Division de Polynômes - Lycée de Garçons Luxembourg

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Cours de Mathématiques
2003
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Division de Polynômes
A
INTRODUCTION
Motivations:
* Résoudre des équations d’un degré supérieur à 2
* Représenter des fonctions algébriques en se basant et sur des fonctions élémentaires
données et sur des translations suivant des multiples des vecteurs unitaires
* Etudier la position de courbe par rapport à leurs asymptotes horizontales ou obliques
En tant qu’introduction, basons-nous sur la première motivation.
En classe de 7e, nous avons appris que les solutions des équations de la sorte:
b
b
⇔
ax − b = 0
a ⋅  x −  = 0 sont données par x = , pour tout a ≠ 0


a
a
En classe de 5e, nous avons ensuite appris à résoudre des équations du second degré en utilisant la
factorisation, en l’occurence soit les identités remarquables, soit la méthode par produit et somme.
En classe de 3e,
Pour ∆ ≥ 0 :
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x 2 ) où x = x1 et x = x 2 sont les deux racines du trinôme.
Cette formule sera généralisée et démontrée en classe de 3e et nous permettra d’étudier des
inéquations du second degré. Elle est utilisée pour réduire le degré de l’expression du départ à un
produit d’expressions du premier degré.
Pour résoudre des équations et inéquations d’un degré supérieur à 2, l’idée fondamentale est la même:
Réduire le degré supérieur à 2 à un produit d’expressions de degré inférieur à 3. Ce procédé de factorisation
nous permettra de résoudre l’équation du départ en nous basant sur un théorème important de l’algèbre:
Théorème 1:
(Sans démonstration)
Un produit est nul si au moins un des facteurs est nul : a ⋅ b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
Dans certains exemples, cette factorisation est relativement évidente, mais dans d’autres exemples, cette
factorisation est plus compliquée. Dans d’autres exemples encore, elle est tout simplement impossible à
réaliser.
Résolution d'une équation à l'aide d'une factorisation évidente:
x 3 − x 2 − 4x + 4 = 0
La factorisation du membre de gauche se fait de la façon suivante:
x 3 − x 2 − 4x + 4
=
(x 3 − x 2 ) − 4(x − 1) = x 2 (x − 1) − 4(x − 1)
N
méthode par
groupement
= (x − 1)(x 2 − 4)
D'où:
3
2
x − x − 4x + 4 = 0
⇔
⇔
= (x − 1)(x + 2)(x − 2)
(x − 1)(x + 2)(x − 2) = 0
x = 1 ou x = −2 ou x = 2
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Méthodes de résolution d'une équation moins évidente: 2x 3 − 11x 2 + 7x + 20 = 0
Pour résoudre une telle équation, on a à disposition différentes méthodes:
Méthode 1. Utilisation d'un programme performant de factorisation mathématique
(Derive, Mathematica, ..., V200, …)
2x3 − 11x 2 + 7x + 20 = (2x − 5) ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 4)
L'utilisation de la règle du produit nul nous donne immédaitement les solutions.
5
ou de résolution d'équations: solve( 2x 3 − 11x 2 + 7x + 20 = 0 , x)
x = −1 ou x = ou x = 4
2
Méthode 2. Utilisation d'un tableur (Excel, Lotus, Quattro-Pro, Works, ...)
Pour obtenir la colonne y = f(x), on introduit dans la case B2,
la formule suivante: = 2 * A2 ^ 3 − 11* A2 ^ 2 + 7 * A2 + 20
En copiant les cases vers le bas, on arrive à remplir ce tableau, dans lequel on
arrive à lire que y s'annule
notamment pour x = -1. En
complétant le tableau, on peut ainsi
trouver les trois solutions de cette
équation.
Cette méthode n'est pas valable si les
solutions
sont
des
nombres
irrationnels comme p. ex. 5 .
Représentations à l'aide de la calculatrice TI V200
et à l'aide de Excel
Méthode 3. Utilisation d'un programme qui permet de représenter graphiquement l'expression y = f(x).
En bougeant le curseur sur la courbe, on arrive à lire les
abscisses approximatives des points d'intersection de
cette courbe avec l'axe des x, valeurs qui sont les
solutions recherchées.
Les méthodes 2 et 3, qui utilisent la notion de fonction, vont être expliquées à partir de la classe de 3e.
