3ème INFO NOTIONS DE PROBABILITES F3 Un événement aléatoire est une expérience qui a plusieurs résultats (ou issues) possibles que l’on ne peut pas prévoir avec certitude car elles dépendent du hasard. La probabilité d’un événement représente sa chance de se réaliser. Deux événements sont dits équiprobables quand leur probabilité sont égale (c’est-à-dire qu’ils ont la même chance de se produire). Deux événements sont dits contraires quand la somme de leur probabilité vaut 1 : un des deux événements doit forcément se produire. Dans un casino, un jeu de roulette simplifié (non truqué) est numéroté de 1 à 10, avec les numéros 1 à 5 en rouge et les numéros 6 à 10 en noir. a) Quelles sont les issues possibles ? Sont-elles équiprobables ? b) La boule s’arrête sur le 7, puis on relance la boule. Peut-on encore tirer un 7 ? c) Quel est l’événement contraire de « tirer un nombre rouge » ? Recopie et complète la solution : Pour chacune des situations suivantes, dis s’il s’agit Enoncé : on tire un dé à 6 faces non truqué. a) Quelles sont les issues possibles ? b) Sont-elles équiprobables ? c) On tire un nombre pair, puis on relance le dé. Peut-on encore tirer un nombre pair ? d) Quel est l’événement contraire de « tirer un nombre pair » ? d’une expérience aléatoire, en justifiant : a) Obtenir une bonne note à un contrôle. b) Tirer la dame de cœur dans un jeu de 32 cartes. c) Transformer un essai au rugby. d) Gagner à un tirage au sort. Solution : a) Les … possibles sont : 1 ; … ; … ; … ; … et 6. b) Le dé n’est pas …, donc chaque … a la même ... de … : les issues sont donc … c) Chaque tirage est … du … précédent. On peut donc … de nouveau un … …, et avec la même … d) Soit on … un … pair, soit on tire un … …. Donc l’évènement … de « tirer un nombre … » et donc « … un … impair ». Une roue de loterie est partagée en 6 1 6 5 secteurs identiques. On s’intéresse au nombre obtenu. 2 3 4 a) Quelles sont les issues (ou résultats) possibles ? Sont-elles équiprobables ? b) Au 1er tour de roue, on obtient 6. A-t-on la même probabilité d’obtenir de nouveau 6 au 2ème tour de roue ? c) Explique quel est son événement contraire. On lance un dé à 8 faces non truqué. a) Quelles sont les issues (ou résultats) possibles ? Sont-elles équiprobables ? b) Au 1er lancer de dé, on obtient 5. On relance le dé. Peut-on encore obtenir 5 ? A-t-on plus de chance d’obtenir un autre nombre ? c) Quel est son événement contraire ? CALCULER DES PROBABILITES 3ème INFO F3 Un événement aléatoire est une expérience qui a plusieurs résultats (ou issues) possibles que l’on ne peut pas prévoir avec certitude. La probabilité d’un événement représente sa chance de se réaliser. Une probabilité est un nombre entre 0 et 1, souvent écrit sous forme de fraction. Quand deux évènements sont contraires, la somme de leur probabilité vaut 1. Un jeu de 32 cartes est composé de 4 « familles » : pique et trèfle (de couleur noire), cœur et carreau (de couleur rouge). Dans chaque famille, il y a 3 figures : valet, dame et roi. On tire une