PHYSIQUE 12e chapitre 1a Version provisoire 10 septembre 2002 AVIS : Nous donnons accès temporairement à ces chapitres (fichiers .pdf) afin d’offrir aux enseignantes, aux enseignants et aux élèves le matériel didactique dont ils ont besoin d’ici la livraison de l’ouvrage final. Malgré la rigueur de notre équipe éditoriale, des erreurs peuvent encore s’y trouver. unité 1 Les forces et le mouvement : la dynamique Dr. Kimberly Strong Atmospheric Physicist, University of Toronto Kimberly Strong became an atmospheric physicist because of her keen interest in why and how climate change affects the health of our planet. She is interested in making new discoveries that will better allow scientists to understand and respond to pressing issues like ozone depletion, atmospheric pollution, and global warming. Dr. Strong teaches physics at the University of Toronto and studies Earth’s atmosphere using specially designed instruments attached to satellites and weather balloons. Her team deploys huge balloons—as high as 25 stories—equipped with instruments used to detect gases in the atmosphere. with their global view, play Fournir texteSatellites, français a vital role in helping scientists to monitor environmental changes over time, and Strong’s knowledge of dynamics and circular motion is used consistently in her work. Strong and her colleagues also design many of the instruments that are carried on satellites that orbit Earth. Atmospheric and space physicists working in companies and universities build satellites and instrumentation for environmental monitoring with the support of the Canadian Space Agency. They also work for organizations such as Environment Canada interpreting and measuring changes in the atmosphere. This field of research is highly collaborative and often involves international partnerships. Objectifs globaux Dans cette unité, tu apprendras à : • analyser les mouvements d’objets dans un plan horizontal, vertical ou incliné, et à prévoir et à expliquer ces mouvements en observant les forces qui agissent sur ces objets ; • • étudier le mouvement dans un plan au moyen d’expériences ou de simulations ; • analyser des cas pour lesquels l’étude des forces sert à la mise au point et à l’utilisation d’appareils à composante technologique tels des véhicules et de l’équipement sportif. analyser et à résoudre des problèmes impliquant des forces agissant sur un objet animé d’un mouvement linéaire, d’un mouvement de projectile ou d’un mouvement circulaire au moyen de vecteurs, de graphiques et de schémas d’équilibre ; Unité 1 Les forces et le mouvement : la dynamique Préalables Concepts • faire la distinction entre grandeurs scalaires et quantités vectorielles • décrire et analyser le mouvement unidimensionnel à vélocité constante et le mouvement à accélération constante à l’aide des mathématiques • reconnaître les principaux types de forces • comprendre les trois lois du mouvement de Newton et sa loi de la gravitation universelle • faire la distinction entre frottement statique et frottement dynamique Habiletés • • • analyser des graphiques • définir des termes et les utiliser en contexte • faire usage des fonctions trigonométriques de base • dessiner des diagrammes à l’échelle et des schémas d’équilibre • analyser les dimensions des grandeurs • • utiliser les unités SI • communiquer par écrit au moyen de textes et de formules mathématiques • • utiliser un logiciel analyser des vecteurs manipuler des équations algébriques effectuer des recherches supervisées faire des recherches en consultant des documents imprimés et le réseau Internet 2 Unité 1 ES-TU PRÊT ? Connaissances et compréhension 1. Énumère quatre grandeurs scalaires et quantités vectorielles associées aux mouvements et aux forces ; pour chacune, indique les unités SI et donne un exemple caractéristique. 2. On laisse tomber une masse de 20 g et une masse de 50 g au repos à partir d’un même point au-dessus du sol. a) Les masses toucheront-elles le sol en même temps ? Si ce n’est pas le cas, laquelle le fera la première ? Justifie ta réponse. b) Trace un schéma d’équilibre qui montre toutes les forces agissant sur la masse de 50 g pendant sa chute. c) Quel est le poids de la masse de 20 g ? d) Donne un exemple de paire de forces action-réaction dans cette situation. 3. De quoi dépend l’intensité de la force de gravité entre la Terre et la Lune ? Donne une réponse détaillée. 4. Compare les valeurs ou concepts de chacune des paires suivantes et relève les différences en utilisant des exemples au besoin : a) cinématique, dynamique b) vitesse moyenne, vélocité moyenne c) frottement statique, frottement dynamique d) frottement utile, frottement indésirable e) fréquence, période f) rotation, révolution Recherche et communication 5. L’inspecteur de la sécurité d’un terrain de jeux prend des mesures pour déterminer l’accélération que subit un enfant soumis à un mouvement circulaire sur un manège en rotation. L’inspecteur utilise deux appareils de mesure courants, non électriques. a) Si on se base sur les unités d’accélération, quels appareils l’inspecteur pourrait-il utiliser pour prendre des mesures qui permettraient de déterminer l’accélération ? b) Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes ? 6. Dans une recherche visant à mesurer la valeur de l’accélération due à la pesanteur, où la valeur connue est 9,8 m/s2, le groupe A obtient 9,4 m/s2 et le groupe B, 9,7 m/s2. a) Détermine l’erreur possible dans la valeur obtenue par le groupe A. b) Détermine le pourcentage d’erreur possible pour la valeur obtenue par le groupe A. c) Détermine le pourcentage d’erreur pour la valeur obtenue par le groupe A. d) Détermine la différence de pourcentage entre les valeurs obtenues par les deux groupes. 7. Quelle différence y a-t-il entre une prévision et une hypothèse ? Fais des liens 8. Prenons un tube d’essai contenant un liquide et un mélange de substances de densités différentes. Si l’on fait tourner le tube rapidement dans une centrifugeuse, les substances vont-elles se mélanger davantage ou avoir tendance à se stabiliser et à se séparer ? Justifie ta réponse. Unité 1 9. La figure 1 illustre trois inclinaisons qu’il est possible de donner à une sortie d’autoroute pour des véhicules s’éloignant de l’observateur et se dirigeant vers la droite. a) Trace un diagramme des forces pour chacun des cas, en indiquant toutes les forces qui agissent sur le camion. b) Quelle serait la meilleure solution pour des véhicules qui se dirigent vers la droite ? Pourquoi ? a) Connaissances en mathématiques 1 10. Soit l’équation suivante : d vit a(t )2. 2 a) Reformule l’équation pour trouver a. b) Exprime t au moyen de la formule quadratique. tracés à l’échelle 1,00 cm 10,0 m/s. 11. La figure 2 montre les vecteurs A et B a) Détermine les composantes nord et est du vecteur A. b) Décris toutes les façons possibles de déterminer la somme vectorielle A B. c) Détermine B A et A B en utilisant la méthode qui te convient. b) La sécurité et les compétences techniques 12. La figure 3 décrit le mouvement d’une rondelle dans un plan x-y. Les points représentent l’emplacement de la rondelle à des intervalles de temps égaux de 0,10 s. a) Combien de temps s’écoule-t-il entre le début et la fin de ce mouvement ? b) Reproduis le tracé des points dans ton cahier et détermine la composante x du déplacement entre chaque paire de points. Quelle est ta conclusion à propos du mouvement suivant l’axe des x ? c) Détermine la composante y du déplacement entre chaque paire de points. Quelle est ta conclusion à propos du mouvement suivant l’axe des y ? d) Si l’échelle utilisée pour tracer le schéma est 1,0 cm = 5,0 cm, détermine la vélocité moyenne entre le début et la fin du mouvement. c) +y +x Figure 1 Le camion s’éloigne et se dirige vers la droite dans chaque cas. (question 9) début fin Figure 3 Le mouvement d’une rondelle sur une table à coussin d’air N 13. Ton partenaire de laboratoire attache un bouchon de caoutchouc troué à une corde puis le fait tourner à vitesse constante suivant un cercle horizontal dont le rayon est connu. a) Explique comment tu pourrais mesurer la période et la fréquence de révolution du mouvement du bouchon. Quels instruments seront nécessaires ? b) Quelles précautions devriez-vous prendre, toi et ton partenaire, pendant la prise des mesures ? c) Quelles seraient les sources d’erreur possibles dans cette expérience ? E 25° A B 35° Figure 2 et Les vecteurs A B (question 11) Les forces et le mouvement : la dynamique 3 chapitre 1 Dans ce chapitre, tu apprendras à : • analyser, à prévoir en termes quantitatifs et à expliquer le mouvement linéaire de divers objets dans un plan horizontal, vertical ou incliné ; • analyser, à prévoir en termes quantitatifs et à expliquer le mouvement d’un projectile, en déterminant les composantes horizontale et verticale de son mouvement ; • réaliser des expériences ou des simulations avec des objets animés d’un mouvement en deux dimensions, puis à analyser et à afficher les données obtenues sous une forme appropriée ; • prévoir le mouvement d’un objet selon sa vitesse initiale et la direction de son mouvement, puis à vérifier la prévision expérimentalement ; • concevoir ou à construire des outils technologiques à partir des concepts du mouvement de projectile. La cinématique Les ingénieurs qui conçoivent les tremplins de saut à ski, comme celui qui apparaît à la figure 1, doivent décider des angles et des longueurs des différentes composantes de la descente, tels que la pente de l’approche, l’angle de décollage et la pente de la zone d’atterrissage. Le sauteur s’élance dans les airs avec un mouvement qui suit un tracé courbe que l’on appelle une trajectoire. Dans ce chapitre, tu découvriras comment analyser cette trajectoire au moyen des concepts et des équations de la physique. Tu connais probablement les concepts et les équations du déplacement, de la vélocité et de l’accélération du mouvement en une dimension. Nous allons appliquer ici ces concepts et ces équations aux mouvements en deux dimensions. FAIS LE POINT sur tes connaissances 1. À la figure 2, les flèches représentent les vélocités initiales de quatre balles identiques qui tombent simultanément du haut d’une falaise. La résistance de l’air est négligeable. On laisse simplement tomber la balle A, alors que les balles B, C et D sont lancées avec des vélocités initiales d’intensité égale, mais selon des angles différents, comme le montre la figure. a) Dans ton cahier, trace la trajectoire qu’empruntera chaque balle dans les airs. b) Selon toi, dans quel ordre les balles atterriront-elles ? Justifie ta réponse. C B A Figure 2 Quatre balles lancées simultanément calme, alors qu’un autre traverse une rivière. Les deux canoéistes sont de force égale et les toucheront-elles le sol en même temps ? plans d’eau sont d’égale largeur. Les flèches illustrées sont des vecteurs vélocité. a) Trace les deux schémas dans ton cahier, en indiquant la trajectoire suivie par chaque canoë pour aller d’une rive à l’autre. b) Si les canoéistes partent en même temps de la rive sud, lequel arrivera le premier à la rive nord ? Justifie ta réponse. 