Jusque-là, nous allons nous borner à rechercher les solutions à l'aide d'une nouvelle méthode de factorisation
- valable sous certaines conditions seulement - et qui se base sur la division de polynômes.
Dans la partie du cours qui suit, nous allons étudier en premier la division de polynômes proprement dite et
puis voir comment rechercher les diviseurs adéquats afin de savoir diviser et factoriser par la suite.
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B.
DIVISION PAR UN POLYNÔME
Afin de bien pouvoir comprendre le procédé utilisé, il faut revenir en classe de 6me année scolaire. Nous
allons utiliser un exemple historique (dernière division posée dans un examen d’admission pour lycée technique au
Luxembourg). Pour les besoins de la cause, nous allons toutefois modifier un peu la marche à suivre.
Préliminaires: Etudions la structure d’un nombre et comparons sa structure à celle d’un polynôme.
34502 = 3 ⋅ 10000 + 4 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 100 + 0 ⋅ 10 + 2 ⋅ 1
(idée des ABAKUS)
34502 = 3 ⋅ 10 4 + 4 ⋅ 103 + 5 ⋅ 10 2 + 0 ⋅ 101 + 2 ⋅ 10 0
Nous constatons qu’un nombre écrit sous cette forme ressemble étrangement à un polynôme
ordonné suivant les puissances décroissantes de x, à condition de remplacer la base 10 par
une variable x. On pourrait donc dire que „ le nombre 34502 est un nombre de degré 4 “.
Exemple numérique:
* Pour diviser 2997,957 : 93,54 = , nous allons en premier évaluer le résultat. Pour ce faire, nous allons
diviser 3000 par 100 pour obtenir un résultat de 30. Le résultat exact est donc un nombre aux
alentours de 30.
* Au contraire des classes de l’école primaire, nous n’allons pas reculer la virgule, mais nous
l’avançons d’une unité et nous effectuerons donc la division suivante: 299,7957 : 9,354 =
Marche à suivre:
1) Evaluons le résultat de la division de 29 par 9. En effet, il faut considérer
le 29 et non le 2 (degré le plus élevé), car le nombre 2 est plus petit que le 9 (degré
le plus élevé du diviseur).
2 9 9,7 9 5 7
-28062
“19175
-18708
““ 46770
-46770
“ “
9,354
32,05
2 = 19 : 9
Nous divisons donc le terme de degré le plus élevé du dividende par
le terme de degré le plus élevé du diviseur. Le quotient entier est 3.
0 = 4:9;
Le degré du 3 s’obtient en retranchant le degré de 9 au degré du 29:
5 = 46:9
1 - 0 = 1.
2) Nous remultiplions le 3 par le diviseur exact 9,354.
3) Nous additionnons l’opposé de ce produit au dividende (équivaut à retrancher ce produit du dividende).
4) Le reste obtenu nous servira pour recommencer la même manoeuvre.
Procédons de la même manière pour diviser des polynômes:
2x3 − 11x 2 + 7x + 20
= ...
Exemple algébrique: Divisons
2x − 5
Comme pour la division de nombres, nous évaluons le résultat en ne considérant que les degrés les
2x3 2x ⋅ x 2
=
= x 2 obtenu est le premier terme du quotient. Ce terme est à
plus élevés. Le résultat
2x
2x
multiplier par le diviseur complet. L’opposé de ce produit est à additionner au dividende. On
recommence ensuite suivant le même schéma avec le reste obtenu qui devient dividende.
2x3 − 11x 2 + 7x + 20
−2x3 + 5x 2
“
−6x 2 + 7x
6x 2 − 15x
“ −8x + 20
8x − 20
“ “
2x − 5
En multipliant: opp[x 2 ⋅ (2x − 5)] = − x 2 ⋅ (2x − 5) = −2x3 + 5x 2
x 2 − 3x − 4
−6 x 2
= −3x
2x
En multipliant: opp[−3x ⋅ (2x − 5)] = 3x ⋅ (2x − 5) = 6x 2 − 15x
−8x
= −4
Pour trouver le troisième terme du quotient:
2x
En multipliant: opp[−4 ⋅ (2x − 5)] = 4 ⋅ (2x − 5) = 8x − 20
Pour trouver le deuxième terme du quotient:
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Pour diviser un polynôme par un polynôme, on applique la règle suivante:
1.