carte au hasard, calcule la probabilité des évènements suivants : a) La carte tirée est une dame. b) La carte tirée est une figure rouge. c) La carte tirée n’est pas une figure rouge. Pense à justifier tes réponses avec une phrase et un calcul ! INFO Recopie et complète la solution : Une urne contient 12 Enoncé : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. a) Calcule la probabilité P1 de l’évènement A « tirer un valet ». b) Calcule la probabilité P2 de l’évènement B « tirer un trèfle ». c) Déduis-en la probabilité P3 de l’évènement C« ne pas tirer un trèfle ». boules vertes et 4 boules rouges. Une autre urne contient 1 boule vertes et 2 boules rouges. a) Calcule la probabilité de tirer une boule verte dans la première urne. b) Calcule la probabilité de tirer une boule INFO verte dans la deuxième urne. c) Dans quelle urne a-t-on le plus de chances de tirer une boule verte ? Solution : a) Il y a 4 … dans le … de cartes. Le … total de … est …, donc : P1 = … = 1 … = 1. 32 … 4 8 Il y a … chance sur 8 de … un … b) Il y a … … dans un jeu de … …, donc : P2 = 8 = 1 … = 1. … …8 4 Il y a … chance sur 4 de … un … c) Les … B et C sont contraires, donc : P3 = 1 – P2 = 1 – … = 3 … Il y a … … sur 4 de ne pas … un … Une roue de loterie est partagée Pense à calculer le nombre total de boules ! 6 1 5 2 3 en 6 secteurs identiques. On s’intéresse 4 au nombre obtenu. a) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair. b) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 5. On lance un dé à 6 faces non truqué. a) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre impair. b) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4. c) Déduis-en la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 4. DEVELOPPER UN PRODUIT 3ème INFO N3 Développer un produit, c’est le transformer en somme. Il y a deux développements à connaître : k (a + b) = k a + k b = ka + kb. (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d = ac + ad + bc + bd. Les flèches montrent bien que l’on « distribue » la multiplication à chaque terme entre parenthèses. On passe à chaque fois d’un produit à une somme. Développe et réduis les expressions suivantes : A = – 5 (x + 4) ; A B B = (5 x – 6) (3 x + 7) ; C C = 2 x 2 – (x + 2) (x – 8). Pour m’aider à développer, j’ajoute des flèches au crayon. INFO Recopie et complète : Enoncé : développe et réduis : A = – 3 (5 x – 4) ; B = (2 x – 8) (4 x – 7) ; C = x – (x + 7) (5 x – 3). Au A, tu dois distribuer – 3, pas seulement 3 ! Après chaque produit, tu écris toujours le signe + ! Solution : INFO A = – 3 (5 x – 4) = – 3 … x + (– …) (– …) =–…x+…; B = (2 x – 8) (4 x – 7) = …x 4 x + 2… (–…) + (–…) 4 x + (– 8) (–…) … = …x – …x – …x + … 2 = 8… – …x + … ; C = x – (x + 7) (5 x – 3) = x – [x …x + x (–…) + 7 …x + 7 (–…)] … = x – (5… – …x + 35… –…) … = x – (5… + …x –…) … Au C et au , développe le = x – 5… – …x + … produit entre crochets, puis … = – 5… – …x + … réduis-le. Quand il est réduit, tu INFO supprimes les parenthèses : quand il y a un signe – devant, tu dois