1ère S Exercices sur les formules d’addition et de duplication 1 Soit x un réel quelconque. Développer cos x et sin x . 4 3 1 On utilise les formules d’addition du cosinus et du sinus. On utilise les valeurs de cosinus et de sinus de valeurs remarquables 2 2 3 1 ( cos ; sin ; cos ; sin ) 4 2 4 2 3 2 3 2 2 Soit x un réel quelconque. Réduire les expressions suivantes : A cos 3 x cos 5 x sin 3x sin 5 x ; B cos x cos 2x sin x sin 2x C cos 7x sin 6x sin 7x cos 6x ; D cos 3x sin 2x cos 2x sin 3x . 3 Soit x un réel qui n’est pas un multiple entier de sin 3 x cos 3 x . Calculer l’expression A . 2 sin x cos x On développe les expressions avec les formules d’addition et on utilise : 2 3 4 3 2 1 4 1 ; sin ; cos ; sin 3 2 3 2 3 2 3 2 4 Les lignes trigonométriques de se lisent directement sur le cercle trigonométrique. 3 On peut aussi écrire : 3 . Calculer cosi cos 2x . 3 cos 2 3 6 On note a le réel de l’intervalle 0 ; tel que cos a . 2 2 Calculer cos 2a ; en déduire la valeur de a. 4 cos cos 3 3 3 4 sin sin sin 3 3 3 cos 7 Soit x un réel quelconque. Démontrer les égalités : 1°) 1 2cos x cos 2 x 2cos x 1 cos x 2°) 1 2sin x cos 2 x 2sin x 1 sin x . 8 Donner une factorisation des expressions A 1 cos 2 x sin x et B 1 cos 2 x sin 2 x . 9 Soit x un réel quelconque. Démontrer les égalités suivantes : 2 1°) cos x sin x 1 sin 2 x 2°) 4 cos2 x 2 sin 2 x 3 cos 2 x 10 Soit x un réel quelconque qui n’est pas un multiple entier de 1°) Simplifier 3°) cos4 x sin 4 x cos 2 x . . 2 5 cos 2 x 1 3 3 6 cos 2a ; a (il faut justifier précisément avec l’intervalle) 7 2 12 B 2 sin x sin x cos x et tan . 8 12 11 Soit x un réel quelconque. Exprimer cos 4x en fonction de cos 2x ; en déduire cos 4x en fonction de cos x. 12 Soit x un réel quelconque. En écrivant 3 x 2 x x , exprimer cos 3x en fonction de cos x et sin 3x en fonction de sin x. 8 A sin x 2 sin x 1 ; 9 2°) On change l’expression du 1er membre ; on change l’expression du second membre et on montre que les deux expressions sont égales. On exprime toutes les deux en fonctions de cos 2 x . 4 cos 2 x 2 sin 2 x 4 cos 2 x 2 1 cos 2 x 2 cos 2 x 2 1 cos 2 x . sin 2x 2°) A l’aide du 1°), calculer tan 2 A cos 2 x ; B cos 3 x ; C sin x ; D sin 5 x a c ad bc 3 A 2 (on utilise la formule ) b d bd 4 AB0 Méthode : 4 Soit x un réel quelconque. Calculer les expressions : 2 4 2 4 A cos x cos x cos x et B sin x sin x sin x . 3 3 3 3 5 Soit x un réel tel que cos x Réponses 3 cos 2x 3 2cos2 x 1 2 2cos 2 x 2 2 3°) cos 4 x sin 4 x cos x sin x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x . 1 Attention à ne pas compliquer inutilement. Exemple de complication inutile : cos 2 x sin 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x 2cos 2 x cos 2 x 2 2 2 Solutions détaillées On directement la formule qui nous donne cos 2x. 7 Démonstrations d’égalités 1 cos 2 x 10 1°) tan x 2°) tan 2 1 ; tan 2 3 sin 2x 8 12 2 2 Méthode (pour l’exercice présent) : 11 cos 4 x 2 cos 2 x 1 2 cos 2 x 1 2 2cos x 1 1 ... 8 cos x 8 cos x 1 On a bien exprimé cos 4x en fonction de cos 2x (même si en fait, on a exprimé cos 4x en fonction de cos 2 2x ). 2 2 4 2 Méthode du changement de variable : X 2 x . cos 2 X 2 cos 2 X 1 Partir du membre de gauche pour arriver au membre de droite. Il est assez pratique de donner un nom au membre de gauche (A, B …). 2 1 cos 2 x 1 1 2sin x 2sin 2 x tan x sin 2x 2sin x cos x 2sin x cos x 10 1°) 2°) 12 cos 3 x 4 cos 3 x 3 cos x ; sin 3x 3 sin x 4 sin 3 x Il est conseillé de retenir ces formules. Grâce à elles, on peut retrouver le résultat de l’exercice 2 . cos 3 x cos 2 x x cos 2 x cos x sin 2 x sin x ... 4 cos 3 x 3 cos x 2 Calculons tan . 8 On applique l’égalité du 1°) pour x 2 Ecrire sin 2 x 2sin x cos x puis sin x 1 cos x . 1 cos 2 8 sin 2 8 1 cos 4 sin 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 8 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 1 8 2 . 8 Calculons tan Déduisons-en cos 4x en fonction de cos x. . 12 2 2 4cos x 4cos cos 4 x 2 2cos 2 x 1 1 On applique l’égalité du 1°) pour x . 12 2 4 2 x 1 1 2 8 cos x 8 cos x 1 1 cos 2 12 sin 2 12 1 cos 6 sin 6 3 1 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 tan 12 2 3 tan 12 Expressions de cos 3x en fonction de cos x et sin 3x en fonction de sin x. cos 3 x 4 cos3 x 3 cos x ; sin 3x 3 sin x 4 sin 3 x Il est conseillé de retenir ces formules. Grâce à elles, on peut retrouver le résultat de l’exercice 2 . cos 3 x cos 2 x x (astuce de départ) (formule d’addition du cosinus) cos 2 x cos x sin 2 x sin x 2cos 2 x 1 cos x 2sin x cos x sin x (formule de duplication du cosinus et du sinus) 2cos x 1 cos x 2cos x sin x 2cos x 1 cos x 2 cos x 1 cos x 2 2 2 2 3 (on utilise la formule cos2 x sin 2 x 1 ) 3 2 cos x cos x 2cos x 2 cos x 4 cos3 x 3cos x cos 3x 4 cos3 x 3 cos x (astuce de départ) sin 3 x sin 2 x x sin 2 x cos x cos 2 x sin x (formule d’addition du sinus) 2sin x cos x cos x 1 2sin 2 x sin x (formule de duplication du cosinus et du sinus) 2 3 12 2 3 2sin x cos x sin x 2sin x 2sin x 1 sin 2 x sin x 2sin 3 x 11 Expression de cos 4x en fonction de cos x. 2 sin x 2sin 3 x sin x 2 sin 3 x 3sin x 4sin3 x Exprimons cos 4x en fonction de cos 2x. Méthode du changement de variable : X 2 x . cos 2 X 2 cos 2 X 1 cos 4 x cos 2 2 x 2 cos 2 2 x 1 2 2 cos 2 x 1 On a bien exprimé cos 4x en fonction de cos 2x (même si en fait, on a exprimé cos 4x en fonction de cos 2 2x ). sin 3x 3sin x 4sin3 x (on développe) (on utilise la formule cos2 x sin 2 x 1 )