Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 71

Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
Points, segments et droites
1
b. Construis cette figure ci-dessous.
Complète les phrases à l'aide de la figure.
C
B
A
d2
D
E
F
d1
d3
4
d4
Théorème de Pappus
d
a. Les droites d1 et d2 se coupent en .................... .
b. Le point d'intersection de d1 et d3 est …........... .
c. C est le point d'intersection de ........ et ........ .
d. Le point B est à l'intersection de ........ et ....... .
e. D est ...................................................................
............................................................................... .
d'
2 Complète la figure ou la consigne à l'aide des
phrases ci-dessous.
Place trois points distincts A, B et C sur la droite d
alignés dans cet ordre, et trois points distincts A',
B' et C' sur la droite d' alignés dans le même
ordre. Construis les points d'intersection :
d3
d2
d1
d4
•
J de (AB') et (A'B) ;
•
K de (AC') et (A'C) ;
•
L de (BC') et (B'C).
a. A est le point d'intersection de d2 et d4.
Marque ces trois points en rouge.
b. d1 et d3 se coupent en T.
Que remarques-tu ?
c. Le point d'intersection de d3 et d4 est H.
.................................................................................
d. M est à l'intersection de d4 et de d1.
e. Le seul point d'intersection qui n'est pas
5
Longueurs et milieux
M
A
nommé est celui de ........ et ........ .
3 Complète le texte suivant avec les mots qui
conviennent.
B
C
F
N
O
D
a. Place trois …………….......… I, J et K non alignés.
Trace le ……………....... [IJ], le …………….......… [KJ]
E
et la …………….....… (IK). Sur le ………….......… [IK],
a. Mesure les segments ci-dessus.
K
L
P
place un ……………...... S.
Trace la ……………............................................ [JS).
AB = ....... cm
....... = ....... cm ....... = ....... cm
CD = ....... cm
....... = ....... cm ....... = ....... cm
Construis le milieu de chaque segment et code les
longueurs égales.
Copyleft – Édition 2013-15
CHAPITRE 9 : POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
71
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
Droites perpendiculaires et parallèles
8 En utilisant le quadrillage, complète le tableau
et code la figure.
6 Parmi les quatre figures ci-dessous, deux
paires de droites semblent perpendiculaires.
Code-les en les nommant et en utilisant le
symbole adéquat.
a.
D
@options;
trame();
aimante();
F
A
@figure;
A = point( -3 , 3 ) { noir };
B = point( 3 , 2 ) { noir };
dAB = droite( A , B ) { noir };
C = point( 3 , -2 ) { noir };
D = point( -9 , 0 ) { noir };
dDC = droite( D , C ) { noir };
dBC = droite( B , C ) { noir };
E = point( -4 , -3 ) { noir };
dAE = droite( A , E ) { noir };
dAC = droite( A , C ) { noir };
F = point( 1 , 3 ) { noir };
dEF = droite( E , F ) { noir };
G = intersection( dDC , dAE )
{ noir };
B
c.
H
G
C
E
b.
Droites perpendiculaires
d.
7 Parmi les quatre figures ci-dessous, deux
paires de droites semblent parallèles. Code-les en
les repassant de la même couleur.
9 Observe le codage du dessin puis complète
par :
parallèles
a.
Droites parallèles
perpendiculaires
sécantes et non
perpendiculaires
c.
d1
b.
d.
d8
d2
d7
d6
d5
d4
d3
a. d1 et d6 sont ….....................................................
b. d1 et d3 sont ….....................................................
c. d1 et d2 sont ….....................................................
d. d5 et d7 sont ….....................................................
e. d6 et d7 sont ….....................................................
f. d4 et d8 sont …......................................................
g. d3 et d6 sont ….....................................................
72
POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
– CHAPITRE 9
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
12
Dans chaque cas, trace, à main levée, la
droite perpendiculaire à la droite d passant par le
point A.
A
c.
d
a.
d
10 Sur chaque dessin, trace en vert, la droite d1
perpendiculaire à la droite d passant par A et en
rouge, la droite d2 parallèle à la droite d passant
par B.
A
a.
A
d
d'
B
b.
A
d.
d
d
d'
b.
A
B
A
d
d'
'
c.
13 Les élèves doivent tracer la droite
perpendiculaire à la droite d passant par le point
A. Entoure le nom des élèves qui ont placé
correctement l'équerre.
A
B
11 Complète, puis écris deux
en
utilisant
les
mots
« perpendiculaire ». Dans cette
qui semblent perpendiculaires
sont réellement.
S
D
H
Y
c.
A
phrases similaires
« parallèle »
et
figure, les droites
ou parallèles le
A
d
d
Bastien
Audrey
b.
d.
G
d
A
K
L
R
a.
d
N
d
Cédric
A
Dominique
P
E
F
C
a. La droite perpendiculaire à (HK) passant par H
est la droite ......... .
b. La droite perpendiculaire à (CE) passant par N
est la droite ......... .
c. La droite parallèle à (HP) passant par N est la
droite ......... .
