b - Académie de Nancy-Metz

3ème
INFO
NOTIONS DE PROBABILITES
F3
 Un événement aléatoire est une expérience qui a plusieurs résultats (ou issues)
possibles que l’on ne peut pas prévoir avec certitude car elles dépendent du hasard.
 La probabilité d’un événement représente sa chance de se réaliser.
 Deux événements sont dits équiprobables quand leur probabilité sont égale
(c’est-à-dire qu’ils ont la même chance de se produire).
 Deux événements sont dits contraires quand la somme de leur probabilité vaut
1 : un des deux événements doit forcément se produire.
 Dans un casino, un jeu de roulette simplifié (non truqué) est numéroté de 1 à 10,
avec les numéros 1 à 5 en rouge et les numéros 6 à 10 en noir.
a) Quelles sont les issues possibles ? Sont-elles équiprobables ?
b) La boule s’arrête sur le 7, puis on relance la boule. Peut-on encore tirer un 7 ?
c) Quel est l’événement contraire de « tirer un nombre rouge » ?
 Recopie et complète la solution :
 Pour chacune des situations suivantes, dis s’il s’agit
Enoncé : on tire un dé à 6
faces non truqué.
a) Quelles sont les issues
possibles ?
b) Sont-elles équiprobables ?
c) On tire un nombre pair, puis on
relance le dé. Peut-on encore tirer un
nombre pair ?
d) Quel est l’événement contraire de
« tirer un nombre pair » ?
d’une expérience aléatoire, en justifiant :
a) Obtenir une bonne note à un contrôle.
b) Tirer la dame de cœur dans un jeu de 32 cartes.
c) Transformer un essai au rugby.
d) Gagner à un tirage au sort.
Solution :
a) Les … possibles sont : 1 ; … ; … ;
… ; … et 6.
b) Le dé n’est pas …, donc chaque
… a la même ... de … : les issues
sont donc …
c) Chaque tirage est … du …
précédent. On peut donc … de
nouveau un … …, et avec la même
…
d) Soit on … un … pair, soit on tire
un … ….
Donc l’évènement … de « tirer un
nombre … » et donc « … un …
impair ».
 Une roue de loterie est partagée en 6
1
6
5
secteurs identiques. On s’intéresse au
nombre obtenu.
2
3
4
a) Quelles sont les issues (ou résultats)
possibles ? Sont-elles équiprobables ?
b) Au 1er tour de roue, on obtient 6.
A-t-on la même probabilité d’obtenir de nouveau 6 au
2ème tour de roue ?
c) Explique quel est son événement contraire.
 On lance un dé à 8 faces non truqué.
a) Quelles sont les issues (ou résultats)
possibles ? Sont-elles équiprobables ?
b) Au 1er lancer de dé, on obtient 5. On
relance le dé. Peut-on encore obtenir 5 ?
A-t-on plus de chance d’obtenir un autre nombre ?
c) Quel est son événement contraire ?
CALCULER DES PROBABILITES
3ème
INFO
F3
 Un événement aléatoire est une expérience qui a plusieurs résultats (ou issues)
possibles que l’on ne peut pas prévoir avec certitude.
 La probabilité d’un événement représente sa chance de se réaliser.
 Une probabilité est un nombre entre 0 et 1, souvent écrit sous forme de fraction.
 Quand deux évènements sont contraires, la somme de leur probabilité vaut 1.
 Un jeu de 32 cartes est composé de 4 « familles » : pique et trèfle (de couleur noire), cœur et
carreau (de couleur rouge). Dans chaque famille, il y a 3 figures : valet, dame et roi.
On tire une carte au hasard, calcule la probabilité des évènements suivants :
a) La carte tirée est une dame.
b) La carte tirée est une figure rouge.
c) La carte tirée n’est pas une figure rouge.
Pense à justifier
tes réponses avec
une phrase et un
calcul !
INFO






