Sur une propriété des nombres naturels - E
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Sur une propriété des nombres naturels
Autor(en):
Sierpiski, W.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 19 (1964)
Heft 2
PDF erstellt am:
25.05.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-23296
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\\ Sierpinski
Sur une propriete des nombres naturels
27
diejenigen n linear unabhängigen Vektoren, welche
den Anfangspunkt im Koordinatenursprung 0 und als Endpunkte die Punkte
xn 0 haben, die xt smd dabei die oben genannten Translationen, die T
rx 0, x2 0,
un aufgespannte Parallelotop
erzeugen F bedeute das von den Vektoren ult u2,
dass
ohne
die
Man erkennt
weiteres,
Parallelotope x F (x e T) eine zu T gehörige
Rn
des
und
Innern
ergeben
Zerlegung
im
von F keine zwei voneinander verschiedene
_T-aquivalente Punkte liegen Man betrachte nun diejenigen x F (xeT), fur welche
LOx F innere Punkte enthalt Es gibt, da L ersichtlich beschrankt ist, nur endlich
viele solche x F L wird somit m die endlich vielen Teile LT LOxF (I(LT) =f=0)
zerlegt Wendet man auf jedes LT die Translation r-1 an, so smd alle r_1 LT in F ent¬
halten Je zwei r_1 Lr können sich nicht überlappen, weil sonst L zwei T-aquivalente
Punkte im Innern enthielte Andrerseits hegt jeder innere Punkt von F m mindestens
einem x~x LT, weil es m L einen dazu T-aquivalenten Punkt gibt und F keine zwei
_T-aquivalenten Punkte im Innern enthalt L und das Parallelotop F smd demnach
zerlegungsgleich Aus der allgemeinen Theorie zerlegungsgleicher Polyeder (siehe
Hadwiger [3], insbesondere S 20-49) ergibt sich nun sofort, dass F und damit L mit
der Vereinigungsmenge von m kongruenten Wurfein zerlegungsgleich ist und dass
dies wegen (2) die Zerlegungsgleichheit von Kx mit einem dieser Würfel zur Folge hat
Helmut Groemer1), Corvalhs, Ore USA
Es seien jetzt ux, u2,
un
LITERATUR
[1]
Bieberbach, L
Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume
70, 297-336 (1911)
I
Math Ann
Ungelöste Probleme, Nr 45 El Math 18, 29-31 (1963)
Vorlesungen uber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie, Grundlehren
der mathematischen Wissenschaften, Bd 93 (Springer-Verlag, Berlin 1957)
[4] Reinhardt, K Zur Zerlegung der Euklidischen Räume in kongruente Polytope,
Sitzber Akad Berlin 1928, 150-155
[2]
[3]
Hadwiger, H
Hadwiger, H
Sur une propriete des nombres naturels
Le but de cet article est de demontrer d'une facon 6Mmentaire le th£or£me suivant
Theoreme Tout nombre naturel est d'une infinite de manieres une difference de deux
nombres naturels dipourvus de diviseurs premiers carres
Demonstration n 6tant un nombre naturel donn6, designons par Q(n) le nombre de
tous les nombres naturels < n dipourvus de diviseurs premiers carres Soit qn le plus
grand nombre impair dont le carre* est < n Si Ton suppnme dans la suite 1,2,
,n
tous les nombres divisibles par un quelconque des nombres 22 et (2 k + l)2, oü k est
un nombre naturel tel que 2 k -f 1 < qn, il restera dans notre suite Evidemment
seulement les nombres dEpourvus de diviseurs premiers carres Or, les nombres
naturels < n divisibles par un nombre naturel donne* d sont de la forme dk, oü k est
un nombre naturel et dk < n, donc k < n/d, le nombre de tels nombres est donc
<_ n/d Le nombre des nombres de la suite 1, 2,
,w qui sont divisibles par un
*) Der Verfasser dankt der National Science Foundation fur finanzielle Unterstützung (Research
Grant GP-261)
W Sierpinski Sur une
28
quelconque des nombres
nombre
il en
et (2 k
l)2, oü 2 k
4-
-f
nnnnn
22
et
22
proprio des nombres naturels
rEsulte que
'
¦"
32
72 "T"
52
1
< qn,
Q(n)
^«_^_ + _ + _ +
(OM
VW
^__ »_ /1^
-
+
1"
92
ne depasse pas donc le
+ —1
donc
Or, on a
1
Q2
9«
r'
12
11*
1
J'
L
132''
13«
__
q\
J_
' /,2
*
1
1
4
32
52
~
J'
<" ______
7 O
9 1111
9 ' O
^
2\1
1
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9^9
(1)
ql)
11
1 1
UT4.
_____
13
'
+_J
_„-2
___(_____ + ___J_+J-_J_
+
11^11 13T
\
1
4.