d. La droite parallèle à (CF) passant par S est la
droite ......... .
CHAPITRE 9 : POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
73
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
16 Dans chaque cas, construis, avec les
instruments de géométrie, la droite d1 parallèle à
la droite d passant par le point M et la droite d2
parallèle à la droite d passant par le point N.
a.
a.
d
14 Dans chaque cas, construis, avec les
instruments
de
géométrie,
la
droite
d1
perpendiculaire à la droite d passant par le point
M puis la droite d2 perpendiculaire à la droite d
passant par le point N.
N
d
N
M
M
d
b.
b.
M
N
M
N
d
d'
c.
c.
d'
M
d
M
N
N
15 Dans chaque cas, trace, à main levée, la
droite parallèle à la droite d passant par le point A.
c.
d
A
d'
a.
A
d
b.
d.
'
d'
A
d'
A
d
74
POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
d
– CHAPITRE 9
d
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
17
Hasard ?
a. Sur la figure ci-dessous, trace la droite d1
parallèle à la droite d passant par A.
b. Trace la droite d2 perpendiculaire à la droite d
passant par A.
c. Trace la droite d3 perpendiculaire à la droite d
c. Trace la droite d3 perpendiculaire à (AC)
passant par B.
d. Comment
semblent
être
les
droites
…..............................................................................
droites
d1,
d2
et
.................................................................................
.................................................................................
Médiatrice d'un segment (≥
(≥**)
d1
et d3 .........................................................................
les
d3 ? ..........................................................................
passant par B.
d. Comment
sont
19
Médiatrices ?
d1
e. Comment semblent être les droites d2 et
d2
d3 ? ..........................................................................
…..............................................................................
A
d
d3
d4
a. Parmi ces droites, lesquelles semblent être les
médiatrices des segments ? ...................................
B
18
b. Pour celles qui ne le sont pas, explique
pourquoi.
A, B et C sont trois points non alignés.
.................................................................................
.................................................................................
C
.................................................................................
.................................................................................
B
A
a. Trace la droite d1 perpendiculaire à (AB)
passant par C.
b. Trace la droite d2 perpendiculaire à (BC)
passant par A.
CHAPITRE 9 : POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
75
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
20
Trouver la médiatrice « à l'œil nu »
d1
22 Construis la médiatrice de chaque segment
en utilisant le quadrillage.
d2
A
d3
B
C
H
d4
D
F
d5
G
d8
E
d9
23 Construis la médiatrice de chacun des trois
côtés du triangle en utilisant ton compas.
d6
d7
@options;
@figure;
A = point( 10.43 , -0.53 ) { i };
B = point( 2.43 , 3.8 ) { i };
C = point( 2.87 , -2.9 ) { i };
polyABC = polygone( A , B , C );
a. Sur la figure, quelle semble être la médiatrice
du segment
•
[AB] ?
..........
•
[GH] ?
.........
•
[DE] ?
..........
•
[AH] ?
.........
b. Sur la figure, quel semble être le segment dont
la médiatrice est
•
d2 ?
..........
•
d4 ?
.........
•
d3 ?
..........
•
d8 ?
.........
21 Construis la médiatrice de chaque segment
au compas.
24 Trace la médiatrice d1 du segment [HA] puis
la médiatrice d2 du segment [HT]. Code la figure.
A
B
E
D
C
H
C
A
F
76
POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
T
– CHAPITRE 9
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
25
Cas du cerf-volant
Nom
Angle
P
Sommet
Côtés
➍
➎
➏
O
E
27
N
Identifier
B
a. Justifie pourquoi le point O appartient à la
médiatrice de [PN].
E
.................................................................................
M
.................................................................................
.................................................................................
I
L
P
.................................................................................
Nomme les angles tracés
b. Que peut-on dire du point E ? Justifie.
a. de sommet E ;
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
b. dont un côté est [LE) ;
.................................................................................
.................................................................................
c. Déduis-en que les droites (EO) et (PN) sont
perpendiculaires.
c. dont les côtés sont [IE) et [IP) ;
.................................................................................
.................................................................................