2. À la figure 3, un canoéiste pagaie sur un lac lac direction visée N rivière E direction visée Figure 3 La largeur du lac est égale à la largeur de la rivière. 4 Chapitre 1 D circulation de l’eau pente d’approche décollage 60 m = 37° début de la pente moins abrupte atterrissage Figure 1 Les concepts de la physique peuvent être utilisés pour comprendre le mouvement d’un sauteur à ski. Ces mêmes concepts peuvent aussi être appliqués à la conception des pentes d’approche et d’atterrissage du tremplin. À TOI d’expérimenter Choisis le gagnant La figure 4 montre un appareil qui permet à une bille d’acier A de tomber directement vers le bas tout en projetant horizontalement une bille d’acier B vers l’extérieur. En supposant que les billes commencent à bouger en même temps, comment peux-tu comparer les temps qu’elles prendront pour toucher le sol ? A B a) Dans ton cahier, trace la trajectoire de chaque balle. Indique si les balles vont toucher le sol en même temps ou non et justifie ta réponse. b) Observe une démonstration de l’appareil illustré (ou d’un autre montage semblable). Compare les résultats de la démonstration à tes prévisions. Si tes observations diffèrent de tes prévisions, essaie d’expliquer les différences. Les observateurs doivent se tenir à une distance sûre des côtés de l’appareil. Figure 4 Cet appareil peut projeter une balle horizontalement tout en permettant à une seconde balle de tomber directement vers le bas. La cinématique 5 1.1 La vitesse et la vélocité en une et en deux dimensions Les visiteurs d’un parc d’amusement, comme celui de la figure 1, font l’expérience de mouvements variés. Certaines personnes marchent en ligne droite à vitesse constante. D’autres, dans un manège qui descend à la verticale, plongent à très grande vitesse avant de ralentir et de s’arrêter. Tous ces gens effectuent un mouvement en une dimension ou mouvement linéaire. Ce mouvement linéaire peut être fait dans un plan horizontal (en suivant un chemin rectiligne sur un terrain plat, par exemple), dans un plan vertical (dans le manège à mouvement vertical), ou dans un plan incliné (en montant une rampe). Le mouvement linéaire peut aussi impliquer un changement de direction de 180°, par exemple, en allant vers le haut, puis vers le bas, ou en se déplaçant vers l’est, puis vers l’ouest sur le plat. Figure 1 Combien de types de mouvement différents peux-tu identifier dans ce parc d’amusement ? cinématique étude du mouvement a) départ N E b) départ N E Figure 2 a) Le mouvement d’un chien qui court sur un terrain plat 24 m vers l’est puis 11 m vers l’ouest est un mouvement en une dimension. b) Le mouvement d’un chien qui court sur un terrain plat 24 m vers l’est puis 11 m vers le sud est un mouvement en deux dimensions. grandeur scalaire grandeur qui possède une valeur, mais pas d’orientation vitesse instantanée vitesse à un instant particulier 6 Chapitre 1 Les visiteurs du parc d’amusement font aussi l’expérience de mouvements en deux et en trois dimensions. Les passagers d’un carrousel effectuent un mouvement en deux dimensions dans un plan horizontal ; ceux d’une grande roue, un mouvement en deux dimensions dans un plan vertical ; et ceux des montagnes russes, un mouvement en trois dimensions : vers le haut et vers le bas, vers la gauche et vers la droite, courbe, tant en torsion qu’en rotation. L’étude du mouvement est appelée cinématique. Pour commencer, nous étudierons les mouvements simples en une ou en deux dimensions, comme ceux de la figure 2. Par la suite, nous appliquerons nos connaissances à des types de mouvement plus complexes. La vitesse et les autres grandeurs scalaires Réfléchis aux limites de vitesse affichées sur les routes et les autoroutes situées près de chez toi. Dans une zone scolaire, la limite maximale peut être de 40 km/h, alors qu’elle sera de 100 km/h sur une autoroute. L’unité km/h (kilomètres-heure) t’indique que la vitesse représente une distance divisée par le temps. La vitesse, la distance et le temps sont des exemples de grandeurs scalaires, lesquelles possèdent une valeur, mais pas d’orientation. En course automobile, la grille de départ est déterminée par des essais officiels qui permettent de comparer les vitesses moyennes des pilotes. Chaque pilote doit parcourir la même distance autour de la piste ; celui qui fait le meilleur temps obtient la position de tête sur la grille de départ. Lors de ces essais, il arrive que d’autres pilotes atteignent une plus grande vitesse instantanée, c’est-à-dire la plus grande vitesse à un instant Section 1.1 particulier. Mais le gagnant est celui qui maintient la meilleure vitesse moyenne, c’est-à-dire la distance totale parcourue divisée par le temps total du trajet. L’équation de la vitesse moyenne est vmoy d totale t CONSEIL où d est la distance totale parcourue en un temps total t. PROBLÈME 1 Au Molson Indy de Toronto, en Ontario, un pilote parcourt le circuit de 2,90 km à une vitesse moyenne de 1,50 102 km/h. Détermine a) la vitesse moyenne en mètres par seconde ; b) le temps en secondes pour compléter un tour de piste. Les grandeurs scalaires Le mot « scalaire » vient du latin scalæ, qui signifie « marche » ou « échelon ». Il suggère une intensité ou une valeur. Les grandeurs scalaires peuvent être positives, négatives ou nulles. CONSEIL PRATIQUE d totale , t Pour convertir les unités, nous multiplions par un facteur équivalant à 1. Nous savons que Dans l’équation vmoy 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s le symbole v vient du mot vélocité (une quantité vectorielle) et l’indice « av » indique une moyenne. La lettre grecque (delta) indique une variation dans la grandeur, dans ce cas-ci dans le temps. Le symbole t représente habituellement le temps durant lequel un événement se produit, et t, le temps entre des événements ou le temps écoulé. 1h 1 000 m km ∴1,50 102 km/h 1,50 102 1 km 3 600 s 41,7 m/s h La vitesse moyenne est de 41,7 m/s. b) PRATIQUE L’équation de la vitesse moyenne Solution a) vitesse moyenne (vmoy) distance totale parcourue divisée par le temps total du trajet vmoy 41,7 m/s d 2,90 km 2,90 103 m t ? En reformulant l’équation vmoy t d totale pour isoler t, nous obtenons t d totale vmoy 2,90 103 m 41,7 m/s t 69,6 s Le temps requis pour compléter un tour de piste est de 69,6 s. (Voir la rubrique Conseil pratique concernant les chiffres significatifs et les chiffres ronds.) Mise en pratique Saisis bien les concepts 1. Pour chacun des cas suivants, détermine si le mouvement est en une, en deux ou en trois dimensions. a) Tu laisses tomber verticalement une balle de tennis de l’état de repos. b) Tu laisses tomber verticalement une balle de tennis de l’état de repos, elle frappe le sol et rebondit directement vers le haut. c) Un ballon de basketball lancé dans les airs décrit un arc pour atteindre directement le panier. d) Un lanceur de baseball lance une balle courbe au frappeur. e) La passagère d’une grande roue tourne autour du centre de la roue en décrivant un cercle. f) Un train se déplace sur les rails des montagnes russes. CONSEIL PRATIQUE Les chiffres significatifs et les chiffres arrondis Dans tous les problèmes de ce texte — examine de près le problème 1 — les réponses ont été arrondies au nombre de chiffres significatifs approprié. Fais particulièrement attention lorsque tu réponds à une question à deux ou plusieurs volets. Par exemple, lorsque tu tentes de résoudre un problème à deux volets (a et b), conserve dans la mémoire de ta calculatrice la réponse intermédiaire (avec surplus de précision) de la partie a) (afin de t’en servir pour résoudre la partie b) sans erreur d’arrondi. L’annexe A passe en revue les règles concernant les chiffres significatifs et les chiffres ronds. La cinématique 7 Réponses 4. a) 1,20 km/h b) 2,42 102 km/h c) 2,99 102 km/h 5. a) b) 6. a) b) LE 2. Lesquelles des mesures suivantes sont des grandeurs scalaires ? 102 0,76 m/s a) b) c) d) e) la force exercée par le câble d’un ascenseur ce qu’indique l’odomètre d’une voiture la force gravitationnelle qu’exerce la Terre sur toi le nombre d’élèves de ta classe de physique ton âge 3. L’indicateur de vitesse d’une automobile indique-t-il la vitesse moyenne ou 66 s 12,1 m 104 km ; 1,04 105 m SAVAIS-TU ? L’origine du « vecteur » Le mot vecteur vient du latin vector, dont l’un des sens est « porteur » — ce qui implique qu’un objet est transporté d’un endroit à un autre dans une certaine direction. En biologie, un vecteur est un porteur de maladie. la vitesse instantanée ? La valeur indiquée est-elle scalaire ou vectorielle ? Précise tes réponses. 4. Lors des 500 milles d’Indianapolis, les pilotes doivent effectuer 200 tours d’un circuit de 4,02 km (2,50 milles). Calcule et compare les vitesses moyennes en km/h qui ont permis d’obtenir les temps suivants : a) 6,69 h (en 1911, première année de présentation de la course) b) 3,32 h (en 1965) c) 2,69 h (en 1990, encore un record plus d’une décennie plus tard) 5. Un nageur traverse une piscine circulaire de 16 m de diamètre en 21 s. a) b) Détermine la vitesse moyenne du nageur. Combien de temps prendra ce nageur pour faire le tour de la piscine s’il maintient sa vitesse moyenne ? 