changer les signes des termes entre parenthèses ! Au C, je développe et réduis le produit entre parenthèses. Comme elles sont précédées du signe –, je change le signe des 3 termes entre parenthèses quand je les supprime. Développe et réduis : A = 5 (2 x – 7) ; B = – 4 (– 3 x + 1) ; C = 4 – 3 (x – 5) ; D = 5 x – 5 (– 2 x + 1) ; E = 2 (3 x + 5) – 4 (x + 2). Développe et réduis : A = (x + 3) (x + 4) ; B = (2 x – 3) (– x + 2) ; C = (– 4 x + 3) (2 x + 1) ; D = (7 x – 2) (5 x – 4) ; E = (– 3 x – 4) (8 x – 7). Développe et réduis : A = 5 + (2 x – 7) (4 – 3 x) ; B = 3 – (4 x + 1) (– x + 2) ; C = 5 x – 1 + (2 x – 3) (3 x + 1) ; D = 4 x 2 – (– 5 x + 2) (x – 3) ; E = (2 x – 3) (x + 5) – 4 (2 x – 1). DEVELOPPER AVEC UNE IDENTITE REMARQUABLE 3ème N3 Il faut connaître les trois identités remarquables suivantes : (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2 a b + b 2 (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 INFO Dans les deux premières identités, 2 a b est appelé « le double produit ». Développe et réduis les expressions suivantes : B = (y – 9) 2 ; A = (x – 5) (x + 5) ; A B C C = (6 x + 2) 2. INFO Attention aux parenthèses autour de 6 x ! 2 2 (6 x) = 36 x . 26x2=26x2 = 2 6 2 x = 24 x. Recopie et complète : Développe et réduis les expressions Enoncé : développe et réduis les expressions suivantes : D = (x + 5) 2 ; E = (y + 3) (y – 3) ; F = (4 t – 7) 2. suivantes : A = (x + 1) 2 ; B = (y + 3) 2 ; C = (x + 9) 2 ; D = (n + 6) (n – 6) ; E = (x + 1) (x – 1) ; F = (x – 1) 2 ; G = (t + 5) 2 ; H = (x – y) 2. Solution : D = (x + 5) 2 = … 2 + 2 … … + 5 … 2 = … + … x + 25 ; E = (y + 3) (y – 3) = … 2 – 3 … = … 2 – … ; F = (4 t – 7) 2 = (4 t) … – … … 7 + … 2 … = … t – 56 … + … Calcule de tête en rédigeant les calculs comme dans l’exemple : 49 2 = (50 – 1) 2 = 50 2 – 2 50 1 + 1 2 = 2 500 – 100 + 1 = 2 401 21 2 = ? 89 2 = ? 201 2 = ? 19 2 = ? 91 2 = ? 199 2 = ? 19 21 = ? 91 89 = ? 199 201 = ? Développe et réduis les expressions suivantes : J = (5 x + 2) 2 ; K = (4 x – 1) 2 ; L = (2 y + 3) 2 ; M = (5 n + 7) (5 n – 7) ; N = (3 – 4 x) (3 + 4 x) ; 2 P = (9 y – 2) ; R = (5 – 6 x) 2 ; S = (2 x – 3 y) 2. Recopie et complète : a) (x + …) 2 = … + … + 25 ; b) (y – …) 2 = … – … + 1 ; c) (z + …) 2 = … + 8 z + … ; d) (n + …) (n – …) = … – 49 ; e) (… + 4) 2 = 9 x 2 + … + … ; f) (… – 5) 2= 16 x 2 – … + … Sur la copie de Khadija, on Développe et réduis chaque expression : peut lire le calcul suivant : A = 15 x – (x + 7) 2 ; C = (x + 2) (x – 2) + (x + 1) 2 ; D = (x + 3) 2 – (x – 2) 2. E = (x + y) 2 – (x – y) 2. INFO Attention au signe moins devant une expression : il faut la développer entre parenthèses ! B = x (x – 1) – (x – 2) 2 ; Khadija a commis une grosse erreur ! Qu’a-t-elle oublié ? Attention : 2 2 9 x = (3 x) INFO 3ème SECTIONS DU PAVE DROIT G4 La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une face est un rectangle superposable à cette face. Cas particulier : dans un cube, la section obtenue est un carré. P INFO I C B L P I C A J G F D D L B K H E A La section d’un pavé droit (et d’un cube) par un plan parallèle à une arête est un rectangle. J G F K H E ABCDEFGH est un pavé droit que l’on a coupé J F par un plan parallèle à l’arête [GH], avec IH = 3 cm. a) Quelle est la nature de la section IJCD ? b) Dessine-la en vraie grandeur. c) Calcule son aire, puis arrondis-la au mm2 près. 3 cm I E G 2 cm H B C m 4c 7 cm A GH D CDI J I I HD CDI J ABCDEFGH ADHE I HD ID H H IH I D DC D J HD ID C CDI J Recopie et complète : E A F B Enoncé : ABCDEFGH est un J cube d’arête 8 cm. Les points I I et J sont les milieux respectifs H D de [AD] et [BC] C a) Quelle est la nature du quadrilatère IJGH ? b) Dessine-le en vraie grandeur. c) Calcule IG, puis son arrondi au mm près. G Solution : a) On a … le cube par un … … à l’arête […]. La … IJGH obtenue est donc un … b) 8c m Reproduis et complète ce dessin avec les bonnes dimensions ! L’outil idéal est le compas ! Dans la figure suivante, on a représenté la V section d’un pavé droit X W par un plan parallèle à B A l’arête [ST]. R BT = 15 cm, CT = 8 cm C D T et ST = 13 cm. S a) Quelle est la nature de la section obtenue ? b) Calcule la longueur BC. U Les figures ci-dessous représentent un cube d’arête 4 cm et un pavé droit coupés par un plan parallèle à une arête. C B A M 3 cm R J I D J 4 cm C Y T U N S 4 cm 3 cm F 8 cm G c) ABCDEFGH est un …, donc sa … BCGF est un …, donc JCG est un triangle … en …, donc on peut utiliser le … de … JG … = …2 + …2 = 4 … + 8 … = … + … = … Donc JG = … … (en cm). INFO E L Y G 3 cm K 1 cm H V X O P 6 cm 4 cm W a) Quelle est la nature des sections IJKL et MNOP ? Justifie. b) Représente ces sections en vraie grandeur. c) Calcule LK et PM, puis l’arrondi à l’unité de l’aire de chaque section. 3ème SECTIONS DU CYLINDRE La section d’un cylindre par un plan parallèle à ses bases (c’est-à-dire perpendiculaire à son axe) est un disque superposable aux disques de base. INFO G4 D O O A D P C La section d’un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle. O' O' B P Le cylindre ci-contre a été coupé par un plan parallèle à son axe. A O H On donne : OA = 3 cm et OH = 2 cm. 1°) Quelle est la nature de la section ABCD obtenue ? Justifie. 2°) Calcule la longueur AB. B D C ABCD OHA H HA HA OA OB OAB OH AB O O H AB AH Recopie et complète : Le plan P est parallèle à Enoncé : on coupe un cylindre par un plan P parallèle à son axe OO’. La hauteur du cylindre est 15 cm, sa base a pour rayon 7 cm. La distance de O au plan P est OH = 3 cm. a) Quelle est la nature de la section ABCD ? b) Calcule ses dimensions. D C O’ A B H O Solution : a) On a … le cylindre par un … … à l’axe (......). La … obtenue ABCD est donc un … b) BC = OO’ = 15 cm. OHA est … en …, donc d’après le … de … : OA 2 = …2 + …2 donc 7 2 = … 2 + AH … D’où : 49 = … + AH …, donc AH 2 = … – … = 40 Et AH = … […] et […] sont des …du disque, donc OAB est … en O, et la hauteur […] est aussi …. Donc H est le … de […]. Donc AB = … AH = 2 … = 2 … (en cm). ABCD est donc un … de 15 cm sur 2 … cm. M O X l’axe (OO’) du cylindre. Ce N plan coupe le cylindre