 Recopie et complète la solution :
 Une urne contient 12
Enoncé : on tire une carte au hasard dans
un jeu de 32 cartes.
a) Calcule la probabilité P1
de l’évènement A « tirer un
valet ».
b) Calcule la probabilité P2 de
l’évènement B « tirer un trèfle ».
c) Déduis-en la probabilité P3 de
l’évènement C« ne pas tirer un trèfle ».
boules vertes et 4 boules rouges.
Une autre urne contient 1 boule
vertes et 2 boules rouges.
a) Calcule la probabilité de tirer une boule
verte dans la première urne.
b) Calcule la probabilité de tirer une boule INFO
verte dans la deuxième urne.
c) Dans quelle urne a-t-on le plus de chances de tirer
une boule verte ?
Solution :
a) Il y a 4 … dans le … de cartes.
Le … total de … est …, donc :
P1 = … = 1  … = 1.
32 …  4 8
Il y a … chance sur 8 de … un …
b) Il y a … … dans un jeu de … …,
donc :
P2 = 8 = 1  … = 1.
… …8 4
Il y a … chance sur 4 de … un …
c) Les … B et C sont contraires, donc :
P3 = 1 – P2 = 1 – … = 3
…
Il y a … … sur 4 de ne pas … un …
 Une roue de loterie est partagée
Pense à calculer
le nombre total
de boules !
6
1
5
2
3
en 6 secteurs identiques. On s’intéresse
4
au nombre obtenu.
a) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair.
b) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre inférieur
ou égal à 5.
 On lance un dé à 6 faces non truqué.
a) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre impair.
b) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre
strictement supérieur à 4.
c) Déduis-en la probabilité d’obtenir un nombre
inférieur ou égal à 4.
DEVELOPPER UN PRODUIT
3ème
INFO
N3
Développer un produit, c’est le transformer en somme.
Il y a deux développements à connaître :
k  (a + b) = k  a + k  b = ka + kb.
(a + b) (c + d) = a  c + a  d + b  c + b  d = ac + ad + bc + bd.
Les flèches montrent bien que l’on « distribue » la multiplication à chaque terme
entre parenthèses. On passe à chaque fois d’un produit à une somme.
 Développe et réduis les expressions suivantes :
A = – 5  (x + 4) ;
A 

B

B = (5 x – 6) (3 x + 7) ;







C




C = 2 x 2 – (x + 2) (x – 8).




Pour m’aider à
développer, j’ajoute
des flèches au crayon.




 






 
INFO


 Recopie et complète :
Enoncé : développe et réduis :
A = – 3 (5 x – 4) ;
B = (2 x – 8) (4 x – 7) ;
C = x – (x + 7) (5 x – 3).
Au A, tu dois
distribuer – 3, pas
seulement 3 !
Après chaque
produit, tu écris
toujours le signe + !
Solution :
INFO
A = – 3 (5 x – 4)
= – 3  … x + (– …)  (– …)
=–…x+…;
B = (2 x – 8) (4 x – 7)
= …x  4 x + 2…  (–…) + (–…)  4 x + (– 8)  (–…)
…
= …x – …x – …x + …
2
= 8… – …x + … ;
C = x – (x + 7) (5 x – 3)
= x – [x  …x + x  (–…) + 7  …x + 7  (–…)]
…
= x – (5… – …x + 35… –…)
…
= x – (5… + …x –…)
…
Au C et au , développe le
= x – 5… – …x + …
produit entre crochets, puis
…
= – 5… – …x + …
réduis-le. Quand il est réduit, tu
INFO
supprimes les parenthèses :
quand il y a un signe – devant,
tu dois changer les signes des
termes entre parenthèses !
Au C, je développe et réduis
le produit entre
parenthèses. Comme elles
sont précédées du signe –,
je change le signe des 3
termes entre parenthèses
quand je les supprime.
 Développe et réduis :
A = 5 (2 x – 7) ;
B = – 4 (– 3 x + 1) ;
C = 4 – 3 (x – 5) ;
D = 5 x – 5 (– 2 x + 1) ;
E = 2 (3 x + 5) – 4 (x + 2).
 Développe et réduis :
A = (x + 3) (x + 4) ;
B = (2 x – 3) (– x + 2) ;
C = (– 4 x + 3) (2 x + 1) ;
D = (7 x – 2) (5 x – 4) ;
E = (– 3 x – 4) (8 x – 7).
 Développe et réduis :
A = 5 + (2 x – 7) (4 – 3 x) ;
B = 3 – (4 x + 1) (– x + 2) ;
C = 5 x – 1 + (2 x – 3) (3 x + 1) ;
D = 4 x 2 – (– 5 x + 2) (x – 3) ;
E = (2 x – 3) (x + 5) – 4 (2 x – 1).
DEVELOPPER AVEC UNE IDENTITE REMARQUABLE
3ème
N3
Il faut connaître les trois identités remarquables suivantes :
(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2 a b + b 2
(a + b) (a – b) = a 2 – b 2
INFO
Dans les deux premières identités, 2 a b est appelé « le double produit ».
 Développe et réduis les expressions suivantes :
B = (y – 9) 2 ;
A = (x – 5) (x + 5) ;
A

B








C
C = (6 x + 2) 2.