6. Détermine la distance totale parcourue dans chaque cas. a) b) Un son se propage à 342 m/s dans une pièce en 3,54 10–2 s. Trente-deux plongeurs se relaient pour conduire un tricycle sous-marin à une vitesse moyenne de 1,74 km/h pendant 60,0 h. (Exprime ta réponse en kilomètres et en mètres.) La vélocité et les autres quantités vectorielles quantité vectorielle grandeur qui possède à la fois une norme et une orientation ) distance et orientation position (d d’un objet par rapport à un point de référence ) variation déplacement (d de position d’un objet dans une direction donnée Plusieurs grandeurs mesurables possèdent une orientation. Une quantité vectorielle est une grandeur avec une norme et une orientation. La position, le déplacement et la vélocité sont des quantités vectorielles fréquentes en cinématique. Dans ce texte, nous identifions algébriquement une quantité vectorielle par un symbole surmonté d’une flèche suivi de l’orientation indiquée entre crochets. Vers l’est [E], [vers le haut], [vers le bas] et [vers l’avant] sont des exemples d’orientations. La position, d , représente la distance orientée d’un objet par rapport à un point de référence. Le déplacement, d, représente la variation de position, c’est-à-dire la position finale moins la position initiale. À la figure 3, une cycliste, qui se trouve initialement à 338 m à l’ouest de l’intersection, se déplace vers une nouvelle position située à 223 m à l’ouest de la même intersection. N CONSEIL PRATIQUE La norme d’un vecteur Le symbole entourant un vecteur représente la norme du vecteur. Par exemple, d représente la distance, ou norme, sans indication de la direction du déplacement ; c’est donc une grandeur scalaire. Par exemple, égale 15 m [E], alors d si d égale 15 m. 8 Chapitre 1 d1 = 338 m [O] d2 = 223 m [O] position de référence E ∆d = 115 m [E] Figure 3 1 à la position d 2, la cycliste effectue un déplacement En se déplaçant de la position d d d2 d1. Section 1.1 Nous pouvons déterminer le déplacement de la cycliste comme ceci : d d2 d1 223 m [O] 338 m [O] 115 m [O] 115 m [E] d Les quantités « 115 m [O] » et « 115 m [E] » représentent le même vecteur. La vélocité, ou taux de variation de position, est une quantité vectorielle fondamentale impliquant la position et le temps. La vélocité à un instant donné est appelée vélocité instantanée, v. Si la vélocité est constante (de sorte que le corps qui se déplace voyage à une vitesse invariable dans une direction invariable), on dit que la position varie uniformément dans le temps, ce qui résulte en un mouvement uniforme. La vélocité moyenne, vmoy, d’un mouvement représente la variation de position divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation. Cette définition nous permet d’écrire l’équation vmoy d t où d est le déplacement (ou variation de position) et t est l’intervalle de temps. Pour un mouvement à vélocité constante, la vélocité moyenne est égale à la vélocité instantanée à tout moment. PROBLÈME 2 1 vers d 2. La cycliste de la figure 3 prend 25,1 s pour se déplacer de 115 m [E] de d a) Calcule la vélocité moyenne de la cycliste. b) Si la cycliste maintient la même vélocité moyenne pendant 1 h, quel sera son déplacement total ? d3 = 565 m [O] Si la cycliste effectue un virage à d2 et roule jusqu’à la position en 72,5 s, quelle sera sa vélocité moyenne pour l’ensemble du mouvement ? c) Solution a) 115 m [E] d t 25,1 s vmoy ? vmoy d t 115 m [E] 2 5,1 s vmoy 4,58 m/s [E] La vélocité moyenne de la cycliste est de 4,58 m/s [E]. b) t 1,00 h 3 600 s vmoy 4,58 m/s [E] ? d vmoyt d (4,58 m/s [E])(3 600 s) d 1,65 104 m [E] ou 16,5 km [E] Le déplacement total est de 16,5 km [E]. LE SAVAIS-TU ? Une comparaison de déplacements Le déplacement de Québec vers Montréal est de 250 km [41° S-O]. Le déplacement de Baltimore, dans le Maryland, vers Charlottesville, en Virginie, est de 250 km [41° S-O]. Puisque ces deux déplacements ont la même norme (250 km) et la même orientation [41° S-O], ce sont des vecteurs identiques. De tels vecteurs sont identiques, même si leurs positions initiales sont différentes. vélocité (v ) taux de variation de la position vélocité instantanée vélocité à un instant particulier vélocité moyenne (vmoy) variation de la position divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation CONSEIL PRATIQUE Les propriétés des vecteurs Un vecteur divisé par un scalaire, d comme dans l’équation vmoy , t donne un vecteur. Le produit d’un vecteur et d’un scalaire est aussi un vecteur. L’annexe A traite de l’arithmétique des vecteurs. CONSEIL PRATIQUE L’analyse des unités et des dimensions Une analyse des unités (comme les mètres, les kilogrammes et les secondes) ou une analyse des dimensions (longueur, masse et temps, par exemple) peut être utile pour s’assurer que les membres de droite et de gauche d’une équation s’expriment dans les mêmes unités ou les mêmes dimensions. Essaie avec l’équation utilisée pour résoudre le problème 2b). Si les unités ou les dimensions ne sont pas les mêmes, c’est qu’il y a une erreur dans l’équation. Pour plus de détails, consulte l’annexe A. La cinématique 9 LE SAVAIS-TU ? D’autres conventions concernant l’orientation En navigation, l’orientation est définie dans le sens des aiguilles d’une montre à partir du nord. Par exemple, une orientation de 180° indique la direction sud et une orientation de 118° est l’équivalent de l’orientation [28° S-E]. En mathématiques, les angles sont mesurés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des x positifs. c) d d3 d1 565 m [O] 338 m [O] 227 m [O] d t 25,1 s 72,5 s 97,6 s vmoy ? d vmoy t 227 m [O] 97,6 s vmoy 2,33 m/s [O] La vélocité moyenne est de 2,33 m/s [O]. (Peux-tu expliquer pourquoi cette valeur est nettement inférieure à la vélocité moyenne en a) ? Mise en pratique Saisis bien les concepts Réponses 10. a) 3,0 101 km/h b) 3,0 101 km/h [E] c) 0,0 km/h 7. Donne des exemples précis de trois quantités vectorielles dont tu as eu connaissance aujourd’hui. 8. a) 11. 8,6 m [vers l’avant] b) 12. 7,6 c) 102 h ; 32 d La distance totale parcourue peut-elle être égale à la norme du déplacement ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple. La distance totale parcourue peut-elle être supérieure à la norme du déplacement ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple. La distance totale parcourue peut-elle être inférieure à la norme du déplacement ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple. 9. La vitesse moyenne peut-elle être égale à la norme de la vélocité moyenne ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple. 10. Un autobus quitte le terminus et effectue, en 24 minutes et avec quelques arrêts, un parcours rectiligne de 12 km [E] par rapport à sa position initiale. L’autobus fait demi-tour et, encore en 24 minutes, refait le chemin inverse vers le terminus. a) Quelle est la vitesse moyenne de l’autobus pour tout le trajet ? b) Calcule la vélocité moyenne de l’autobus du départ jusqu’à la position la plus éloignée du terminus. c) Trouve la vélocité moyenne de l’autobus pour tout le trajet. d) Pourquoi les réponses de b) et c) sont-elles différentes ? 11. Un conducteur de camion, réagissant rapidement à un danger, freine. Durant l’intervalle de 0,32 s que prend le conducteur pour réagir, le camion maintient une vélocité constante de 27 m/s [vers l’avant]. Quel est le déplacement du camion pendant ce temps ? 12. La sterne arctique détient le record mondial de la distance migratoire parcourue par un oiseau. Chaque année, la sterne migre des îles du nord du cercle arctique jusqu’aux côtes de l’Antarctique, un déplacement d’environ 1,6 104 km [S]. (Étonnamment, le trajet passe en grande partie au-dessus de l’eau.) Si la vélocité moyenne de la sterne durant ce voyage est de 21 km/h [S], combien de temps lui faut-il pour le faire ? (Exprime ta réponse en heures et en jours.) Mets en pratique tes connaissances 13. Les petits aéroports utilisent des manches à air, comme celle de la figure 4. Figure 4 Une manche à air standard 10 Chapitre 1 a) b) La manche à air indique-t-elle une grandeur scalaire ou une quantité vectorielle ? Quelle est-elle ? Décris les manipulations expérimentales qui te permettraient d’étalonner la manche à air. Section 1.1 Les graphiques de la position et de la vélocité Tracer un graphique est un moyen utile pour faire l’étude du mouvement. Commençons par étudier les graphiques position-temps et vélocité-temps pour des corps se déplaçant à vélocité constante. Une marathonienne court le long d’un chemin rectiligne à une vélocité constante de 5,5 m/s [S] pendant 3,0 min. Au départ (c.-à-d. à t 0), sa position initiale est d 0. Les données de sa course sont inscrites dans le tableau 1. La figure 5 présente le graphique position-temps qui en découle. Note que, pour un mouvement à vélocité constante, le graphique position-temps est une droite. Puisque la droite du graphique position-temps a une pente constante, nous pouvons calculer la pente comme étant le rapport entre la variation de grandeur sur l’axe vertical et la variation de grandeur correspondante sur l’axe horizontal. Ainsi, la pente de la droite du graphique position-temps de t 0,0 s à t 180 s est temps 990 m [S] 0 m 180 s 0 s m 5,5 m/s [S] Cette valeur sera la même peu importe la partie de la droite utilisée pour le calcul de la pente. On remarque que, pour un mouvement à vélocité constante, la vélocité moyenne est égale à la vélocité instantanée à tout moment, et que leur valeur correspond à la pente de la droite du graphique position-temps. Le graphique vélocité-temps du mouvement de la coureuse est illustré à la figure 6. Dans un exercice à venir, il te faudra démontrer que l’aire sous la courbe (zone ombrée) représente le déplacement ou, autrement dit, d pour l’intervalle de temps couvert. t (s) position d (m) [S] 0 0 60 330 120 660 180 990 1 000 800 d (m) [S] d m t Tableau 1 Les données position-temps 600 400 200 0 60 120 180 t (s) Figure 5 Le graphique position-temps du mouvement de la coureuse Décris le mouvement représenté par le graphique position-temps de la figure 7. Trace le graphique vélocité-temps correspondant. Solution La pente de la droite est constante et négative. Cela signifie que la vélocité est constante et orientée vers l’est. La position initiale est éloignée de l’origine et l’objet se déplace vers l’origine. Le graphique vélocité-temps peut être soit négatif vers l’ouest, soit positif vers l’est, comme le montre la figure 8. v (m/s) [S] PROBLÈME 3 10 5 0 60 120 180 t (s) 0 v (m/s) [E] (m) [O] d Figure 6 Le graphique vélocité-temps du mouvement de la coureuse t (s) Figure 7 Le graphique position-temps 0 t (s) Figure 8 Le graphique vélocité-temps La cinématique 11 Tableau 2 Les données