On ordonne le dividende et le diviseur d’après les puissances décroissantes d’une même lettre.
(Il est conseillé de compléter les termes manquants du dividende)
2.
3.
On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; on obtient ainsi le premier
terme du quotient.
On multiplie le diviseur par le terme trouvé et on retranche le produit du dividende.
(Il est conseillé d’additionner l’opposé du produit afin d’éviter trop de signes “-“ )
4.
5.
6.
On divise le premier terme du premier reste partiel par le premier terme du diviseur et on obtient le
deuxième terme du quotient.
On multiplie le diviseur par le deuxième terme du quotient et on retranche le produit du premier reste
partiel.
Les termes suivants du quotient s’obtiennnent en opérant sur le deuxième reste partiel et sur les
suivants comme on a opéré sur le dividende et le premier reste partiel.
Nous nous arrêtons si le degré du diviseur dépasse celui du reste.
Retenons les quelques énoncés suivants sans les démontrer pour autant.
* Le premier terme du quotient est le quotient du premier terme du dividende par le premier terme du
diviseur.
* Le dernier terme du quotient est le quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur.
Remarque:
Par division, on réduit le degré de l’expression, car les exposants se retranchent
Cas spécial:
Division par un binôme du type (x-α)
Dans le cas où le diviseur est un binôme de la forme (x-α), il existe un schéma qui se limite à l'étude des
coefficients apparaissant lors de la division formelle: le schéma de Horner
Exemple de schéma de Horner:
Soit le polynôme P( x ) = 2 x 3 + 5x 2 − x − 6 à diviser par le binôme x-1. La racine du binôme-diviseur est
donnée par x = 1 , valeur que l'on notera dans le schéma (2me ligne, 1ere colonne)
2 x 3 + 5x 2 − x − 6
− 2x 3 + 2x 2
2x 2 + 7 x + 6
7x 2 − x
− 7x 2 + 7x
6x − 6
− 6x + 6
0
Remarque:
x −1
En analysant parallèlement les coefficients, on peut les
résumer dans le schéma suivant:
2 5 −1 − 6
1 ↓ 2 7
6
2 7 6
0
On peut donc lire le polynôme-quotient du second degré
P( x )
= 2x 2 + 7 x + 6 , avec 2, 7, et 6 les
restant:
x −1
coefficients de la dernière ligne du schéma de Horner. Le 0
signifie que la division est une division exacte.
Si jamais le polynôme n'est pas un polynôme complet (p.ex. x 3 − x + 1 ), il est impératif de
compléter la première ligne avec les coefficients manquants: 1 0 -1 1 .
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C.
RECHERCHE DU DIVISEUR ADEQUAT
Définition:
On appelle racine d’un polynôme P, la valeur a qui annule ce polynôme.
a est racine de P ssi P(a) = 0
Propriétés des polynômes entiers en x
Un polynôme entier en x représente un nombre déterminé, quelle que soit la valeur qu’on attribue à x. Ainsi
pour x = 2, le polynôme P(x) est égal à - 3 , avec P(x) = 2x 4 − 5x3 + 3x 2 − x − 5 . La valeur numérique du
polynôme P(x) pour x = 2 est représentée par le symbole P(2). On a donc: P(2) = - 3 .
Théorème 2:
Le reste de la division d’un polynôme entier en x par le binôme x - a est égal à la valeur numérique du
polynôme pour x = a.
Démonstration:
Désignons par P(x) le polynôme dividende, par Q(x) le quotient et par R le reste de la division. Comme le
diviseur x-a est du premier degré en x, le reste sera de degré zéro par rapport à x; il ne renferme donc plus la
lettre x.
Nous pouvons écrire l’identité: P(x) = (x − a ) ⋅ Q(x) + R
Les deux membres de cette identité prennent des valeurs numériques égales pour toute valeur de x. En
remplaçant x par a, on obtient: P(a) = (
a
−
a) ⋅ Q(a) + R ⇔
P(a) = R
c.q.f.d.
=0
Conséquence: La condition nécesssaire et suffisante pour qu’un polynôme entier en x soit divisible par x - a
est sa valeur numérique soit nulle pour x = a.