d. qui ont un côté commun avec l'angle EML.
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
y Ou ;
b. en bleu, l'angle 
Complète le tableau.
J
B
➎
➊
A
L
C
F
➋
G
K
➌
H
Angle
➊
➋
➌
Nom
Sommet
Côtés
t
O
w
d. en noir, l'angle 
x Ow.
Reconnaître
a. Sur cette figure marque
➍
y
x
zOx ;
c. en rouge, l'angle 
29
➏
E
D
Sur cette figure marque
xO y ;
a. en vert, l'angle 
Nommer un angle
26
28
•
ER x ;
en vert, l'angle 
•
yG x ;
en bleu, l'angle 
•
EF y ;
en rouge, l'angle 
•
t HK .
en noir, l'angle 
z
u
y
t
x
F
H
E
K
R
z
G
b. Trouve toutes les autres façons de nommer
•
EF y et l'angle 
zR x
l'angle 
.................................................................................
.................................................................................
CHAPITRE 9 : POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
77
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
30 Pour chaque cas, donne la nature de l'angle
(aigu, obtus, droit ou plat).
a. 27°
..................
b. 32°
c. 12,3°
..................
d. 179,9° ..................
e. 90°
..................
f. 80°
..................
g. 1°
..................
h. 180°
..................
i.
154°
..................
j.
..................
Mesure d'un angle
33 Sans utiliser d'instrument de géométrie,
associe chaque angle à sa mesure.
N
K
A
E
D
93,90° ..................
F
31 Pour chaque cas, indique la nature de l'angle
grisé (aigu ou obtus).
x
B
M
A
y
.....................
s
.....................
.....................
32 En utilisant l'équerre, classe les angles dans
le tableau ci-dessous.
K
E
L
C
F
t
Y
U
D
R

 5°

NDO

 20°

PEQ

 30°

t Gu

 45°

LBM

 90°

yC x

 120°

vFw

 135°

RHS

 170°
O
0
20 10 180
0
160 17
– CHAPITRE 9
......................................
50
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
70
0 11 0 6 0
120 50
130
30
Plat
......................................
90 1080
01
Obtus
Q
100
11 0
120 70 80
130 60
0
5
14
POINTS,
Droit