position-temps temps position d (m) t (s) [vers l’avant] 0 0 2,0 4,0 4,0 16 6,0 36 8,0 64 60 d v lim t→0 t 40 20 80 0 2,0 4,0 t (s) 6,0 8,0 Figure 9 Graphique position-temps pour une vélocité instantanée qui varie. La vélocité moyenne entre deux temps peut être déterminée à l’aide d de l’équation vmoy , mais une t approche différente doit être utilisée pour trouver la vélocité instantanée. tangente droite qui touche une courbe en un point unique et qui possède la même pente que la courbe à ce point CONSEIL PRATIQUE Une notation du calcul différentiel En calcul différentiel, le symbole « » est remplacé par le symbole « d » pour représenter une grandeur infinitésimale. Ainsi, l’équation de la vélocité instantanée est dd v . dt 12 Chapitre 1 d (m) [vers l’avant] d (m) [vers l’avant] 80 Examinons maintenant les graphiques de mouvement lorsque la vélocité instantanée varie. Ce type de mouvement, souvent appelé mouvement non uniforme, implique soit un changement de direction, soit un changement de vitesse, ou les deux à la fois. Prends, par exemple, une voiture qui démarre et qui accélère, comme dans le tableau 2 et à la figure 9. Puisque la pente de la courbe du graphique position-temps croît graduellement, la vélocité le fait aussi. Pour trouver la pente d’une courbe à un instant donné, traçons une ligne droite qui touche la courbe en ce point, sans pour autant la traverser. Cette ligne est appelée tangente à la courbe. La pente de la tangente à une courbe d’un graphique position-temps correspond à la vélocité instantanée. La figure 10 montre la tangente tracée à 2,0 s pour le mouvement de la voiture. Les lignes en pointillé représentent les vélocités moyennes entre t 2,0 s et les temps suivants. Par exemple, de t 2,0 s à t 8,0 s, t 6,0 s et la vélocité moyenne est la pente de la droite A. De t 2,0 s à t 6,0 s, t 4,0 s et la vélocité moyenne est la pente de la droite B, et ainsi de suite. Note que plus t est petit, plus les pentes des droites s’approchent de la pente de la tangente à t 2,0 s (c.-à-d. qu’elles se rapprochent de la vélocité instantanée, v ). Nous pouvons donc définir la vélocité instantanée ainsi : 60 A 40 B 20 C tangente à t = 2,0 s 0 2,0 4,0 t (s) 6,0 8,0 Figure 10 Les pentes des droites A, B et C représentent les vélocités moyennes à des temps supérieurs à 2,0 s. Plus ces intervalles deviennent petits, plus les pentes se rapprochent de la pente de la tangente à t = 2,0 s. À TOI d’expérimenter Le tracé du graphique d’un mouvement linéaire Trace les graphiques position-temps et vélocité-temps qui correspondent aux situations suivantes. Après en avoir discuté avec ton groupe, utilise un détecteur de mouvement relié à un logiciel graphique pour vérifier tes prédictions. Commente la précision de tes prévisions. a) Une personne s’éloigne du détecteur, à vélocité constante, sur une distance de 5 ou 6 pas. b) Une personne s’approche du détecteur, d’une distance d’environ 4,0 m, à vélocité constante. c) Une personne s’approche du détecteur, d’une distance de 3,0 m, à vélocité constante. Elle s’arrête pendant quelques secondes. Puis, elle revient directement vers l’origine, à une vélocité constante, mais moindre. d) Une personne parcourt la moitié de la distance la séparant du détecteur, à grande vélocité constante, s’arrête brièvement, complète le reste du parcours à une faible vélocité constante, puis retourne vers l’origine à grande vélocité constante. Section 1.1 30 On peut voir à la figure 11 le graphique position-temps d’une balle de golf qui roule sur une pente descendante de l’est vers l’ouest. Nous avons choisi de façon arbitraire des coordonnées en une dimension dont l’origine se trouve à l’extrémité ouest de la pente. a) Décris le mouvement. b) Calcule la vélocité instantanée à t = 3,0 s. c) Détermine la vélocité moyenne entre 3,0 s et 6,0 s. a) La pente est nulle à t = 0,0 s, puis elle devient négative. Donc, la vélocité commence à zéro et augmente graduellement en direction ouest. (Une valeur négative vers l’est équivaut à une valeur positive vers l’ouest.) L’objet prend le départ à un point situé à l’est du point de référence ou de l’origine, puis se déplace vers l’ouest pour atteindre l’origine 6,0 s plus tard. b) La vélocité instantanée à t = 3,0 s est la pente de la tangente à cet instant. Ainsi, d v pente m t 10 v 3,0 m/s [O] La vélocité instantanée à 3,0 s est de 3,0 m/s [O]. (Cette réponse est approximative en raison de la possibilité d’erreur liée au traçage de la tangente.) Utilisons l’équation de la vélocité moyenne : d vmoy t 0,0 m 15 m [E] 6,0 s 3,0 s 2,0 4,0 t (s) 6,0 8,0 Figure 11 Le graphique position-temps du problème 4 CONSEIL 0,0 m 24 m [E] 8,0 s 0,0 s 3,0 m/s [E] c) tangente à t = 3,0 s 20 0 Solution d (m) [E] PROBLÈME 4 PRATIQUE L’image d’une tangente Un miroir plan peut être utilisé pour tracer une tangente à une courbe. Place le miroir aussi perpendiculairement à la ligne que possible, au point désiré. Ajuste l’inclinaison du miroir afin que la vraie courbe se confonde avec son image dans le miroir, assurant ainsi au miroir d’être perpendiculaire à la courbe en ce point. Trace une ligne perpendiculaire au miroir pour obtenir la tangente à la courbe. 5,0 m/s [E] vmoy 5,0 m/s [O] La vélocité moyenne entre 3,0 s et 6,0 s est de 5,0 m/s [O]. CONSEIL Mise en pratique Saisis bien les concepts 14. Décris le mouvement dépeint par chacun des graphiques de la figure 12. b) t (s) 0 d (m) [O] 0 Figure 12 c) d (m) [vers le haut] d (m) [N] a) t (s) 0 t (s) PRATIQUE Les limites de l’utilisation de la calculatrice Les calculatrices fournissent des réponses très rapidement, mais tu devrais toujours analyser ces réponses. Les fonctions trigonométriques inverses, comme sin−1, cos−1 et tan−1, démontrent les limites de l’utilisation de la calculatrice. Entre 0° et 360°, il existe deux angles avec les mêmes sinus, cosinus ou tangente. Par exemple, sin 85° = sin 95° = 0,966, et cos 30° = cos 330° = 0,866. Tu dois donc être en mesure d’interpréter les réponses données par la calculatrice. La cinématique 13 Réponses 15. Utilise l’information fournie par les graphiques de la figure 13 pour construire 16. 4,5 m [N] a) 17. 7 m/s [E] ; 0 m/s ; 7 m/s [O] ; 13 m/s [O] ; 7 m/s [O] 15 (km) [O] d d (m) [E] 30 15 v (m/s) [N] les graphiques vélocité-temps correspondants. b) 20 10 10 5 10 0 0,2 5 0,4 t (s) 0,6 0,8 6 8 0 0,5 1,0 t (h) 1,5 2,0 c) 0,2 t (s) 0,1 100 0,4 0,3 d (cm) [S] 0 Figure 14 Le graphique vélocité-temps de la question 16 50 t (h) 0 2 –50 d (m) [E] 20 4 Figure 13 Graphiques position-temps 16. Détermine l’aire comprise entre la courbe et l’axe horizontal sur le graphique vélocité-temps de la figure 14. Que représente cette aire ? (Indice : inclus les unités dans le calcul de l’aire.) 10 0 2,0 4,0 6,0 t (s) 8,0 –10 17. Retrace le graphique position-temps de la figure 15 dans ton cahier et détermine les vélocités instantanées (approximatives) à t = 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s, 4,0 s et 5,0 s. –20 Figure 15 Le graphique position-temps de la question 17 A N B 41° 22° O 15° C S orientation des vecteurs : [41° O-N] A [22° N-E] B [15° O-S] C Figure 16 La notation de l’orientation des vecteurs 14 Le déplacement et la vélocité en deux dimensions Chapitre 1 E Te dirigeant vers le nord sur une autoroute en terrain plat, tu arrives à un pont barré en raison de travaux de réfection. Ta destination se trouve de l’autre côté du pont, sur la rive nord de la rivière. En examinant une carte de la région, tu découvres une route qui va vers l’est, qui franchit la rivière vers le nord, puis qui tourne vers l’ouest jusqu’à ta destination. Les concepts de déplacement, de vélocité et d’intervalle de temps t’aident à analyser cet autre trajet comme un problème de vecteurs dans le plan horizontal. Tu peux aussi analyser le mouvement dans le plan vertical (comme dans le cas d’un ballon de football lancé en l’absence de vent) ou dans un plan incliné par rapport à l’horizontale (comme dans le cas d’une pente de ski) de la même manière. Dans le plan horizontal, les quatre points cardinaux — est, nord, ouest et sud — indiquent l’orientation. Si le déplacement ou la vélocité est à un angle entre deux points cardinaux, l’orientation doit être précisée d’une manière non équivoque. Dans ce texte, l’orientation d’un vecteur sera indiquée par l’angle mesuré par rapport à l’un des points cardinaux (figure 16). d2 d1), la vélocité moyenne Les équations définies pour le déplacement (d d d lim s’appliquent au mouvement en vmoy t et la vélocité instantanée v t→0 t deux dimensions. Toutefois, lorsqu’on analyse un mouvement en deux dimensions impli est le résultat des déplacements quant plus d’un déplacement, comme à la figure 17, d d 1 d 2 …), et est appelé déplacement total. successifs (d Section 1.1 ∆d3 PROBLÈME 5 ∆d2 Une mésange vole dans le plan horizontal, d’un poteau de clôture (P) vers un buisson (B), puis vers une mangeoire (M), comme illustré à la figure 18a). Trouve : a) la distance totale parcourue b) la vitesse moyenne c) le déplacement total d) la vélocité moyenne Solution a) La distance totale parcourue est une grandeur scalaire. d = 22 m + 11 m = 33 m b) d 33 m t 4,4 s vmoy ? vmoy ∆d ∆d1 Figure 17 Le déplacement total est la somme vectorielle des déplacements d 1 d 2 d 3 . partiels, d Note que les vecteurs sont mis bout à bout et que le vecteur résultant va de la position initiale à la position finale. d totale t 33 m 4,4 s a) vmoy 7,5 m/s B nord La vitesse moyenne est de 7,5 m/s. 28° 11 m 22 m est M c) Nous utiliserons la loi des sinus et des cosinus pour résoudre ce problème. (Nous pourrions aussi utiliser la technique des composantes ou un diagramme vectoriel à l’échelle.) Nous appliquerons la loi des cosinus pour trouver la norme . Comme l’indique la figure 18b), l’angle B est égal à 119°. du déplacement, d 22 m d 1 11 m d 2 B 119° ? d 33° b) N E En appliquant la loi des cosinus : B 2 d 2 d 2 2d d cos B d 1 2 1 2 2 (22 m)2 (11 m)2 2(22 m)(11 m)(cos 119°) d 29 m d Pour déterminer l’orientation du déplacement, nous utilisons la loi des sinus : sin P sin B 2 d d 2 sin B d sin P d (11 m)(sin 119°) sin P (29 m) est P ∆d1 33° ∆d2 28° M ∆d P B = 180° − (33° + 28°) B = 119° Figure 18 Les données du problème 5 a) La mésange prend 4,4 s pour exécuter le mouvement illustré. b) L’angle B est de 119°. P 19° Le diagramme nous montre que l’orientation du déplacement total est 33° 19° = 14° N-E. Ainsi, le déplacement total est 29 m [14° N-E]. La cinématique 15 CONSEIL PRATIQUE d) L’utilisation de calculatrices scientifiques Avertissement concernant l’utilisation des calculatrices scientifiques : lorsqu’elles sont mises en marche pour la première fois, ces calculatrices expriment normalement les angles en degrés (DEG). En appuyant sur le bouton approprié (par exemple DRG), les unités sont changées pour des radians (RAD) ou des gradients (GRA, où 90° = 100 gradients). Seuls les degrés seront utilisés ici. 29 m [14° N-E] d t 4,4 s vmoy ? d vmoy t 29 m [14° N-E] 4,4 s vmoy 6,6 m/s [14° N-E] La vélocité moyenne est 6,6 m/s [14° N-E]. Mise en pratique Saisis bien les concepts 1 = 2,4 m [32° S-O] ; 18. Calcule la somme vectorielle des déplacements d = 1,6 m [S] ; et d = 4,9 m [27° S-E]. d 2 3 19. Résous le problème 5 en utilisant a) b) Réponses 20. Un patineur, sur le canal Rideau à Ottawa, se déplace en ligne droite sur 18. 