Démonstration: P(x) = (x − a ) ⋅ Q(x) + R = (x − a ) ⋅ Q(x)
⇔
R = P(a ) = 0 c.q.f.d.
Un peu de logique:
Condition nécessaire: Si un polynôme entier en x est divisible par x - a, le polynôme s’annule pour x = a.
Condition suffisante: Si un polynôme entier en x s’annule pour x = a, il est divisible par x - a.
Théorème 3:
(Sans démonstration)
Si un polynôme entier en x, de degré m, P(x), s’annule pour m valeurs différentes a, b, c, ..., m attribuées à x,
il est le produit de (x − a ) ⋅ (x − b) ⋅ (x − c) ⋅... ⋅ (x − m) par le coefficient de x m .
P(x) = a 0 x m + a1x m −1 + ... + a m = a 0 ⋅ (x − a ) ⋅ (x − b) ⋅ (x − c) ⋅...⋅ (x − m)
Théorème 4:
Les racines entières d’un polynôme entier en x, de degré m, P(x), sont à trouver parmi les diviseurs du terme
constant de ce polynôme.
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Un peu de logique:
mais:
a est une racine entière de P ⇒ a est un diviseur du terme constant
a est un diviseur du terme constant ⇒ a est une racine entière de P
est faux !!
2x3 − 11x 2 + 7x + 20 = (2x − 5) ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 4)
4 est racine entière de P [ P(4) = 0 ] ⇒
4 est un diviseur de 20, mais
2 est un diviseur de 20,
mais P(2) = 6 ≠ 0 ⇒ 2 n’est une racine entière de P
Exemple:
Avant de démontrer le théorème 4, résolvons d’abord un exercice qui nous illustre ce théorème:
Exercice: On considère le polynôme f (x) = x3 − 7x 2 + 10x + 8 et l’on cherche, s’il en existe, une racine α
de f qui soit un entier relatif. On a donc:
a)
b)
c)
d)
e)
f(α ) = α 3 − 7α 2 + 10α + 8 = 0 , α élément de Z.
En écrivant l’égalité précédente sous la forme: (−α 2 + 7α − 10)α = 8 , vérifiez que α est
nécessairement un diviseur de 8.
Quelles sont les valeurs possibles de α ? (On n’oubliera pas que α peut être négatif)
Déterminez alors une racine entière α de f.
Déterminez un polynôme ax 2 + bx + c tel que: f (x) = (x − α) ⋅ (ax 2 + bx + c)
Trouvez alors toutes les racines de f.
Solution de l’exercice:
a)
Si f (x) = x3 − 7x 2 + 10x + 8 , alors α est racine de f ssi f(α ) = 0
⇔
f(α) = α 3 − 7α 2 + 10α + 8 = 0
⇔
8 = −α 3 + 7α 2 − 10α
⇔
8 = α ⋅ (−α 2 + 7α − 10)
Rappelons aussi:
Le nombre β est un diviseur de 8 ⇔
8
∈Z
β
D’où : Pour montrer que α est un diviseur de 8, il faut montrer que
Or,
8
= −α 2 + 7α − 10 et on a:
α
8
∈Z .
α
2
Si α ∈ Z ⇔ −
∈ Z +
7
α∈
Z − 10 ∈
Z
α
⇒−α 2 + 7α −10 ∈Z
car l’addition et la soustraction sont des opérations internes dans Z.
b)
8.
Conclusion: Si α ∈Z est racine du polynôme f (x) = x3 − 7x 2 + 10x + 8 , alors α est un diviseur de
Remarque:
c)
Cette conclusion se généralise aisément à tout polynôme P.
