI.
Or deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même
mesure.
Donc
LPI = LJI
LPI =40°
2) Démontrer que le triangle IPL est isocèle.
On sait que : LPI =40° et PLI =70°
Or la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
Donc
LPI + PLI + PIL =180
PIL = 180 – 70 – 40
PIL = 70°
On a donc :
PLI =70° et PIL = 70°
Or si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
Donc le triangle IPL est isocèle en P.
Exercice 9
(4,5 points)
(2,5 + 2 = 4,5)
1) Démontrer que la longueur AE est égale à
29 cm.
Le triangle AGE est rectangle en G.
Alors, d’après le théorème de Pythagore, on a :
AE² = AG² + GE²
AE² = 2² + 5²
AE² = 4 + 25
AE² = 29
AE =
29 cm
2) En déduire que le triangle ABE est rectangle.
Montrons que le triangle ABE est rectangle en B.
Calculons séparément AE2 et AB2 + BE2.
AE2 = 29
et
AB2 + BE2 = ( √ )2 + 32
AB2 + BE2 = 20 + 9 = 29
Donc AE2 = AB2 + BE2
Alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en B.
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