5,6 m [24° E-S] 20. a) b) 5,6 m/s ; 5,2 m/s [42° N-E] PRATIQUE L’addition de vecteurs Pour appliquer l’équation de l’addition de vecteurs d 1 d 2 …) au (d mouvement en deux dimensions, tu peux choisir de faire la somme des vecteurs de déplacement par la méthode de ton choix parmi celles présentées à l’annexe A. La méthode du diagramme vectoriel à l’échelle est excellente pour visualiser et comprendre la situation. Par contre, cette méthode n’est pas aussi précise que d’autres. La technique des composantes est précise et peut être pratique quand on additionne un grand nombre de vecteurs, mais elle exige parfois beaucoup de temps. La méthode qui utilise la loi des sinus et des cosinus est précise et assez rapide, mais elle se limite à l’addition (ou la soustraction) de seulement deux vecteurs. 16 8,5 × 102 m [25° N-E], puis en ligne droite sur 5,6 102 m [21° E-N]. L’ensemble du mouvement prend 4,2 min. a) Quel est le déplacement du patineur ? b) Quelle est la vitesse moyenne du patineur et sa vélocité moyenne ? 1,3 103 m [42° N-E] CONSEIL un diagramme vectoriel à l’échelle les composantes (Réfère-toi à l’annexe A au besoin.) Chapitre 1 RÉSUMÉ La vitesse et la vélocité en une et en deux dimensions • • Une grandeur scalaire possède une valeur, mais pas d’orientation. • • • • • Une quantité vectorielle possède une norme et une orientation. • • • • La vélocité instantanée est la vélocité à un instant particulier. • Pour un mouvement en deux dimensions, la vélocité moyenne est le déplacement total divisé par l’intervalle de temps associé à ce déplacement. La vitesse moyenne est la distance totale parcourue divisée par l’intervalle de temps total écoulé pour parcourir cette distance. La position est la distance orientée par rapport à un point de référence. Le déplacement est la variation de position. La vélocité est le taux de variation de position. La vélocité moyenne est la variation de position divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation. La vitesse instantanée est la norme de la vélocité instantanée. La pente de la courbe sur un graphique position-temps indique la vélocité. L’aire sous la courbe d’un graphique vélocité-temps indique la variation de position. Section 1.1 Section 1.1 Questions Saisis bien les concepts b) ou un vecteur. a) la norme d’une quantité vectorielle b) la composante d’une quantité vectorielle dans un certain système de coordonnées c) la masse que tu as prise au cours des 15 dernières années d) le produit d’un scalaire et d’un vecteur e) l’aire sous la courbe, au-dessus de l’axe du temps, sur un graphique vélocité-temps 2. Donne un exemple précis de mouvement possible pour chacune des descriptions suivantes. a) La vélocité est constante. b) La vitesse est constante, mais la vélocité varie sans cesse. c) Le mouvement est en une dimension et la distance totale parcourue est supérieure à la norme du déplacement. d) Le mouvement est en une dimension, la vitesse moyenne est supérieure à zéro et la vélocité moyenne est zéro. e) Le mouvement est en deux dimensions, la vitesse moyenne est supérieure à zéro et la vélocité moyenne est zéro. 3. Si deux mesures ont des dimensions différentes, peut-on les additionner ? les multiplier ? Pour chaque cas, explique pourquoi si tu réponds « non », donne un exemple si tu réponds « oui ». 4. La lumière voyage dans le vide à 3,00 108 m/s. Détermine le temps en secondes pour chacune des situations suivantes. a) La lumière voyage du Soleil jusqu’à la Terre. Le rayon moyen de l’orbite de la Terre autour du Soleil est 1,49 1011 m. b) Une lumière laser est projetée de la Terre, est réfléchie par un miroir posé sur la Lune et revient vers la Terre. La distance moyenne séparant la Terre et la Lune est 3,84 105 km. c) d) 6. Quelle grandeur peut être calculée à partir d’un graphique position-temps pour indiquer la vélocité d’un objet ? Comment trouver cette grandeur si le graphique est une courbe ? 7. Utilise les informations de la figure 20 pour construire le graphique position-temps correspondant, considérant que la position au temps t = 0 est 8,0 m [E]. v (m/s) [E] 1. Établis si chacun des éléments suivants est un scalaire Calcule la vélocité moyenne entre 8,0 s et 9,0 s ; entre 12 s et 16 s ; entre 0,0 s et 16 s. Trouve la vitesse instantanée à 6,0 s et à 9,0 s. Calcule la vélocité instantanée à 14 s. 4,0 2,0 0 8. a) 50 b) 5,0 Figure 20 Le graphique vélocité-temps Fais des liens 9. Des recherches ont montré que les conducteurs n’ayant pas consommé d’alcool prennent en moyenne environ 0,8 s pour appliquer les freins après avoir aperçu un danger. La figure 21 présente les temps de réaction approximatifs de conducteurs qui ont bu quelques bières. Recopie le tableau 3 dans ton cahier et utilise les données du graphique pour déterminer la distance de réaction. 3,0 40 d (m) [E] 4,0 Reviens sur ce que tu as fait à la question 17 de Mise en pratique et utilise un miroir plan pour vérifier la précision avec laquelle tu as tracé les tangentes dont tu t’es servi pour trouver les vélocités instantanées. Décris comment tracer des tangentes à la courbe aussi précises que possible. Temps de réaction (s) Détermine la vitesse moyenne entre 4,0 s et 8,0 s ; entre 0,0 s et 8,0 s. 2,0 3,0 t (s) Mets en pratique tes connaissances 5. La figure 19 présente le mouvement idéal d’une automobile. a) 1,0 2,0 1,0 0 30 1 2 3 4 Nombre de bières 5 Figure 21 L’effet de la bière sur les temps de réaction des conducteurs Tableau 3 Les données de la question 10 20 Vitesse 10 Distance de réaction sans alcool 4 bouteilles 5 bouteilles 0 4,0 8,0 t (s) 12 16 Figure 19 Le graphique position-temps 17 m/s (60 km/h) ? ? ? 25 m/s (90 km/h) ? ? ? 33 m/s (120 km/h) ? ? ? La cinématique 17 1.2 L’accélération en une et en deux dimensions As-tu remarqué, lorsque tu es en voiture, qu’il faut accélérer sur la rampe d’accès de l’autoroute pour y entrer sans danger (figure 1) ? Les conducteurs subissent une accélération chaque fois qu’ils accroissent ou réduisent la vitesse de leur véhicule et qu’ils changent de direction. On a craint que les véhicules utilisant des ressources énergétiques alternatives ne puissent accélérer aussi rapidement que ceux à moteurs traditionnels utilisant des combustibles fossiles. Toutefois, de nouveaux modèles permettent de dissiper ces craintes. Par exemple, la limousine électrique présentée à la figure 2 peut atteindre rapidement la vitesse requise sur une autoroute. Figure 1 Lorsqu’elles entrent sur la voie rapide d’une autoroute, les automobiles et les motocyclettes accélèrent plus facilement que les camions. LE SAVAIS-TU ? La suraccélération Il arrive que l’accélération instantanée varie, comme lorsqu’une fusée est lancée dans l’espace. Le taux de variation de l’accélération est appelé « suraccélération » ; il peut être a déterminé grâce à la relation t ou en calculant la pente de la courbe sur un graphique accélération-temps. Quelle est l’unité SI de la suraccélération ? accélération ( a ) taux de variation de la vélocité accélération moyenne (amoy) variation de la vélocité divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation accélération instantanée accélération à un instant particulier 18 Chapitre 1 Figure 2 Cette limousine électrique expérimentale, d’une masse de 3,0 103 kg, peut faire 300 km avec une charge d’une heure de sa batterie au lithium. L’accélération et l’accélération moyenne en une dimension L’accélération est le taux de variation de la vélocité. Puisque la vélocité est une quantité vectorielle, l’accélération est aussi une quantité vectorielle. L’accélération moyenne, aav , est la variation de la vélocité divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation : vf vi v amoy t t où vf est la vélocité finale, vi est la vélocité initiale et t est l’intervalle de temps. L’accélération à un instant précis, ou accélération instantanée — souvent appelée seulement accélération — est donnée par l’équation : v a lim t→0 t v Autrement dit, si t s’approche de zéro, l’accélération moyenne s’approche de t l’accélération instantanée. Comme tu pourras le constater dans les problèmes suivants, toute unité de vélocité divisée par une unité de temps donne une unité pour l’accélération moyenne et l’accélération instantanée. Section 1.2 PROBLÈME 1 Une voiture de course accélère de l’état de repos jusqu’à 96 km/h [O] en 4,1 s. Détermine son accélération moyenne. PRATIQUE Les symboles comparés Nous utilisons déjà les symboles vmoy et v pour représenter la vélocité moyenne et la vélocité instantanée. De la même façon, nous utilisons amoy et a pour représenter l’accélération moyenne et l’accélération instantanée. Lorsque l’accélération est constante, l’accélération moyenne et l’accélération instantanée sont égales et le symbole a peut être utilisé pour chacune des deux. Solution vi 0,0 km/h vf 96 km/h [O] t 4,1 s amoy ? vf vi amoy t CONSEIL 96 km/h [O] 0,0 km/h 4,1 s amoy 23 (km/h)/s [O] L’accélération moyenne de la voiture est de 23 (km/h)/s [O]. PROBLÈME 2 CONSEIL Une motocycliste qui roule à 23 m/s [N] freine, produisant une accélération moyenne de 7,2 m/s2 [S]. a) Quelle est la vélocité de la motocycliste après 2,5 s ? b) Démontre que l’équation dont tu t’es servi en a) respecte les dimensions. Solution a) vi 23 m/s [N] amoy 7,2 m/s2 [S] 7,2 m/s2 [N] t 2,5 s vf ? v v t f i De l’équation amoy , vf vi amoy t 23 m/s [N] (7,2 m/s2 [N])(2,5 s) PRATIQUE Les orientations positive et négative Au problème 2, l’accélération moyenne de 7,2 m/s2 [S] est l’équivalent de 7,2 m/s2 [N]. Dans ce cas, l’orientation positive du mouvement est vers le nord : vi = +23 m/s [N]. Ainsi, une accélération positive vers le sud est l’équivalent d’une accélération négative vers le nord et elles représentent toutes les deux un ralentissement. Le ralentissement est parfois appelé décélération, mais, pour éviter les erreurs de signe dans les équations, nous utiliserons dans ce texte le terme « accélération négative ». 