INFO
Attention aux
parenthèses
autour de 6 x !
2
2
(6 x) = 36 x .
26x2=26x2
= 2  6  2  x = 24 x.
 Recopie et complète :
 Développe et réduis les expressions
Enoncé : développe et réduis les expressions
suivantes :
D = (x + 5) 2 ;
E = (y + 3) (y – 3) ;
F = (4 t – 7) 2.
suivantes :
A = (x + 1) 2 ;
B = (y + 3) 2 ;
C = (x + 9) 2 ;
D = (n + 6) (n – 6) ;
E = (x + 1) (x – 1) ;
F = (x – 1) 2 ;
G = (t + 5) 2 ;
H = (x – y) 2.
Solution :
D = (x + 5) 2 = … 2 + 2  …  … + 5 …
2
= … + … x + 25 ;
E = (y + 3) (y – 3) = … 2 – 3 … = … 2 – … ;
F = (4 t – 7) 2 = (4 t) … – …  …  7 + … 2
…
= … t – 56 … + …
 Calcule de tête en rédigeant les calculs comme
dans l’exemple :
49 2 = (50 – 1) 2 = 50 2 – 2  50  1 + 1 2
= 2 500 – 100 + 1 = 2 401
21 2 = ?
89 2 = ?
201 2 = ?
19 2 = ?
91 2 = ?
199 2 = ?
19  21 = ?
91  89 = ?
199  201 = ?
 Développe et réduis les expressions
suivantes :
J = (5 x + 2) 2 ; K = (4 x – 1) 2 ; L = (2 y + 3) 2 ;
M = (5 n + 7) (5 n – 7) ;
N = (3 – 4 x) (3 + 4 x) ;
2
P = (9 y – 2) ; R = (5 – 6 x) 2 ; S = (2 x – 3 y) 2.
 Recopie et complète :
a) (x + …) 2 = … + … + 25 ;
b) (y – …) 2 = … – … + 1 ;
c) (z + …) 2 = … + 8 z + … ;
d) (n + …) (n – …) = … – 49 ;
e) (… + 4) 2 = 9 x 2 + … + … ;
f) (… – 5) 2= 16 x 2 – … + …
 Sur la copie de Khadija, on
 Développe et réduis chaque expression :
peut lire le calcul suivant :
A = 15 x – (x + 7) 2 ;
C = (x + 2) (x – 2) + (x + 1) 2 ;
D = (x + 3) 2 – (x – 2) 2.
E = (x + y) 2 – (x – y) 2.
INFO
Attention au signe
moins devant une
expression : il faut
la développer
entre
parenthèses !
B = x (x – 1) – (x – 2) 2 ;
Khadija a commis une grosse
erreur !
Qu’a-t-elle oublié ?
Attention :
2
2
9 x = (3 x)
INFO
3ème
SECTIONS DU PAVE DROIT
G4
La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un
plan parallèle à une face est un rectangle superposable à cette face.
Cas particulier : dans un cube, la section obtenue est un carré.
P

INFO
I
C
B
L
P
I
C
A
J
G
F
D
D
L
B
K
H
E
A
La section d’un pavé droit (et d’un cube) par un plan parallèle
à une arête est un rectangle.

J
G
F
K
H
E
 ABCDEFGH est un pavé droit que l’on a coupé
J
F
par un plan parallèle à l’arête [GH], avec IH = 3 cm.
a) Quelle est la nature de la section IJCD ?
b) Dessine-la en vraie grandeur.
c) Calcule son aire, puis arrondis-la au mm2 près.
3 cm
I
E
G
2 cm
H
B
C
m
4c
7 cm
A
GH
D
CDI J
I
I HD
CDI J
ABCDEFGH
ADHE
I HD
ID
H
H
IH
I D  DC
D
J
HD
ID