selon le S quadrilatère NRSM. On donne O’ OM = 10 cm, R OO’ = 20 cm et OX = 6 cm. P a) Quelle est la nature de NRSM ? Justifie. b) Dessine en vraie grandeur le triangle OMN. c) Calcule MX puis MN. La citerne cylindrique d’un camion est presque vide. On donne son O’ rayon OF de T 5 m, sa longueur OO’ de 15 m. La hauteur FH de liquide restant n’est plus que de 1 m. U O S H F a) Calcule la longueur OH. b) Explique la nature de la surface RSTU de liquide. c) Calcule RS, puis déduis-en l’aire de RSTU. R DEFINITION DES RACINES CARREES 3ème Si a est un nombre positif, la racine carrée de a (que l’on écrit INFO a2 = a positif dont le carrée est égal à a. Donc Par exemple : 3 3 = 3 2 = 9, ( 3)2 = 3 donc et 9= N4 a) est le nombre ( a) 2 =a . 3 2 = 3. 3 = 3. Attention : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un nombre est toujours positif ! Ecris sous forme décimale : 2 a = ( 5) ; 2 c = 32 ; b= ( 25) ; d = 0,4 2 ; e = 12 12. On applique toujours la même formule, à connaître par cœur ! INFO Recopie et complète : 1°) a) 7 2 = … b) 15 2 = 225 c) … 2 = 64 d) … 2 = … a2 = a …=7; …=…; 64 = … ; … = 10 ; donc donc donc 81 = … ; …=…; …=… 2°) a) 3 = … ; b) 19 19 = … ; 2 c) ( 15) = … ; d) (– 5) 2 = … ; 2 e) … 2 = 12 ; ( a)2 = a Recopie et complète : donc donc donc donc e) … 2 = … f) … 2 = 25 g) 6 2 = … et f) – 6 6 = … ; 0=…; 16 = … ; 64 = … ; 144 = … ; 1=…; 25 = … ; 81 = … ; 169 = … ; 4=…; 36 = … ; 100 = … ; 0,01 = … ; 9=…; 49 = … ; 121 = … ; 0,04 = … Recopie et complète, si possible, les phrases suivantes par les expressions « le carré » ou « la racine carrée » : a) 25 est … de 5 ; b) 25 est … de 625 ; c) 9 a pour … 81 ; d) 4,5 est … de 16,25 ; e) 9 a pour … – 3 ; f) 0,01 est … de 0,1. Donne un encadrement des racines Parmi les écritures suivantes, retrouve celles carrées suivantes par deux entiers consécutifs : Exemple : 3 < 12 < 4 car 9 < 12 < 16. a) … < 29 < … car … < 29 < … ; b) … < 50 < … car … < 50 < … ; c) Continue avec 62, 90, 107 et 20. qui désignent le nombre 2, le nombre – 2 et celles qui n’ont pas de sens (en justifiant pourquoi) : ( 2) 2 ; (– 2) 2 ; – 4 ; –4; 2 2 2 (– 2) ; – (– 2) ; –2 ; 22 ; 2 2; (– 2) (– 2) ; – 2 – 2. Avec la calculatrice, donne l’arrondi au millième des nombres suivants : Il faut arrondir, pas tronquer ! Calcule les nombres suivants quand c’est possible. Si c’est impossible, explique pourquoi. a) 44,89 ; b) – 25 ; a) 2 ; 3; 7; 10 ; 15. e) (– 3) 2 ; f) (– 1) 3 ; b) 5 6 ; 6 8; 100 2 ; 12 3. INFO i) 4 – 9 ; j) ( 16) 2 ; c) 7 + 2 ; 15 2 ; 19 – 3. c) – 64 ; d) 0 ; g) – 5 ; h) – 7 2 ; k) 9 2 ; l) – 1 8. SIMPLIFIER UNE RACINE CARREE 3ème INFO N4 On peut simplifier une racine carrée en l’écrivant sous la forme a b, où a est un entier relatif (le plus grand possible) et b est un entier naturel (le plus petit possible). Pour simplifier une racine carrée, il faut décomposer le nombre sous la racine en un produit de deux facteurs, où l’un des facteurs est un carré, le plus grand possible. Ecris les expressions suivantes sous la forme a b, où a est un entier relatif et b un entier positif le plus petit possible : 48. 