23 m/s [N] 18 m/s [N] vf 5 m/s [N] La vélocité finale de la motocycliste est de 5 m/s [N]. b) Nous pouvons mettre un point d’interrogation sur le signe d’égalité pour indiquer que nous cherchons à vérifier si les dimensions des deux côtés de l’équation sont les mêmes. ? ? vf vi amoy t l ? l l 2 t t t t l ? l l t t t La dimension du côté gauche de l’équation est identique à celle du côté droit. La cinématique 19 Mise en pratique Saisis bien les concepts 1. Lesquelles des unités suivantes peuvent être utilisées pour exprimer une Réponses 4. 2,4 m/s2 5. a) [vers l’avant] 2,80 s b) accélération ? a) (km/s)/h 2. a) 96,1 km/h 6. 108 km/h [vers l’avant] 7. 42,8 m/s [E] b) b) mms2 c) Mm/min2 d) km/h2 e) km/min/min Peut-on avoir en même temps une vélocité vers l’est et une accélération vers l’ouest ? Si « non », explique pourquoi. Si « oui », donne un exemple. Peut-on avoir une accélération lorsque la vélocité est nulle ? Si « non », explique pourquoi. Si « oui », donne un exemple. 3. Un vol de rouges-gorges migre vers le sud. Décris le mouvement du vol à un instant où l’accélération est a) positive, b) négative et c) nulle. Prends le sud comme orientation positive. 4. Partant de la ligne de départ, un coureur sur piste atteint une vélocité de 9,3 m/s [vers l’avant] en 3,9 s. Détermine l’accélération moyenne du coureur. 5. La Renault Espace est une voiture de série qui peut passer de l’état de repos à 26,7 m/s avec une accélération moyenne incroyable de 9,52 m/s2. a) Combien de temps prend cette voiture pour atteindre la vitesse de 26,7 m/s ? b) Quelle est sa vitesse en km/h ? c) Démontre que l’équation dont tu t’es servi en a) respecte les dimensions. 6. L’espadon est le plus rapide de tous les poissons. S’il accélère à un taux de 14 (km/h)/s [vers l’avant] pendant 4,7 s à partir de sa vélocité initiale de 42 km/h [vers l’avant], quelle est sa vélocité finale ? 7. Dans un tournoi de tir à l’arc, une flèche qui atteint sa cible subit une accéléra- tion moyenne de 1,37 103 m/s2 [O] pendant 3,12 102 s, puis s’arrête. Détermine la vélocité de la flèche lorsqu’elle frappe la cible. Tableau 1 Les données position-temps t (s) 0 2,0 d (m) [E] 0 8,0 4,0 32 6,0 72 8,0 128 La représentation graphique d’un mouvement uniformément accéléré Un hors-bord, initialement stationnaire, accélère uniformément pendant 8,0 s et se déplace de 128 m [E] pendant ce temps. Le tableau 1 contient les données positiontemps à partir de la position de départ. La figure 3 présente le graphique position-temps correspondant. 140 120 tangente à t = 7,0 s d (m) [E] 100 Figure 3 Sur ce graphique position-temps représentant le mouvement du bateau, les tangentes à quatre instants différents donnent les vélocités instantanées à ces instants. (Le calcul de la pente n’est pas montré ici.) 20 Chapitre 1 80 tangente à t = 5,0 s 60 tangente à t = 3,0 s 40 tangente à t = 1,0 s 20 0 2,0 4,0 t (s) 6,0 8,0 Section 1.2 Rappelle-toi que la pente d’une courbe à un instant précis sur un graphique positiontemps donne la vélocité instantanée (section 1.1). Puisque la pente varie continuellement, on a besoin de plusieurs valeurs pour déterminer comment la vélocité varie en fonction du temps. On peut trouver la pente en appliquant, entre autres, la « technique de la tangente », selon laquelle plusieurs tangentes à la courbe sont tracées en différents points et les pentes de ces tangentes sont calculées. Le tableau 2 fournit les vélocités instantanées déterminées à partir des pentes ; la figure 4 présente le graphique vélocité-temps correspondant. Tableau 2 Les données vélocité-temps t (s) v (m/s) [E] 0 0 1,0 4,0 3,0 12 5,0 20 7,0 28 v (m/s) [E] 40 30 20 10 0 2,0 4,0 t (s) 6,0 8,0 Figure 4 Le graphique vélocité-temps d’un mouvement uniformément accéléré est une droite. Comment pourrais-tu déterminer l’accélération instantanée, l’accélération moyenne et le déplacement du bateau à partir de ce graphique ? L’accélération peut être donnée par la pente de la courbe sur une graphique v vélocité-temps, qui est . Dans cet exemple, la pente — donc l’accélération — t est 4,0 m/s2 [E]. La figure 5 présente le graphique accélération-temps correspondant. a (m/s2) [E] 12 8 4 0 2,0 4,0 t (s) 6,0 8,0 Figure 5 Le graphique accélération-temps d’un mouvement uniformément accéléré est une droite horizontale. Comment pourrais-tu déterminer la variation de la vélocité sur un intervalle de temps donné à partir de ce graphique ? Quelles autres informations peut-on tirer des graphiques vélocité-temps et accélérationtemps ? Comme tu l’as vu plus tôt, l’aire sous la courbe d’un graphique vélocité-temps représente la variation de position (ou le déplacement) dans l’intervalle de temps pour lequel l’aire est calculée. De la même façon, l’aire sous la courbe d’un graphique accélération-temps représente la variation de vélocité dans l’intervalle de temps pour lequel l’aire est calculée. La cinématique 21 PROBLÈME 3 La figure 6 présente le graphique accélération-temps d’une voiture qui accélère en passant de la première à la troisième vitesse. On considère que la vélocité initiale est nulle. a) Utilise les informations fournies par le graphique pour déterminer la vélocité finale pour chaque vitesse. Trace le graphique vélocité-temps correspondant. b) À partir du graphique vélocité-temps, détermine le déplacement de la voiture par rapport à sa position initiale après 5,0 s. t1 a1 4 a (m/s2) [S] t2 t3 A1 2 a3 A2 1 A3 0 Figure 6 Le graphique accélération-temps a2 3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 t (s) Solution a) L’aire sous chaque segment du graphique accélération-temps donne la variation de la vélocité dans l’intervalle de temps correspondant. A1 a1t1 A2 a2t2 (4,0 m/s2) [S] (3,0 s) (3,0 m/s2) [S] (2,0 s) A1 12 m/s [S] A2 6,0 m/s [S] A3 a3t3 (1,5 Atotale A1 A2 A3 m/s2 [S]) 12 m/s 6,0 m/s 6,0 m/s (4,0 s) A3 6,0 m/s [S] Atotale 24 m/s La vélocité initiale est v1 = 0,0 m/s. La vélocité finale en première vitesse est v2 = 12 m/s [S], en deuxième vitesse v3 = 18 m/s [S] et en troisième vitesse v4 = 24 m/s [S]. La figure 7 présente le graphique vélocité-temps correspondant. t1 t2 t3 v (m/s) [S] 30 Figure 7 Le graphique vélocité-temps 22 Chapitre 1 v4 20 v3 v2 10 v1 0 A5 A4 1 2 3 4 5 t (s) 6 7 8 9 Section 1.2 b) L’aire sous chaque droite du graphique vélocité-temps donne la variation de la position dans l’intervalle de temps. 1 A4 v2 v1 (t1) 2 1 (12 m/s [S]) (3,0 s) 2 A4 18 m [S] 1 A5 v2(t2) v3 v2(t2) 2 1 (12 m/s [S]) (2,0 s) (18 m/s [S] 12 m/s [S]) (2,0 s) 2 A5 30 m [S] (L’aire A5 peut aussi être trouvée en utilisant l’équation de l’aire d’un trapèze.) Le déplacement de la voiture après 5,0 s est de 18 m [S] + 30 m [S] = 48 m [S]. On donne une petite poussée à un chariot placé sur un plan incliné, comme à la figure 8 ; le chariot roule vers le haut, s’arrête, puis redescend. Un détecteur de mouvement se trouve au bas du plan pour générer les graphiques position-temps, vélocité-temps et accélération-temps. Pour le mouvement qui se produit après l’application de la force -t, v-t et a-t pour : de poussée sur le chariot, esquisse l’allure des graphiques d a) une orientation positive vers le haut b) une orientation positive vers le bas a) Observe le mouvement et les graphiques correspondants ; compare tes prévisions avec les résultats obtenus. Attrape le chariot dans son mouvement vers le bas avant qu’il ne frappe le détecteur de mouvement. détecteur de poussée initiale mouvement sur le chariot v (m/s) [O] La représentation graphique d’un mouvement accéléré 0 b) Figure 8 Un détecteur de mouvement te permet de vérifier tes prévisions graphiques. v (km/h) [vers l’avant] 0 c) Saisis bien les concepts 8. Explique comment faire pour déterminer a) b) l’accélération moyenne à partir d’un graphique vélocité-temps ; la variation de vélocité à partir d’un graphique accélération-temps. 9. Décris le mouvement représenté par chacun des graphiques de la figure 9. d) a (m/s2) [N] 0 Mise en pratique t (s) d (cm) [S] À TOI d’expérimenter 0 t (s) t (s) t (s) Figure 9 Les graphiques de la question 9 La cinématique 23 10. Le tableau 3 résume les observations faites sur un bébé qui rampe et qui subit une Réponse accélération constante sur plusieurs intervalles successifs de 2,0 s. a) Trace le graphique vélocité-temps de ce mouvement. b) Utilise les informations fournies par ton graphique vélocité-temps pour tracer le graphique accélération-temps correspondant. 12. 132 m [S] Tableau 3 Les données de la question 10 t (s) 0,0 v (cm/s) [E] 2,0 10 4,0 15 20 6,0 15 8,0 10 10 5,0 12 0,0 11. La figure 10 présente le graphique accélération-temps d’un joueur de ligne de a (m/s2) [E] football qui a été poussé par d’autres joueurs à partir d’une vélocité initiale nulle. Trace le graphique vélocité-temps correspondant. 