C
CDI J
 Recopie et complète :
E
A
F
B
Enoncé : ABCDEFGH est un
J
cube d’arête 8 cm. Les points I I
et J sont les milieux respectifs
H
D
de [AD] et [BC]
C
a) Quelle est la nature du quadrilatère IJGH ?
b) Dessine-le en vraie grandeur.
c) Calcule IG, puis son arrondi au mm près.
G
Solution :
a) On a … le cube par un … … à l’arête […].
La … IJGH obtenue est donc un …
b)
8c
m
Reproduis et complète
ce dessin avec les
bonnes dimensions !
L’outil idéal est le
compas !
 Dans la figure suivante, on a représenté la
V
section d’un pavé droit
X
W
par un plan parallèle à
B
A
l’arête [ST].
R
BT = 15 cm, CT = 8 cm
C
D
T
et ST = 13 cm.
S
a) Quelle est la nature de la section obtenue ?
b) Calcule la longueur BC.
U
 Les figures ci-dessous représentent un cube
d’arête 4 cm et un pavé droit coupés par un plan
parallèle à une arête.
C
B
A
M
3 cm
R
J
I
D
J
4 cm
C
Y
T
U
N
S
4 cm
3 cm
F
8 cm
G
c) ABCDEFGH est un …, donc sa … BCGF
est un …, donc JCG est un triangle … en …,
donc on peut utiliser le … de …
JG … = …2 + …2 = 4 … + 8 … = … + … = …
Donc JG = …  … (en cm).
INFO
E
L
Y
G
3 cm
K
1 cm
H
V
X
O
P
6 cm
4 cm
W
a) Quelle est la nature des sections IJKL et
MNOP ? Justifie.
b) Représente ces sections en vraie grandeur.
c) Calcule LK et PM, puis l’arrondi à l’unité de
l’aire de chaque section.
3ème
SECTIONS DU CYLINDRE
La section d’un cylindre par un plan parallèle à ses
bases (c’est-à-dire perpendiculaire à son axe) est un
disque superposable aux disques de base.

INFO
G4
D
O
O
A
D
P
C
La section d’un cylindre par un plan parallèle à son
axe est un rectangle.

O'
O'
B
P
 Le cylindre ci-contre a été coupé par un plan parallèle à son axe.
A
O
H
On donne : OA = 3 cm et OH = 2 cm.
1°) Quelle est la nature de la section ABCD obtenue ? Justifie.
2°) Calcule la longueur AB.
B
D
C
ABCD
OHA
H

HA
HA
OA
OB
OAB
OH
AB
O
O
H
AB
 AH
 Recopie et complète :
 Le plan P est parallèle à
Enoncé : on coupe un cylindre par un plan P
parallèle à son axe OO’. La hauteur du cylindre
est 15 cm, sa base a pour rayon 7 cm. La
distance de O au plan P est OH = 3 cm.
a) Quelle est la
nature de la
section ABCD ?
b) Calcule ses
dimensions.
D
C
O’
A
B
H
O
Solution :
a) On a … le cylindre par un … … à l’axe
(......). La … obtenue ABCD est donc un …
b) BC = OO’ = 15 cm.
OHA est … en …, donc d’après le … de … :
OA 2 = …2 + …2
donc 7 2 = … 2 + AH …
D’où : 49 = … + AH …, donc AH 2 = … – … =
40
Et AH = …
[…] et […] sont des …du disque, donc OAB est
… en O, et la hauteur […] est aussi ….
Donc H est le … de […].
Donc AB = …  AH = 2  … = 2 … (en cm).
ABCD est donc un … de 15 cm sur 2 … cm.
M
O
X
l’axe (OO’) du cylindre. Ce
N
plan coupe le cylindre selon le
S
quadrilatère NRSM. On donne
O’
OM = 10 cm,
R
OO’ = 20 cm et OX = 6 cm.
P
a) Quelle est la nature de
NRSM ? Justifie.
b) Dessine en vraie grandeur le triangle OMN.
c) Calcule MX puis MN.
 La citerne cylindrique d’un camion est
presque vide.
On donne son
O’
rayon OF de
T
5 m, sa
longueur OO’ de
15 m.
La hauteur FH de liquide
restant n’est plus que de 1 m.
U
O
S
H
F
a) Calcule la longueur OH.
b) Explique la nature de la surface RSTU de
liquide.
c) Calcule RS, puis déduis-en l’aire de RSTU.
R
DEFINITION DES RACINES CARREES
3ème
 Si a est un nombre positif, la racine carrée de a (que l’on écrit
INFO
a2 = a
positif dont le carrée est égal à a. Donc
 Par exemple :


3  3 = 3 2 = 9,
( 3)2 =
3
donc
et
9=
N4
a) est le nombre
( a)
2
=a .
3 2 = 3.
3 = 3.
 Attention : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un
nombre est toujours positif !
 Ecris sous forme décimale :
2
a = ( 5) ;
2
c = 32 ;
b= ( 25) ;
d = 0,4 2 ;
e = 12  12.
On applique toujours la même formule,
à connaître par cœur !