Recherche des diviseurs de 8: D8 = { ±1; ± 2 ; ± 4 ; ± 8}
En remplaçant successivement ces valeurs dans l’équation de f(x):
f(1) = 1 − 7 + 10 + 8 = 12 ≠ 0
f(−1) = −1 − 7 − 10 + 8 = −10 ≠ 0
f(2) = 8 − 28 + 20 + 8 = 8 ≠ 0
f(−2) = −8 − 28 − 20 + 8 = −48 ≠ 0
f(4) = 64 − 112 + 40 + 8 = 0
→
→
→
→
→
1 n’est pas racine de f
-1 n’est pas racine de f
2 n’est pas racine de f
-2 n’est pas racine de f
4 est racine entière de f donc α = 4
Il s’ensuit que f(x) est divisible par (x - 4)
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d)
Par division, on trouve donc que f (x) = (x − 4)(x 2 − 3x − 2)
(Autre méthode:
e)
Racines de f:
Mettre sous la forme: f ( x ) = ( x − 4)(ax 2 + bx + c) et utiliser la méthode
d'identification des coefficients)
3 − 17
3 + 17
x=4 ; x=
;x =
2
2
Démonstration du théorème 4:
Soit le polynôme P(x) de degré m donné suivant. Si ce polynôme admet m racines, il peut s’écrire, suivant le
théorème précédent, de la façon suivante:
P(x) = a 0 x m + a1x m −1 + ... + a m = a 0 ⋅ (x − a ) ⋅ (x − b) ⋅ (x − c) ⋅...⋅ (x − m)
Or, en effectuant ces parenthèses, nous trouvons l’égalité suivante: a m = ± a 0 ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅... ⋅ m . Par
conséquent, le terme constant est - au signe près - le produit de toutes les racines du polynôme - en
particulier donc des racines entières - par le coefficient a 0 . Ceci revient à dire que les racines sont à trouver
parmi les diviseurs du quotient du terme constant par le coefficient a 0 .
Remarque: Comme les diviseurs fractionnaires d’un nombre quelconque sont innombrables (il en existe une
infinité), nous ne recherchons donc que les diviseurs entiers relatifs qui eux sont dénombrables.
D
EXERCICES
Exercice 1:
Diviser le polynôme A(x) par le polynôme B(x) pour chacun des cas suivants et mettre le
résultat sous la forme d'une division euclidienne:
1)
A ( x ) = 3x 3 + 5x 2 + 3x − 1
B( x ) = x 2 + x − 1
2)
A ( x ) = x 3 − 3x + 2
B( x ) = x 2 − 2x − 1
3)
A ( x ) = x 4 − 5x 2 + x − 2
B( x ) = x + 3
Exercice 2:
Contrôlons la factorisation de f (x) = 2x3 − 11x 2 + 7x + 20 en recherchant nous-même le(s) diviseur(s)
adéquat(s). Vous constaterez que le diviseur trouvé ne correspondra pas à celui donné dans la partie du cours.
Toutefois, la factorisation donnée à la deuxième page de cette partie du cours est toujours valable.
Exercice 3:
Comme l’exercice résolu illustre bien la marche à suivre, nous allons nous contenter de
donner encore quelques exercices:
Décomposer en facteurs les polynômes suivants:
1)
f (x) = 5x 4 + 25x3 − x − 5
2)
f (x) = x3 − 3x 2 + 3x − 2
3)
f (x) = x3 + 9x 2 + 11x − 21
4)
f (x) = x3 + 2x 2 − 5x − 6
5)
f (x) = x 4 + 2x3 − 16x 2 − 2x + 15
6)
f (x) = x 5 + 3x 4 − 16x − 48
7)
f (x) = 6x 4 + 4x3 − 26x 2 − 16x + 8
8)
f (x) = x 4 + ax3 − 7a 2 x 2 − a 3x + 6a 4
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Schéma de décision de la méthode à choisir pour la division
Analyser la donnée
Est-ce qu'on
ne demande que le
reste ?
Est-ce que le
diviseur est de la
forme (x-α) ?
oui
oui
3 méthodes au choix:
1) reste = P(α)
2) Horner
3) Division formelle
non
non
2 méthodes au choix:
1) reste = P(α)
2) Division formelle
Est-ce que le
diviseur est de la
forme (x-α) ?
oui
2 méthodes au choix:
1) Horner
2) Division formelle
non
1 seule méthode:
Division formelle
Exercices supplémentaires:
Résoudre dans \ les équations suivantes:
1)
2x 3 + 7x 2 + 2x − 3 = 0
2
2
2)
25x + 50x − x − 2 = 0
3)
2x 3 − 15x 2 + 36x = 27
4)
5x 2 + 4x − 3 = 2x 3
Solutions:
1)
2)
(x + 1)(x + 3)(2x − 1) = 0
(x + 2)(5x + 1)(5x − 1) = 0
3)
4)
(x − 3) 2 (2x − 3) = 0
(x + 1)(x − 3)(1 − 2x) = 0
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