1,5 1,0 0,5 0 –0,5 –1,0 –1,5 t (s) 1,0 2,0 3,0 4,0 Figure 10 Le graphique accélération-temps 12. Détermine le déplacement de la voiture après 9,0 s à partir du graphique vélocité- temps de la figure 7. Fais des liens 13. Les graphiques accélération-temps présentés aux figures 6, 9b) et 10 représentent des situations idéales de mouvement uniformément accéléré. a) Que signifie « idéales » ici ? b) Cite un avantage à présenter des exemples en situation idéale, plutôt que réelle, dans un texte qui traite de notions fondamentales de physique. c) Retrace le graphique de la figure 6 afin de respecter de façon plus précise le mouvement réel d’une voiture qui accélère. La résolution des problèmes de mouvement uniformément accéléré v vf vi 0 t ∆t Figure 11 La figure représentée sur ce graphique est un trapèze. L’aire sous la droite est donc le produit de la longueur moyenne des deux côtés vi vf parallèles, , et de la distance 2 perpendiculaire entre eux, t. 24 Chapitre 1 vf vi L’équation définie pour l’accélération moyenne, amoy , n’inclut pas le t déplacement. Tu as vu que nous pouvons déterminer le déplacement en déterminant l’aire sous la courbe d’un graphique vélocité-temps. Nous pouvons combiner cette observation avec l’équation définie pour l’accélération moyenne pour trouver d’autres équations utiles à l’analyse du mouvement uniformément accéléré. Souviens-toi que, lorsque l’accélération est constante, a amoy, nous utilisons alors le symbole a pour représenter l’accélération. La figure 11 présente le graphique vélocité-temps d’un mouvement uniformément accéléré dont la vélocité initiale est vi. L’aire sous la droite est l’aire d’un trapèze, 1 d (vf vi)t. Cette équation, sans la variable a , peut être combinée avec 2 l’équation définie pour l’accélération moyenne pour trouver trois autres équations, chacune incluant quatre des cinq variables possiblement associées à un mouvement uniformément accéléré. Par exemple, pour obtenir une équation de laquelle t est éliminé, nous omettons la notation vectorielle ; ainsi, nous évitons le problème mathématique posé par la multiplication de deux vecteurs. Nous pouvons maintenant reformuler l’équation définie pour l’accélération moyenne pour obtenir t, puis substituer t pour trouver d : Section 1.2 vf vi a t vf vi t a 1 d (vf vi )t 2 1 vf vi (vf vi ) a 2 vf2 vi2 d 2 a 2ad vf2 vi2 Par conséquent, vf2 vi2 2ad . De la même façon, la substitution peut être utilisée pour trouver les deux équations finales desquelles les variables vf et vi sont éliminées. Les cinq équations ainsi obtenues pour un mouvement uniformément accéléré sont présentées dans la tableau 4. Tu peux vérifier que les transformations et les substitutions sont valables en te servant de l’analyse dimensionnelle ou de l’analyse des unités pour ces équations. Tableau 4 Les équations du mouvement uniformément accéléré Variables impliquées Équation générale Variable éliminée a, vf, vi, t vf vi a t d , vi, a, t d vit 1 a (t )2 d 2 vf , vi, vf, t d vmoyt d a ou 1 d (vi vf)t 2 vf, vi, a, d vf2 vi2 2ad t , vf, t, a d vft 1 a (t )2 d 2 vi PROBLÈME 4 Un motocycliste, roulant initialement à 12 m/s [O], passe à une vitesse supérieure et accroît sa vitesse pendant 3,5 s avec une accélération constante de 5,1 m/s2 [O]. Quel est le déplacement du motocycliste durant cet intervalle de temps ? Solution vi 12 m/s [O] a 5,1 m/s2 [O] t 3,5 s ? d vit 1a(t)2 d 2 1 (12 m/s [O])(3,5 s) (5,1 m/s2 [O])(3,5 s)2 2 73 m [O] d Le déplacement du motocycliste est de 73 m [O]. La cinématique 25 PROBLÈME 5 Une fusée lancée verticalement, à partir du repos, atteint une vélocité de 6,3 102 m/s [vers le haut] à une altitude de 4,7 km au-dessus de la rampe de lancement. Détermine l’accélération de la fusée pendant ce mouvement, en supposant qu’elle est constante. Solution 4,7 km [vers le haut] 4,7 103 m [vers le haut] d vi 0 m/s vf 6,3 102 a ? m/s [vers le haut] Nous décidons que l’orientation [vers le haut] est positive. Puisque t n’est pas donné, nous utilisons l’équation vf2 vi2 2ad vf2 2ad v2 a f 2d (6,3 102 m/s)2 2(4,7 103 m) a 42 m/s2 Puisque la valeur de a est positive, l’accélération est de 42 m/s2 [vers le haut]. PROBLÈME 6 Avant de s’immobiliser, une pierre de curling glisse sur la glace et subit une accélération constante de 5,1 cm/s2 [E] en se déplaçant de 28 m [O] par rapport à sa position initiale. Détermine a) sa vélocité initiale et b) la durée du déplacement. Solution La figure 12 montre que l’orientation de l’accélération est opposée à celle du mouvement de la pierre et que l’orientation positive a été choisie vers l’ouest. a = 5,1 cm/s2 [E] vf = 0 Figure 12 La situation du problème 6 28 m [O] d vf 0 m/s a 5,1 cm/s2 [E] 0,051 m/s2 [E] 0,051 m/s2 [O] t ? vi ? vf2 vi2 2ad 0 vi2 2ad vi2 2ad vi 2ad 2)(28 2(0 ,051 /s m m) vi 1,7 m/s La vélocité initiale est vi 1,7 m/s [O]. Chapitre 1 vi = ? ∆ d = 28 m [O] a) 26 + orientation Section 1.2 b) N’importe laquelle des équations pour un mouvement uniformément accéléré peut être utilisée pour trouver t. vf vi a t vf vi t a 0 1,7 m/s [O] 0,051 m/s2 [O] t 33 s L’intervalle de temps pendant lequel la pierre de curling ralentit et s’arrête est de 33 s. Mise en pratique Saisis bien les concepts 14. Tu connais la vélocité initiale, le déplacement et l’intervalle de temps pour un certain mouvement uniformément accéléré. Laquelle des cinq équations de base utiliserais-tu pour trouver a) l’accélération et b) la vélocité finale ? 15. Démontre que l’équation du mouvement uniformément accéléré de laquelle t a été éliminé respecte les dimensions. 16. Reformule l’équation du mouvement uniformément accéléré de laquelle l’accé- lération moyenne a été éliminée de manière à a) isoler t et b) isoler vf . Réponses 19. 44 m/s [O] 20. 4,6 104 m/s2 [N] 21. a) 15 m [vers l’avant] b) 8,3 m/s [vers l’avant] 22. a) 5,60 1015 m/s2 [O] 9,39 109 s 17. En utilisant l’équation de l’accélération constante et l’équation du déplacement b) exprimée en termes de vélocité moyenne, trouve l’équation du mouvement uniformément accéléré a) de laquelle la vélocité finale a été éliminée ; b) de laquelle la vélocité initiale a été éliminée. 24. 0,13 s 18. On frappe un volant de badminton, lui donnant ainsi une vélocité horizontale de 73 m/s [O]. La résistance de l’air provoque une accélération constante de 18 m/s2 [E]. Détermine la vélocité du volant après 1,6 s. 19. Une balle de baseball se déplaçant horizontalement à 41 m/s [S] est frappée par le bâton du frappeur et sa vélocité devient 47 m/s [N]. Elle est en contact avec le bâton pendant 1,9 ms et subit une accélération constante durant cet intervalle. Quelle est l’accélération ? 20. Alors qu’elle s’élance du bloc de départ, une sprinteuse subit une accélération constante de 2,3 m/s2 [vers l’avant] pendant 3,6 s. Détermine a) le déplacement de la sprinteuse et b) sa vélocité finale. 21. Un électron voyageant à 7,72 107 m/s [E] pénètre dans un champ de force qui réduit sa vélocité à 2,46 107 m/s [E]. Son accélération est constante et son déplacement durant l’accélération est de 0,478 m [E]. Détermine a) l’accélération de l’électron ; b) l’intervalle de temps pendant lequel il y a accélération. Mets en pratique tes connaissances 22. Décris les manipulations expérimentales qui te permettraient de déterminer l’accélération d’un livre glissant jusqu’à un obstacle sur un banc du laboratoire ou sur le plancher. Quelles variables pourrais-tu mesurer et comment pourraistu calculer l’accélération ? Si c’est possible, fais l’expérience. Fais des liens 23. Le temps de réaction peut être crucial, surtout lorsqu’il s’agit d’éviter un accident d’automobile. Tu conduis à 75,0 km/h [N] lorsque tu aperçois un véhicule immobilisé 48 m droit devant toi. Tu freines, t’arrêtant juste à temps pour éviter l’impact. Les freins provoquent une accélération constante de 4,80 m/s2 [S]. Quel a été ton temps de réaction ? La cinématique 27 L’accélération en deux dimensions Une accélération en deux dimensions se produit lorsque la vélocité d’un objet se déplaçant dans un plan subit une variation d’intensité ou une variation d’orientation, ou encore une variation simultanée d’intensité et d’orientation. Dans la situation illustrée à la figure 13, un préposé à l’entretien des parcs pousse une tondeuse sur le gazon autour d’une plate-bande en forme de croissant à une vitesse constante de 1,8 m/s. La tondeuse accélère-t-elle ? Oui : l’orientation de la vélocité de la tondeuse varie, même si son intensité ne varie pas. L’équation de l’accélération moyenne introduite pour un mouvement en une dimension s’applique aussi à un mouvement en deux dimensions. Ainsi, vf vi v amoy t t Il est important de se rappeler que vf vi est une soustraction vectorielle. L’équation peut aussi être appliquée aux composantes vectorielles. Ainsi, v vfx vix amoy,x x t t et vy vfy viy amoy,y t t où, par exemple, vfy représente la composante y de la vélocité finale. N Figure 13 Lorsque la tondeuse à gazon suit le bord de la plate-bande à vitesse constante, elle accélère : l’orientation de son mouvement varie constamment. E direction de la tondeuse v B = 1,8 m/s [15° E-N] B A vA = 1,8 m/s [27° S-E] PROBLÈME 7 La tondeuse à gazon de la figure 13 prend 4,5 s pour se déplacer de A à B. Quelle est son accélération moyenne ? +y N +x E −vAy Solution −vA β vBx vAx vBy vB vA 1,8 m/s [27° S-E] t 4,5 s vB 1,8 m/s [15° E-N] amoy ? Commençons par trouver v, requis dans l’équation de l’accélération moyenne. Dans ce cas-ci, nous choisissons de travailler avec les composantes vectorielles, bien que d’autres méthodes puissent être utilisées (comme la loi des sinus et des cosinus). La soustraction vectorielle, v vB (vA ), est présentée à la figure 14. En prenant les composantes : vx vBx (vAx ) vB sin v (vA cos b ) Figure 14 La détermination de l’orientation de la variation du vecteur vélocité 28 Chapitre 1 1,8 m/s (sin 15°) 1,8 m/s (cos 27°) vx 1,1 m/s Section 1.2 et vy vBy (vAy ) +y N vB cos v (vA sin b ) +x E 1,8 m/s (cos 15°) 1,8 m/s (sin 27°) vy 2,6 m/s ∆vx En utilisant la loi de Pythagore : v2 vx2 vy2 ∆vy ∆v v2 (1,1 m/s)2 (2,6 m/s)2 f v 2,8 m/s Trouvons maintenant l’orientation du vecteur illustré à la figure 15 : 1,1 m/s f tan1 2,6 m/s Figure 15 Les vélocités et leurs composantes pour le problème 7 f 23° L’orientation est [23° O-N]. Pour calculer l’accélération moyenne : v amoy t 2,8 m/s [23° O-N] 4,5 s amoy 0,62 m/s2 [23° O-N] L’accélération moyenne est de 0,62 m/s2 [23° O-N]. Mise en pratique Saisis bien les concepts 24. Une automobile avec une vélocité de 25 m/s [E] passe à une vélocité de 25 m/s [S] en 15 s. Calcule son accélération moyenne. 25. Un navire dont la vélocité initiale est de 6,4 m/s [E] subit une accélération moyenne de 2,0 m/s2 [S] pendant 2,5 s. Quelle est sa vélocité finale ? 26. Comme le montre la figure 16, une rondelle de hockey rebondit sur la bande. La rondelle est en contact avec la bande pendant 2,5 ms. Détermine l’accélération moyenne de la rondelle durant cet intervalle. vi= 26 m/s N vf= 21 m/s 22° 25. 2,4 m/s2 [45° S-O] 26. 8,1 m/s [38° S-E] 27. 7,3 103 m/s [75° N-O] 28. 17 m/s [10° au-dessus de l’horizontale] 29. amoy,x 9,0 102 m/s2 ; amoy,y 2,5 102 m/s2 E 22° Réponses Figure 16 Le mouvement de la rondelle 27. Le passager d’une montgolfière lance une balle à une vélocité initiale inconnue. La balle accélère à 9,8 m/s2 [vers le bas] pendant 2,0 s ; à cet instant, sa vélocité instantanée est 24 m/s [45° sous l’horizontale]. Détermine la vélocité initiale de la balle. 