résolution d`équations algébriques

Résolution des équations algébriques.
algébriques
Une équation algébrique est une équation de la forme : x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a1 x + a0 = 0
où l’inconnue est x et où a0 , a1 ,..., an −1 sont des nombres connus qu’on appelle coefficients de l’équation.
On dit que l’équation est de degré n.
n ( exemple d’équation non algébrique : x 2 − sin x = 0 )
Les mathématiciens se sont très tôt intéressés aux équations algébriques car elles figurent
figure parmi les plus
simples que l’on
on puisse se poser (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont faciles à résoudre !)
Le problème consistant à « résoudre » ce type d’équations peut prendre différentes formes selon les
besoins. On peut par exemple chercher à trouver des solutions
solutions approchées par des méthodes numériques.
Ou bien, chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes
dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations a acquis,
pour les algébristes,, un sens très précis, celui de la résolution par radicaux.
Résolubilité par radicaux :
Une équation est résoluble par des radicaux ssi les solutions peuvent être construites à partir des
coefficients de l’équation en un nombre fini d’étapes faisant intervenir les quatre opérations
élémentaires +,−,× et ÷ , et l’extraction de racines nièmes pour des entiers naturels appropriés n.
Exemple 1 : 3 x + 2 = 0 . La solution est alors x = −2 / 3 .
Exemple 2 : x 2 + 2 x − 1 = 0 . Les
es solutions de cette équation sont −1 + 2 et −1 − 2 obtenues à l’aide
des quatre opérations élémentaires +,−,×
+,
et ÷ , et l’extraction de racines carrées.
Vous savez d’ors et déjà résoudre toutes
outes les équations de degré 1 et 2 par radicaux.
Toutes les équations de degré 3 le sont également ( méthode de Cardan -1501–1576
1576 - En fait, cette
méthode lui aurait été confiée par un autre mathématicien italien connu sous le nom de Tartaglia. Après
avoir d’abord promis de la garder secrète, Cardan finit par la publier en son nom.. ) ainsi que toutes les
équations de degré 4 ( méthodee de Ferrari -1540 - Ferrari a alors 18 ans..)
Il faut attendre près de 300 ans pour que
Galois (1811-1832)
(
prouve l'impossibilité de
résoudre par radicaux les équations de degré
supérieur ou égal à 5,
5 complétant ainsi les
travaux d'Abel (1802-1829).
(
Source :
Sources
Abel (1802-1829).
http://www.galois.ihp.fr
www.chronomath.com/
Galois (1811-1832)