~
- j_
M_1(JL_M<_L
?J
2\7 ?„ / ^ 14
'
(<?„
2)
On a donc, d'apr.s (1),
Q{n)>»(l-±-±--L-±-±),
donc Q(n)
> a n, oü
a~~
-
__2._i^
"" ~9
T
1
1
"25"
49
1_
14
22361
_ 44100
^
1
~2~
Supposons mamtenant qu'un nombre naturel m n'est pas d'une infinite de manieres
une difference de deux nombres naturels depourvus de diviseurs premiers carres
II existe alors un nombre naturel a tel que si un nombre naturel k > a est depourvu
de diviseurs premiers carres, le nombre k + m a un diviseur premier carre Soit n un
nombre naturel tel que
m
-
>
+
a
/0v
>
1
1/2, on a 2 a
0)
(oü, d'apres a
II resulte de la definition du nombre a que si k est un nombre naturel depourvu de
diviseurs premiers carres et tel que a < k
(le nombre de tels nombres k est
Evidemment !> Q(n) — a), le nombre k + m
+ m sl un diviseur premier carre
des
nombres naturels
Le nombre
n -j~ m qui ont des diviseurs premiers carres est
donc ;> Q(n) — a Le nombre de nombres naturels
n + m depourvus de diviseurs
premiers carres Etant Q(n + m), il en rösulte que
<n
<n
<
Q(n
et, comme
@(?t.
-f
m)
+
m)
> oc(w -f w) >
an + an —
a <. n
<
+
oc
(>(»)
# et
-{-
m,
-a<»+m
<2(w)
(3)
> a «, on trouve, d'apres (3)
-i» \
dou
n
<
m
-\-
a
2a-l'
contrairement ä (2)
Notre thEor&me se trouve ainsi demontre*
D'aprEs une remarque que je dois 4MP Turan, la meme demonstration peut
€tie apphquEe pour prouver la proposition plus generale suivante
M Jeger Uber die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometne (Fortsetzung)
29
Si E est un ensemble de nombres naturels de densite superieure > 1/2 tout nombre
naturel est d'une infinite de manieres une difference de deux nombres de Vensemble E
Or, d'apres une remarque de M A Schinzel notre theoreme peut etre de*duit sans
peme de la proposition suivante, demontre*e par M T Nagell dans son travail Zur
Arithmetik der Polynome, Abhandlungen aus dem Math Seminar Umv Hamburg
/ (1922), p 188
Si les nombres (at, bt) (i — 1, 2, 3) ne sont pas divisibles par aucun carre d'un nombre
premier, il existe une infinite de nombres naturels x pour lesquels les nombres ax x + bx,
a2 x -j- b2, a3 x + b3 sont depourvus de diviseurs premiers carres
0
Pour en deduire notre theoreme, il suffit de prendre ax a2
1, bx
W Sierpinski, Varsovie
Über die gruppenalgebraische Struktur der Elementargeometrie
(Fortsetzung)
4. Aufbau der Geometrie auf dem Spiegelungsbegriff
Wir wollen uns jetzt noch einer Entwicklungshnie in der geometrischen Grundlagen¬
forschung zuwenden, die aus den soeben dargelegten Gedankengangen herausge¬
wachsen ist Es hat sich gezeigt, dass von der gruppenalgebraischen Seite her em
axiomatischer Aufbau der Kongruenzgeometrie möglich ist Im Vordergrund steht
dabei eine Gruppe mit einem invarianten Erzeugendensystem aus mvolutorischen Ele¬
menten Als Axiome werden einige Gesetze uber mvolutonsche Gruppenelemente
postuliert Wir sind damit bei der reinen gruppentheoretischen Geometrie angelangt,
die mit Arbeiten von Hjelmslev und Reidemeister aus den Jahren um 1930 ihren
Anfang nahm und die seither von der Kieler Geometerschule Bachmanns wesentlich
gefordert worden ist
Wir wollen hier kurz auf das Bachmannsche Axiomensystem eingehen Es geht
von einer abstrakten Gruppe © aus, in der ein invariantes Erzeugendensystem S aus
mvolutorischen Elementen gegeben ist Wir bezeichnen die Elemente von S als
Gruppen-Geraden, mvolutonsche Elemente aus ©, die als Produkt von zwei GruppenGeraden darstellbar sind, sollen Gruppen-Punkte heissen4) Der Leser halte sich die
Gruppe Ä mit den Geraden- und Punktspiegelungen als Beispiel vor Augen Fur die
Gruppen-Geraden und die Gruppen-Punkte behalten wir die Symbole Hg bzw ZG
aus der Gruppe 51 bei
In © werden nun eine Inzidenz- und eine Orthogonahtatsrelation eingeführt
Die Gruppen-Gerade Eg und der Gruppen-Punkt £A heissen Inzident, wenn
/
Die beiden Gruppen-Geraden Zf und Sg heissen orthogonal, wenn (Ef o Zg)2
Diese Festlegungen erinnern uns an die beiden Äquivalenzen (1) und (2) in der
Figur 7
4) Bei Bachmann werden die Gruppenelemente als Geraden und Punkte bezeichnet Wir wollen diese
Begriffe hier ausschliesslich fur geometrische Objekte reservieren