28. À 15 h, un camion roulant sur une autoroute sinueuse a une vélocité de 82,0 km/h [38,2° E-N] ; à 15 h 15, il a une vélocité de 82,0 km/h [12,7° S-E]. En considérant que les x positifs sont orientés vers l’est et les y positifs vers le nord, détermine les composantes x et y de l’accélération moyenne pendant cet intervalle de temps. La cinématique 29 L’accélération en une et en deux dimensions RÉSUMÉ • • • L’accélération moyenne est le taux de variation moyen de la vélocité. • • La pente de la droite sur un graphique vélocité-temps représente l’accélération. • L’analyse mathématique du mouvement uniformément accéléré met en cause cinq variables et cinq équations, chaque équation exprimant une relation entre quatre des cinq variables. • Pour un mouvement en deux dimensions, l’accélération moyenne est déterminée en utilisant la soustraction vectorielle v vf vi divisée par l’intervalle de temps t. L’accélération instantanée est l’accélération à un instant précis. La technique de la tangente peut être utilisée pour déterminer la vélocité instantanée sur le graphique position-temps d’un mouvement accéléré. L’aire sous la courbe d’un graphique accélération-temps représente la variation de vélocité. Section 1.2 Questions Saisis bien les concepts 6. Décris le mouvement représenté par chacun des 1. Donne les conditions sous lesquelles l’accélération instan- tanée et l’accélération moyenne sont égales. graphiques de la figure 17. a) b) 2. Peut-on avoir une vélocité vers le nord et une accélération vers l’ouest ? Si « non », explique pourquoi. Si « oui », donne un exemple. d v 3. Un avion supersonique volant de Londres en Angleterre jusqu’à la ville de New York change sa vélocité de 1,65 103 km/h [O] à 1,12 103 km/h [O] lorsqu’il se prépare à atterrir. Ce changement nécessite 345 s. Détermine l’accélération moyenne de l’avion a) en kilomètres-heure par seconde et b) en mètres par seconde au carré. 4. a) b) Esquisse un graphique vélocité-temps, avec un intervalle de 4,0 s, pour une voiture se déplaçant dans une dimension, avec une vitesse croissante et une accélération décroissante. Explique comment déterminer l’accélération instantanée à t = 2,0 s sur ce graphique. 0 t 0 t c) v 0 t Figure 17 5. Le tableau 5 fournit les données position-temps d’une personne soumise à une accélération constante à partir de l’état de repos. a) Trace les graphiques vélocité-temps et accélérationtemps correspondants. b) Utilise au moins une équation du mouvement uniformément accéléré pour vérifier le calcul final de l’accélération en a). Tableau 5 Les données position-temps 30 t (s) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 d (m) [O] 0 0,26 1,04 2,34 4,16 Chapitre 1 7. Une automobile en déplacement à 26 m/s [E] ralentit avec une accélération moyenne constante de 5,5 m/s2. Détermine sa vélocité après 2,6 s. 8. L’accélération de freinage maximale d’une voiture est constante et égale à 9,7 m/s2. La voiture s’immobilise 2,9 s après que le conducteur a freiné à fond. Détermine sa vitesse initiale. Section 1.2 9. Utilise l’information fournie par le graphique vélocité-temps v (m/s) [O] de la figure 18 pour tracer les graphiques position-temps et accélération-temps correspondants. 15 10 5 0 –5 –10 –15 a) b) c) 4,0 8,0 t (s) 12 À quel instant après l’apparition du feu vert C et V ont-elles la même vélocité ? À quel instant après l’apparition du feu vert C dépasse-t-elle V ? (Indice : leur déplacement doit être égal à cet instant.) Détermine le déplacement par rapport à l’intersection lorsque C dépasse V. 15. Un oiseau prend 8,5 s pour voler de la position A à la position B en suivant la trajectoire décrite à la figure 20. Détermine son accélération moyenne. vB = 7,8 m/s [25° N-E] Figure 18 A 10. Un sauteur à ski, partant du repos, glisse sur une pente pendant 3,4 s avec une accélération constante de 4,4 m/s2 [vers l’avant]. Détermine a) la vélocité finale du sauteur et b) son déplacement. 11. Un électron accélère uniformément à partir du repos pour atteindre une vélocité de 2,0 107 m/s [E] en se déplaçant de 0,10 m [E]. a) Quelle est l’accélération (constante) de l’électron ? b) Combien de temps prend l’électron pour atteindre sa vélocité finale ? 12. Durant un intervalle de 29,4 s, la vélocité d’une fusée passe de 204 m/s [vers l’avant] à 508 m/s [vers l’avant]. En supposant que cette fusée a une accélération constante, détermine son déplacement durant cet intervalle de temps. 13. Une balle quitte le canon d’un fusil avec une vélocité de 4,2 m/s [vers l’avant]. Le canon mesure 0,56 m. L’accélération transmise par l’explosion de la poudre à canon est uniforme tant et aussi longtemps que la balle est dans le canon. a) Quelle est la vélocité moyenne de la balle dans le canon ? b) Sur quel intervalle de temps l’accélération uniforme se produit-elle ? 102 B vA = 4,4 m/s [31° S-E] N E Figure 20 16. Un hélicoptère se déplaçant horizontalement à 155 km/h [E] exécute un virage graduel et, après 56,5 s, vole à 118 km/h [S]. Quelle est l’accélération moyenne de l’hélicoptère en kilomètres-heure par seconde ? Fais des liens 17. Lors d’une compétition, le temps le plus rapide au 100 m sprint féminin a été de 11,0 s, alors que le temps le plus rapide pour le relais quatre fois 100 m féminin a été de 42,7 s. Pourquoi serait-il faux de conclure que chacune des quatre femmes du relais pourrait courir un 100 m en moins de 11,0 s ? (Indice : pense à l’accélération.) 14. Une voiture (V) et une camionnette (C) sont arrêtées l’une à côté de l’autre à un feu rouge. Lorsque la lumière passe au vert, les deux véhicules accélèrent suivant le mouvement représenté à la figure 19. v (m/s) [S] 20 Figure 19 Le graphique vélocité-temps des mouvements de deux véhicules C 15 V 10 5 0 30 60 90 120 t (s) 150 180 220 La cinématique 31 1.3 accélération due à la pesanteur ( g ) accélération d’un objet qui tombe verticalement vers la surface de la Terre chute libre mouvement d’un objet vers la Terre sous l’effet de la seule force de la pesanteur Figure 1 Aristote (384–322 av. J.-C.) Figure 2 Galilée (1564–1642) L’accélération due à la pesanteur Un plongeur qui saute d’un tremplin de 3 m entre dans l’eau à une vitesse d’environ 28 km/h. Du tremplin de 10 m, par contre, sa vitesse est d’environ 50 km/h. Plus un objet tombe de haut par rapport à la surface de la Terre, plus grande est sa vitesse à l’atterrissage, à condition que la résistance de l’air demeure négligeable. L’accélération d’un objet qui tombe verticalement vers la surface de la Terre s’appelle accélération due à la pesanteur. Les objets ne subissent pas tous la même accélération vers le sol. Si tu laisses tomber un bouchon en caoutchouc et une feuille de papier de la même hauteur au même instant, le bouchon touchera le sol le premier. Toutefois, si tu chiffonnes la feuille de papier pour en faire une petite boule, le papier et le bouchon arriveront au sol à peu près en même temps. Donc, si on néglige la résistance de l’air, l’accélération due à la pesanteur en un endroit donné est constante, et tous les objets qui tombent accélèrent vers le bas au même rythme. On dit d’un objet qui tombe vers la Terre sans subir d’autre force que la pesanteur qu’il est en chute libre. Il y a très longtemps, les gens pensaient que les objets lourds tombaient plus rapidement que les objets plus légers. Ainsi, le philosophe grec Aristote (figure 1), homme de science, enseignant et autorité scientifique reconnue à son époque, avait observé qu’une roche tombait plus rapidement qu’une feuille ou qu’une plume. Il a même « prouvé » que les objets lourds tombaient plus rapidement que les objets légers et qu’une force était nécessaire à tout mouvement. On a appelé la physique basée sur les principes d’Aristote « physique aristotélicienne ». (Après Newton, elle est devenue la « physique newtonienne ».) Les idées d’Aristote, y compris sa théorie sur les objets qui tombent, ont été acceptées pendant près de 2 000 ans. L’homme de science italien Galilée (figure 2) a découvert que tous les objets tombaient vers la Terre avec la même accélération, si on ne tenait pas compte de l’effet de la résistance de l’air. Galilée a fait plusieurs découvertes scientifiques, dont certaines ont mené à des inventions importantes, comme l’horloge à pendule et le télescope. En utilisant le télescope, il a pu voir des taches à la surface du Soleil, obtenir des gros plans de cratères sur la Lune, observer les phases de Vénus et certaines des plus grandes lunes en orbite autour de Jupiter. Ses observations appuyaient la théorie que la Terre n’était pas au centre du système solaire (théorie géocentrique), mais que les planètes étaient en orbite autour du Soleil (théorie héliocentrique). Les autorités ecclésiastiques ont refusé d’admettre cette théorie, et Galilée a été assigné à résidence pour en avoir traité dans ses écrits. En dépit de cette persécution, il a continué d’écrire sur ses découvertes, ses inventions et ses théories scientifiques jusqu’à sa mort en 1642, année même de la naissance en Angleterre d’un autre grand chercheur du nom d’Isaac Newton. Mise en pratique LE SAVAIS-TU ? La « quintessence » Aristote associé toute la matière présente sur la Terre à l’un des quatre éléments : terre, air, feu ou eau. Ils croyaient que les objets au-dessus de la Terre, par exemple les étoiles, étaient formés d’un cinquième élément qu’ils ont appelé la quintessence. Ce terme est dérivé de « quinte », qui signifie cinquième, et de « essentia », qui signifie essence. 32 Chapitre 1 Saisis bien les concepts 1. La résistance de l’air est non négligeable pour une parachutiste qui saute d’un avion et qui tombe vers le sol ; cependant, si la même personne plonge d’un tremplin dans une piscine, la résistance de l’air est négligeable. Explique la différence. 2. Décris le désavantage qu’il y a à n’utiliser que le raisonnement plutôt que de faire appel à l’expérimentation pour déterminer la dépendance d’une variable par rapport à une autre. Illustre ta réponse au moyen d’un exemple. Mets en pratique tes connaissances 3. Quel montage expérimental permettrait de démontrer que, en l’absence de résistance de l’air, une plume et une pièce de monnaie tombent vers la Terre au même rythme lorsqu’on les laisse tomber en même temps ?