INFO
 Recopie et complète :
1°) a) 7 2 = …
b) 15 2 = 225
c) … 2 = 64
d) … 2 = …
a2 = a
…=7;
…=…;
64 = … ;
… = 10 ;
donc
donc
donc
81 = … ;
…=…;
…=…
2°) a) 3 = … ;
b) 19  19 = … ;
2
c) ( 15) = … ; d) (– 5) 2 = … ;
2
e) … 2 = 12 ;
( a)2 = a
 Recopie et complète :
donc
donc
donc
donc
e) … 2 = …
f) … 2 = 25
g) 6 2 = …
et
f) – 6  6 = … ;
0=…;
16 = … ;
64 = … ;
144 = … ;
1=…;
25 = … ;
81 = … ;
169 = … ;
4=…;
36 = … ;
100 = … ;
0,01 = … ;
9=…;
49 = … ;
121 = … ;
0,04 = …
 Recopie et complète, si possible, les phrases
suivantes par les expressions « le carré » ou « la
racine carrée » :
a) 25 est … de 5 ;
b) 25 est … de 625 ;
c) 9 a pour … 81 ;
d) 4,5 est … de 16,25 ;
e) 9 a pour … – 3 ;
f) 0,01 est … de 0,1.
 Donne un encadrement des racines
 Parmi les écritures suivantes, retrouve celles
carrées suivantes par deux entiers
consécutifs :
Exemple : 3 < 12 < 4 car 9 < 12 < 16.
a) … < 29 < … car … < 29 < … ;
b) … < 50 < … car … < 50 < … ;
c) Continue avec 62, 90, 107 et 20.
qui désignent le nombre 2, le nombre – 2 et celles qui
n’ont pas de sens (en justifiant pourquoi) :
( 2) 2 ;
(– 2) 2 ; – 4 ;
–4;
2
2
2
(– 2) ;
– (– 2) ;
–2 ;
22 ;
2 2;
(– 2)  (– 2) ;
– 2  – 2.
 Avec la calculatrice, donne
l’arrondi au millième des nombres
suivants :
Il faut
arrondir, pas
tronquer !
 Calcule les nombres suivants quand c’est
possible. Si c’est impossible, explique pourquoi.
a) 44,89 ; b) – 25 ;
a) 2 ;
3;
7;
10 ;
15.
e) (– 3) 2 ; f) (– 1) 3 ;
b) 5 6 ;
6 8;
100 2 ;
12 3. INFO i) 4 – 9 ; j) ( 16) 2 ;
c) 7 + 2 ;
15  2 ;
19 – 3.
c) – 64 ; d) 0 ;
g)  – 5 ; h) – 7 2 ;
k) 9 2 ;
l) – 1 8.
SIMPLIFIER UNE RACINE CARREE
3ème
INFO
N4
 On peut simplifier une racine carrée en l’écrivant sous la forme a b, où a est un
entier relatif (le plus grand possible) et b est un entier naturel (le plus petit
possible).
 Pour simplifier une racine carrée, il faut décomposer le nombre sous la racine en
un produit de deux facteurs, où l’un des facteurs est un carré, le plus grand
possible.
 Ecris les expressions suivantes sous la forme a
b, où a est un entier relatif et b un entier positif le
plus petit possible :
48.
72 ;
125 ;









