Enroulement sur le cercle Cosinus et sinus d`un réel

Chapitre 6 – Améliorer ses techniques – Corrigés
Enroulement sur le cercle
Exercice 1
D’ est le point image du réel
J’ est le point image du réel
F’ est le point image du réel
E’ est le point image du réel
Exercice 2
Les réels qui s’appliquent sur les points A’, D, E’ et I’ lorsque l’on enroule la droite
numérique sur :
a. dans le sens direct au premier tour :
A’ est le point image du réel
; D du réel
; E’ du réel
et I’ du réel .
b. dans le sens direct au second tour,
A’ est le point image du réel
; D du réel
; E’ du réel
et I’ du réel
c. dans le sens indirect au premier tour.
A’ est le point image du réel
; D du réel
; E’ du réel
.
et I’ du réel
.
Cosinus et sinus d’un réel
Exercice 3
a. A’ est le point image du réel
dont le
est
b. E’ est le point image du réel
dont le
est
c. D est le point image de
dont le cosinus est
d. J’ est le point image du réel
dont le
b. –
c.
–
a pour image F’ ;
d.
a pour image D’ ;
e.
= 1005× (2
f.
–
a pour image E ;
+
= 502×(2
Math’x © Éditions Didier 2010
.
est et le sinus est
a pour image D’ ;
Il a pour image I’ ;
Il a pour image J’ ;
.
et le sinus est
et le sinus est
Exercice 4
a.
et le sinus est
.
.
Chapitre 6 – Améliorer ses techniques – Corrigés
Exercice 5
a. Le point à placer est confondu avec A et
b. Le point à placer est confondu avec E’ et
.
c.
.
Exercice 6
A est l’image de
et
B est l’image de
J est l’image de
.
;
et
;
et
.
.
Exercice 7
1. Les réels de ]–
qui ont pour images les points
A, B, C, D, E, F, G, H sont respectivement :
pour A : 0 ; pour B : ; pour C :
;
pour D :
pour E :
pour G :
pour H :
pour F :
2. Les réels que [0 ; 2 qui ont pour images les points
A, B, C, D, E, F, G et H sont respectivement :
pour A : 0 ; pour B : ; pour C :
;
pour D :
pour E :
pour F :
pour G :
pour H
.
3. a. En multipliant numérateur et dénominateur par
b.
Les réels
Les réels
b.
on obtient :
équivaut à
correspondant sont ceux qui ont pour images D ou F.
de –
tels que
sont donc et – .
équivaut à
Les réels de [0 ;
Ce sont donc
et
tels que sont ceux qui ont pour images F ou H.
Math’x © Éditions Didier 2010
Chapitre 6 – Améliorer ses techniques – Corrigés
Exercice 8
1. Soit
et
.
a.
;
b.
Donc
c.
.
et
0 donc
2.
Exercice 9
1. On considère la proposition : « si
Trouver, si possible, un réel
a. Pour
, la proposition est vraie.
En effet on a bien
et comme
b. Pour
la proposition soit fausse.
En effet on a bien
, mais comme sin
et
2. On considère la proposition : « si
, alors
a. Pour
».
, alors sin
tel que :
, on aussi
et
on n'a pas
».
la proposition est vraie
b. Pour
la proposition est fausse.
Cosinus et Sinus d’un angle : valeurs remarquables
Exercice 10
Dans le triangle BHC rectangle en H :
d’où
d’où
.
2
.
Dans le triangle CHA rectangle en H :
d’où
d’où
Conclusion :
Math’x © Éditions Didier 2010
.
Chapitre 6 – Améliorer ses techniques – Corrigés
Exercice 11
Soit [AH] la hauteur issue de A dans le
triangle ABC. Les longueurs seront
exprimées en km.
Dans le triangle ABH rectangle en H :
•
d’où
soit
•
d’où
soit
.
De
et
, on déduit que
.
Par le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H :
. Par conséquent
.
Exercice 12
1. Le triangle ABC est rectangle en B donc son
aire est égale à
=
Or dans le triangle ABC rectangle en B,
.
Par conséquent
et
.
2. L’aire du triangle ABH est
puisque le triangle est rectangle en H.
Dans ABH rectangle en H :
Donc
,
et
.
et
3. L’aire du triangle ABH est égale au quart de celle du triangle ABC si et seulement si
ce qui s’écrit encore
Or
=
.
Donc
Comme ABC est un vrai triangle,
Comme
est un angle aigu,
Math’x © Éditions Didier 2010
donc