ZAK
40
Aigu
78
s
w
Mesure
34 Mathilde a mal placé son rapporteur pour
mesurer l'angle grisé. Pourquoi ?
z
P
v
S
m
h
A
x
N
G
180 170 1
60
0 10 2 150
0 3
0 140
40
B
w
R
R
B
G
H
y
Angle
O
Q
u
v
t
C
t
O
C
L
x
P
Z
......................................
......................................
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
35
À l'aide de ton rapporteur, mesure les angles
f.
suivants et écris tes réponses à l'intérieur des
angles.
a.
g.
b.
36
Construction
À l'aide de ton rapporteur, construis, pour chaque
x O y ait
cas, une demi-droite [Oy) telle que l'angle 
la mesure indiquée.
c.
d.
e.
CHAPITRE 9 : POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
79
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
37
Construction (bis)
39
À l'aide de ton rapporteur, construis, pour chaque
x O y ait
cas, une demi-droite [Oy) telle que l'angle 
la mesure indiquée.
Étoile
Chaque côté de
l'étoile mesure
3,5 cm.
Reproduis
l'étoile ci-contre
en
respectant
les données.
114°
42°
38 En utilisant tes instruments de géométrie,
reproduis la ligne brisée ci-contre à partir du point
A en respectant les indications données.
40 Sur une feuille blanche, construis la
représentation de la constellation donnée par le
croquis ci-dessous. Les noms sont ceux des étoiles
qui la compose.
1,
Eps
2
Constellation d'Aigle
cm
16
3°
Zet
cm
74°
60°
111
°
@options;
repereortho(313,263,30,1,1){ 0 ,
moyen , grisfonce , num1 ,i};
163°
A
POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
– CHAPITRE 9
Eta
4,4
cm
cm
B
80
3,4 cm
Del
8
4,
The
@figure;
A = point( 1.4 , -1.1 ) { rond2 };
B = point( 3.93 , 3.73 ) { i };
dAB = droite( A , B ) { i };
cerayA1.85 = cerclerayon( A ,
1.85 ) { i };
C = intersection( dAB ,
cerayA1.85 , 1 ) { rond1 };
d1 = droiteangle( C , dAB , 163 )
{ i };
cerayC0.3 = cerclerayon( C ,
0.3 ) { i };
D = intersection( d1 , cerayC0.3 ,
2 ) { rond1 };
sAC = segment( A , C );
sCD = segment( C , D );
d2 = droiteangle( A , dAB , -115 )
{ i };
cerayA1.2 = cerclerayon( A , 1.2 )
{ i };
E = intersection( d2 , cerayA1.2 ,
1 ) { rond1 };
sAE = segment( A , E );
d3 = droiteangle( A , d2 , -111 )
{ i };
cerayA1.1 = cerclerayon( A , 1.1 )
{ i };
F = intersection( d3 , cerayA1.1 ,
1 ) { rond1 };
d4 = droiteangle( F , d3 , -17 ) { i
};
cerayF0.85 = cerclerayon( F ,
0.85 ) { i };
G = intersection( d4 ,
cerayF0.85 , 1 ) { rond1 };
d5 = droiteangle( A , d3 , -60 ) { i
};
cerayA1.3 = cerclerayon( A , 1.3 )
{ i };
H = intersection( d5 , cerayA1.3 ,
1 ) { rond1 };
sAE1 = segment( A , E );
sAF = segment( A , F );
sFG = segment( F , G );
sAH = segment( A , H );
angleDCA = angle( D , C , A );
angleCAH = angle( C , A , H );
angleCAE = angle( C , A , E );
angleEAF = angle( E , A , F );
angleAFG = angle( A , F , G );
angleFAH = angle( F , A , H );
115°
5,
2
7,4
cm
Altaïr
Lam
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
43 À l'aide du rapporteur, construis
bissectrice de chacun des angles suivants.
Bissectrice d'un angle (≥
(≥**)
41 Pour chaque cas, repasse en couleur la
demi-droite qui semble être, à vue d'œil, la
xO y .
bissectrice de l'angle 
O
x
x
y
O
y
y
x
x
O
O
y
42 Observe la figure ci-dessous puis réponds
aux questions suivantes.
a
i
h
60°
30°
60°
O
30°
30°
30° 30°
g
f
e
b
30°
60°
c
d
a. Quelle est la bissectrice de l'angle

b Oi ?
.............
b. Quelle est la bissectrice de l'angle

iOe ?
.............
c. Quelle est la bissectrice de l'angle

f Oc ?
............
d. Quelle est la bissectrice de l'angle

a Og ?
............
e. Quelle est la bissectrice de l'angle

g Ob ?
............
CHAPITRE 9 : POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
81
la
Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles
44 ABC est un triangle. Construis la bissectrice
de chacun de ses trois angles.
45 ABCDEF est un hexagone régulier inscrit
dans un cercle. Construis le dodécagone (figure à
12 côtés) régulier AIBJCKDLEMFN inscrit dans ce
même cercle.
C
A
B
A
F
B
E
C
D
82
POINTS,
SEGMENTS, DROITES, ANGLES
– CHAPITRE 9