INFO
Il y a souvent plusieurs façons de
décomposer le nombre : choisis
celle qui donne le plus grand carré !
Par exemple, 72 = 8  9 est moins
intéressant que 72 = 36  2, car 36
est un plus grand carré que 9 !
 Recopie et complète :
 Ecris les expressions suivantes sous la
Enoncé : écris les expressions suivantes sous la
forme a b, où a est un entier relatif et b un
entier positif le plus petit possible :
1 000 ;
128 ;
80.
forme a b, où a est un entier relatif et b un
entier positif le plus petit possible :
20 ;
32 ;
60 ;
45 ;
Solution :
 1 000 = …  10 = 100  …
= …  10 = … …
 128 = 64  … = …  …
Quand tu
=… …=… …
décomposes le
 80 = …  5 = …  …
nombre, écris
plutôt
le carré en
=… …=… …
 Même exercice que le précédent avec les
nombres suivants :
245 ;
405 ;
99 ;
605 ;
A = 2 20 ;
B = 80 ;
90.
D=
2
C=4 5;
(écris tes calculs) :
12
18
27
32
INFO
 a) Ecris
24, 54 et 150 sous la forme
a 6 avec a entier.
b) Déduis-en une écriture simplifiée de :
A = 2 24 + 54 – 2 6 – 150.
 Relie les écritures d’un même nombre
8
343 ;
338.
Pense à simplifier au
maximum ! Cela peut se
faire en plusieurs
étapes !
premier !
 Retrouve l’intrus parmi ces 4 nombres :
288 ;
108 ;
48
 Pour démontrer que
20 + 80 = 2 45,
écris d’abord 20 + 80, puis 2 45 sous la
forme a 5, avec a entier.
Tu pourras ensuite conclure que l’égalité est
vérifiée.
MULTIPLIER DES RACINES CARREES
3ème
Si a et b sont des nombres positifs, alors 
a

INFO
Attention :
 Calculer A =
a+
b



C


a+b!






144.
169


B
D
 Recopie et complète :
 Calcule les nombres suivants :
Enoncé : Calcule les nombres suivants :
E = 3  12 ;
F = 16  36 ;
1.
G = 75 ;
H=
25
3
Solution :
E = 3  12 = …  … = … = 6 ;
F = 16  36 = …  … = …  … = 24 ;
…
G = 75 =
= …=5;
…
3
H=
b= ab;
a
a.
=
b
b
20  45, B = 48 , C = 100  49 et D =
3
A
N4
1
… … 0,2.
=
= =
25
… …
a) 8  0,5 ;
c) 0,9  10 ;
e) 0,1  360
g) 5 6  24 ;
b)
d)
f)
h)
5  20 ;
28  7 ;
18  2 ;
12  3 27.
 Calcule les nombres suivants et donne le
résultat sous la forme d’un nombre entier :
a) 18 ;
b) 245 ;
c) 117 ;
2
5
13
d) 27 ;
e) 63 ;
f) 128.
3
7
8
 Calcule les nombres suivants et donne le
 Calcule et simplifie au maximum les
résultat sous la forme d’une fraction :
25 ;
16 ;
a)
b)
c)
9
49
144 ;
36 ;
d)
e)
f)
169
121
expressions suivantes :
47 ;
a) 7  13 ;
b)
91
2  14
1;
4
1 .
100
d) 2  3  6 ;
e) 3 
c) 2 5 ;
3 20
25 .
144
 Ecris les nombres suivants sous la forme a
 a) Calcule l’aire de chaque face de
Exemple :
ce pavé droit, puis son aire totale.
b) Calcule son volume et «écris le résultat
sous la forme a 2, où a est un entier.
b
avec a et b entiers positifs et b le plus petit possible :
62 3= 62 3=2 6 3
=2 63=2 233
=2 29=2 9 2
= 2  3  2 = 6 2.
a) 2 15  3 ;
b) 3 6  2 ;
c) 75  15 ;
d) 3 7  4 14 ;
e) 12  8 ;
f) 110  5 11.
D
C
A
2 cm
B
G
H
8 cm
E
32 cm
F
ADDITIONNER DES RACINES CARREES
3ème
N4
 On ne peut additionner des racines carrées que quand il y a le même nombre sous
la racine carrée.
Si a est un nombre positif, alors par exemple 2 a + 5 a = 7 a, mais 2 + 3 ne
peut pas être simplifié.
 Souvent, on pourra additionner des racines après les avoir simplifiées et fait
apparaître le même nombre sous les racines.
INFO
 Calculer A = 5

A



B




Après avoir simplifié
chaque racine de B, on
peut les additionner !
3 – 2 3 – 3 et B = 98 – 5 32 + 8.

