72 ; 125 ; INFO Il y a souvent plusieurs façons de décomposer le nombre : choisis celle qui donne le plus grand carré ! Par exemple, 72 = 8 9 est moins intéressant que 72 = 36 2, car 36 est un plus grand carré que 9 ! Recopie et complète : Ecris les expressions suivantes sous la Enoncé : écris les expressions suivantes sous la forme a b, où a est un entier relatif et b un entier positif le plus petit possible : 1 000 ; 128 ; 80. forme a b, où a est un entier relatif et b un entier positif le plus petit possible : 20 ; 32 ; 60 ; 45 ; Solution : 1 000 = … 10 = 100 … = … 10 = … … 128 = 64 … = … … Quand tu =… …=… … décomposes le 80 = … 5 = … … nombre, écris plutôt le carré en =… …=… … Même exercice que le précédent avec les nombres suivants : 245 ; 405 ; 99 ; 605 ; A = 2 20 ; B = 80 ; 90. D= 2 C=4 5; (écris tes calculs) : 12 18 27 32 INFO a) Ecris 24, 54 et 150 sous la forme a 6 avec a entier. b) Déduis-en une écriture simplifiée de : A = 2 24 + 54 – 2 6 – 150. Relie les écritures d’un même nombre 8 343 ; 338. Pense à simplifier au maximum ! Cela peut se faire en plusieurs étapes ! premier ! Retrouve l’intrus parmi ces 4 nombres : 288 ; 108 ; 48 Pour démontrer que 20 + 80 = 2 45, écris d’abord 20 + 80, puis 2 45 sous la forme a 5, avec a entier. Tu pourras ensuite conclure que l’égalité est vérifiée. MULTIPLIER DES RACINES CARREES 3ème Si a et b sont des nombres positifs, alors a INFO Attention : Calculer A = a+ b C a+b! 144. 169 B D Recopie et complète : Calcule les nombres suivants : Enoncé : Calcule les nombres suivants : E = 3 12 ; F = 16 36 ; 1. G = 75 ; H= 25 3 Solution : E = 3 12 = … … = … = 6 ; F = 16 36 = … … = … … = 24 ; … G = 75 = = …=5; … 3 H= b= ab; a a. = b b 20 45, B = 48 , C = 100 49 et D = 3 A N4 1 … … 0,2. = = = 25 … … a) 8 0,5 ; c) 0,9 10 ; e) 0,1 360 g) 5 6 24 ; b) d) f) h) 5 20 ; 28 7 ; 18 2 ; 12 3 27. Calcule les nombres suivants et donne le résultat sous la forme d’un nombre entier : a) 18 ; b) 245 ; c) 117 ; 2 5 13 d) 27 ; e) 63 ; f) 128. 3 7 8 Calcule les nombres suivants et donne le Calcule et simplifie au maximum les résultat sous la forme d’une fraction : 25 ; 16 ; a) b) c) 9 49 144 ; 36 ; d) e) f) 169 121 expressions suivantes : 47 ; a) 7 13 ; b) 91 2 14 1; 4 1 . 100 d) 2 3 6 ; e) 3 c) 2 5 ; 3 20 25 . 144 Ecris les nombres suivants sous la forme a a) Calcule l’aire de chaque face de Exemple : ce pavé droit, puis son aire totale. b) Calcule son volume et «écris le résultat sous la forme a 2, où a est un entier. b avec a et b entiers positifs et b le plus petit possible : 62 3= 62 3=2 6 3 =2 63=2 233 =2 29=2 9 2 = 2 3 2 = 6 2. a) 2 15 3 ; b) 3 6 2 ; c) 75 15 ; d) 3 7 4 14 ; e) 12 8 ; f) 110 5 11. D C A 2 cm B G H 8 cm E 32 cm F ADDITIONNER DES RACINES CARREES 3ème N4 On ne peut additionner des racines carrées que quand il y a le même nombre sous la racine carrée. Si a est un nombre positif, alors par exemple 2 a + 5 a = 7 a, mais 2 + 3 ne peut pas être simplifié. Souvent, on pourra additionner des racines après les avoir simplifiées et fait apparaître le même nombre sous les racines. INFO Calculer A = 5 A B Après avoir simplifié chaque racine de B, on peut les additionner ! 