INFO
 Recopie et complète la solution :
 Mets les nombres suivants sous la
Enoncé : Mets les nombres suivants sous la forme a 5.
A=8 5+ 5–6 5;
B = 20 + 2 45 – 3 80.
forme a 6 :
A=2 6–5 6+4 6;
B= 6+ 6;
C = 12 6 – 6 + 5 6 ;
D = 6 – 4 6.
Solution :
A=8 5+ 5–6 5=9…–… 5=… …;
B = 20 + 2 45 – 3 80
 Mets les nombres suivants sous la
= …5+2 9…–3 ……
= 4 …+2 … 5–3 … …
=… 5+2… 5–34 …
= … 5+ 6 … – … 5 = … ….
 Ecris les nombres suivants sous la forme a
J = 72 – 2 8 ;
M = 18 – 8 + 2 ;
forme a 7 :
E = 3 7 + 63 ; F = 2 7 – 28 ;
G = 2 175 + 700 – 5 112.
b avec b le plus petit possible :
K = 12 + 75 + 4 300 ;
N = 112 – ( 7 + 63) ;
 Sur la figure ci-contre, on donne : RF = 9
L = 2 5 + 7 5 – 180 ;
P = 99 – 44 – 11.
3 cm ; FC = 5 3 cm et EF = 12 3 cm.
E
a) Calcule RC.
b) Montre que ER = 15 3 cm et CE = 13 3 cm.
c) Calcule le périmètre de CER.
F
R
 Un insecte capricieux chemine sur un cube de 6 cm d’arète.
Arrivée
Démontre que la longueur (en cm) du chemin parcouru est :
9 + 9 2 + 6 5.
(conseil : nomme des points pour mieux justifier tes calculs).
Départ
C
DEVELOPPER AVEC LES RACINES CARREES
3ème
Développer un produit, c’est le transformer en somme.
Dans certains cas, il faudra développer des expressions contenant des racines
carrées afin de les simplifier.
Comme en calcul littéral, il faut connaître les identités remarquables !
INFO
 Développe et réduis les expressions suivantes :
A = 7  (3 – 7) ;
C = (3 – 5) 2 ;

A et B sont des
développements de niveau
ème
ème
5
et 4 .
Pour C et D, on utilise deux
identités remarquables :
2
2
2
(a – b) = a + 2 a b + b et
2
2
(a + b) (a – b) = a – b .
B = (1 + 2) (3 – 2) ;
D = ( 3 + 4) ( 3 – 4).

B
C
N4

 

 






D






INFO
 Recopie et complète la solution :
 Développe et réduis :
Enoncé : développe et réduis E et F :
E = (2 + 5) (3 5 – 4) ;
F = ( 5 + 6) 2 ;
G = (2 3 + 1) 2 – ( 3 + 2) ( 3 – 2).
H = 7 ( 2 – 5) ;
I = 6  (3 – 6) ;
J = 3  ( 12 + 3).
Solution :
E = (2 + 5) (3 5 – 4)
= 2 … 5 + 2  (–…) + … … 5 + 5  (–…)
=6 …–…+…5–4 …
= – 8 + 15 + … 5 = … + … 5.
F = ( 5 + 6) 2 = ( …) 2 + 2  …  … + 6 …
= … + 12 … + … = 41 + … ….
2
G = (2 3 + 1) – ( 3 + 2) ( 3 – 2)
2
2
2
2
= (2 …) + 2  …  … + … – [( …) – … ]
= 4  … + 4 … + 1 – (… – 4)
= 12 + 4 … + … + …
= 14 + 4 …
 Parmi ces quatre nombres :
2
Attention
aux erreurs
de signe !
 Développe et réduis :
K = ( 5 + 3) ( 5 – 1) ;
L = ( 6 + 2) ( 3 – 2) ;
M = (2 3 – 5) (3 – 4 3).
 Développe et réduis :
N = (4 + 3) 2 ;
P = ( 5 – 3) 2 ;
Q = ( 7 – 4) 2 ;
R = (1 + 2) 2 ;
S = ( 2 + 1) ( 2 – 1) ;
T = (2 12 – 3 75) 2 ;
U = ( 3 + 2) ( 3 – 2) ;
 Soit A = 8 + 2
2
a = (3 – 2) ,
b = (3 + 2) ,
c = 2 (3 + 2),
d = (3 + 2) (3 – 2),
lequel est un entier ?
Justifie sans utiliser la calculatrice.
IN FO
3 et B = 8 – 12.
Montre que A+B, AB et A2+B2 sont des entiers.
 Développe et réduis :
a = (4 + 5 2) 2 – (2 2 – 3) (3 2+ 7) ;
b = (3 – 2 7) 2 – (4 7 – 3) (5 7 + 7).