3 – 2 3 – 3 et B = 98 – 5 32 + 8. INFO Recopie et complète la solution : Mets les nombres suivants sous la Enoncé : Mets les nombres suivants sous la forme a 5. A=8 5+ 5–6 5; B = 20 + 2 45 – 3 80. forme a 6 : A=2 6–5 6+4 6; B= 6+ 6; C = 12 6 – 6 + 5 6 ; D = 6 – 4 6. Solution : A=8 5+ 5–6 5=9…–… 5=… …; B = 20 + 2 45 – 3 80 Mets les nombres suivants sous la = …5+2 9…–3 …… = 4 …+2 … 5–3 … … =… 5+2… 5–34 … = … 5+ 6 … – … 5 = … …. Ecris les nombres suivants sous la forme a J = 72 – 2 8 ; M = 18 – 8 + 2 ; forme a 7 : E = 3 7 + 63 ; F = 2 7 – 28 ; G = 2 175 + 700 – 5 112. b avec b le plus petit possible : K = 12 + 75 + 4 300 ; N = 112 – ( 7 + 63) ; Sur la figure ci-contre, on donne : RF = 9 L = 2 5 + 7 5 – 180 ; P = 99 – 44 – 11. 3 cm ; FC = 5 3 cm et EF = 12 3 cm. E a) Calcule RC. b) Montre que ER = 15 3 cm et CE = 13 3 cm. c) Calcule le périmètre de CER. F R Un insecte capricieux chemine sur un cube de 6 cm d’arète. Arrivée Démontre que la longueur (en cm) du chemin parcouru est : 9 + 9 2 + 6 5. (conseil : nomme des points pour mieux justifier tes calculs). Départ C DEVELOPPER AVEC LES RACINES CARREES 3ème Développer un produit, c’est le transformer en somme. Dans certains cas, il faudra développer des expressions contenant des racines carrées afin de les simplifier. Comme en calcul littéral, il faut connaître les identités remarquables ! INFO Développe et réduis les expressions suivantes : A = 7 (3 – 7) ; C = (3 – 5) 2 ; A et B sont des développements de niveau ème ème 5 et 4 . Pour C et D, on utilise deux identités remarquables : 2 2 2 (a – b) = a + 2 a b + b et 2 2 (a + b) (a – b) = a – b . B = (1 + 2) (3 – 2) ; D = ( 3 + 4) ( 3 – 4). B C N4 D INFO Recopie et complète la solution : Développe et réduis : Enoncé : développe et réduis E et F : E = (2 + 5) (3 5 – 4) ; F = ( 5 + 6) 2 ; G = (2 3 + 1) 2 – ( 3 + 2) ( 3 – 2). H = 7 ( 2 – 5) ; I = 6 (3 – 6) ; J = 3 ( 12 + 3). Solution : E = (2 + 5) (3 5 – 4) = 2 … 5 + 2 (–…) + … … 5 + 5 (–…) =6 …–…+…5–4 … = – 8 + 15 + … 5 = … + … 5. F = ( 5 + 6) 2 = ( …) 2 + 2 … … + 6 … = … + 12 … + … = 41 + … …. 2 G = (2 3 + 1) – ( 3 + 2) ( 3 – 2) 2 2 2 2 = (2 …) + 2 … … + … – [( …) – … ] = 4 … + 4 … + 1 – (… – 4) = 12 + 4 … + … + … = 14 + 4 … Parmi ces quatre nombres : 2 Attention aux erreurs de signe ! Développe et réduis : K = ( 5 + 3) ( 5 – 1) ; L = ( 6 + 2) ( 3 – 2) ; M = (2 3 – 5) (3 – 4 3). Développe et réduis : N = (4 + 3) 2 ; P = ( 5 – 3) 2 ; Q = ( 7 – 4) 2 ; R = (1 + 2) 2 ; S = ( 2 + 1) ( 2 – 1) ; T = (2 12 – 3 75) 2 ; U = ( 3 + 2) ( 3 – 2) ; Soit A = 8 + 2 2 a = (3 – 2) , b = (3 + 2) , c = 2 (3 + 2), d = (3 + 2) (3 – 2), lequel est un entier ? Justifie sans utiliser la calculatrice. IN FO 3 et B = 8 – 12. Montre que A+B, AB et A2+B2 sont des entiers. Développe et réduis : a = (4 + 5 2) 2 – (2 2 – 3) (3 2+ 7) ; b = (3 – 2 7) 2 – (4 7 – 3) (5 7 + 7).