Chapitre VI

1
Dédicaces
Nous dédions ce travail :
A nos très chers parents,
Aucun terme et aucune langue ne pourra exprimer nos amours et nos
sentiments envers vous. Dieu seul capable de vous récompenser pour tout ce que vous
avez fait pour nous
A toutes nos familles,
Merci pour tout.
A nos professeurs,
S’il y a vraiment quelqu’un à remercier, ça sera vous. Merci pour vos efforts.
A tous nos chers amis,
Nous vous souhaitons une vie pleine de joie et de réussite.
A tous ceux qui nous aiment,
Qu’ils trouvent ici nos amours réciproques.
2
Remerciements
Nos remerciements les plus sincères à toutes les personnes qui auront
contribué de près ou de loin à l'élaboration de ce mémoire ainsi qu'à la
réussite de cette formidable année académique.
Nos remerciements pour notre encadrant Monsieur Elmostafa Azizi,
qui malgré ses multiples occupations, a accepté de diriger ce mémoire.
Nous tenons aussi à remercier les élèves et leurs professeurs pour leur
soutien lors de l'étude statistique.
Nos dernières pensées iront vers nos familles, et surtout nos parents,
qui nous auront permis de poursuivre nos études jusqu’à aujourd’hui.
3
Table des matières
Introduction…………………………………………………………………………………………………………………………………..6
Histoire et étymologie…………………………………………………………………………………………………………………..7
1. Une brève histoire de la géométrie………………………………………………………………………………….7
1.1. Géométrie égyptienne……………………………………………………………………………………………...7
1.2. Géométrie babylonienne………………………………………………………………………………………….10
1.3. Géométrie grecque…………………………………………………………………………………………………..10
1.4. Géométrie arabo-musulmane………………………………………………………………………………….17
1.5. Géométrie moderne………………………………………………………………………………………………..22
2. Etymologie………………………………………………………………………………………………………………………22
La géométrie euclidienne…………………………………………………………………………………………………………....24
1. Des définitions d'Euclide………………………………………………………………………………………………...24
2. Les postulats d'Euclide…………………………………………………………………………………………………….27
3. Les axiomes d'Euclide……………………………………………………………………………………………………..28
Construction des figures géométriques………………………………………………………………………………………30
1. Les utilisations théoriques des instruments …………………………………………………………………..30
2. Quelques constructions géométriques simples………………………………………………………………30
2.1. Construction de la bissectrice d'un angle………………………………………………………………….30
2.2. Construction de la médiatrice………………………………………………………………………………….31
2.3. Construction d'un triangle isocèle…………………………………………………………………………….31
3. Construction géométrique des polygones……………………………………………………………………..32
3.1. Construction d'un triangle équilatéral………………………………………………………………………32
3.2. Construction d'un carré…………………………………………………………………………………………….32
3.3. Construction d'un pentagone…………………………………………………………………………………..33
3.4. Construction d'un hexagone.................................................................................33
3.5. Construction d'un pentadécagone…………………………………………………………………………..34
3.6. Construction d'un heptadécagone…………………………………………………………………………..34
Espace physique et espace géométrique……………………………………………………………………………………36
1. L'espace physique…………………………………………………………………………………………………….36
1.1. Espace physique ou espaces physiques…………………………………………………………….36
1.2. Les relations du sujet à l’espace physique…………………………………………………………36
1.3. La géométrie naturelle……………………………………………………………………………………….36
2. Distinction espace physique et espace géométrique……………………………………………….37
2.1. Géométrie naturelle et géométrie axiomatique………………………………………………..37
2.2. Géométrie axiomatique naturelle vs formelle……………………………………………………38
2.3. Contradiction géométrie naturelle géométrie axiomatique……………………………….38
3. Les représentations graphiques en géométrie………………………………………………………….39
4
3.1. Ambiguïté des représentations en géométrie axiomatique……………………………….39
3.2. Le "vu" et le "su" d'une représentation graphique……………………………………………..39
Organisation de l'enseignement de la géométrie………………………………………………………………………41
1.
2.
3.
4.
5.
A l'école maternelle………………………………………………………………………………………………..41
A l'école élémentaire……………………………………………………………………………………………...41
Au collège………………………………………………………………………………………………………………..41
Au lycée…………………………………………………………………………………………………………………..42
Programme de la géométrie au collège…………………………………………………………………..42
Raisonnement et démonstration…………………………………………………………………………………………………44
1. Le raisonnement dans le domaine de la géométrie…………………………………………………44
1.1. Les différents types de raisonnement mathématique…………………………………….44
1.2. Les étapes possibles d'une démarche d'investigation en mathématique……….44
1.3. Raisonnement géométrique…………………………………………………………………………….45
2. Démonstration géométrique………………………………………………………………………………..…47
2.1. Etapes de la démonstration……………………………………………………………………………..47
2.2. Codage des figures géométriques…………………………………………………………………...49
2.2.1. Exemples de codage d'une figure géométrique…………………….………………49
2.3. Etude d'un exemple………………………………………………………………………………….………51
Etude statistique………………………………………………………………………………………………………………………52
1. Détection des problèmes de l'apprentissage de la géométrie à travers un QCM……52
1.1. Analyse des données…………………………………………………………………………………………58
1.2. Les difficultés remarquables………………………………………………………………………………59
2. Détection des problèmes à partir des productions des élèves…………………………………60
Conclusion……………………………………………..……………………………………………………………………………………64
Biographie……………………………………………………………………………………………………………………………………65
5
Introduction
Comment peut-on améliorer l’apprentissage de la géométrie ?
Dans la pratique enseignante, la géométrie avait un statut très privilégié et un rôle
dominant dans
l’enseignement des mathématiques, selon les tendances pédagogiques de
l’époque, elle était considérée comme une matière mathématiques de premier ordre : le vrai
raisonnement mathématique se trouvait dans les belles démonstrations géométriques qui
étaient déductives et logiques, l’algèbre était un domaine pour tout le monde mais la
géométrie était l affaire des gens brillants en mathématiques.
Cette géométrie était une sorte d’organisation conceptuelle et locale de l’espace, son
enseignement se développait en liaison directe avec l’expérience dans le monde concret, où
l’on ne se préoccupait pas de distinguer les objets mathématiques des autres objets. Il
n’apparaissait pas clairement si les énoncés géométriques (définitions et théorèmes) se
développaient indépendamment du modèle physique ou s’ils décrivaient des objets et des
relations préexistantes à la démarche mathématique.
Les mathématiques et la géométrie, en particulier, sont considérés comme étant d une
importance primordiale, localement inutiles et globalement indispensables.
La géométrie joue à l’égard de la société et de l’industrie, un quintuple rôle : elle est la
science de l’espace, elle est un modèle de précision et d argumentations logique, elle est un
moyen de stimuler par excellence l’esprit de la recherche et de l’intuition, et de développer le
raisonnement, elle est un langage euristique, elle ainsi l’art des transformations.
Au collège marocain, il s’agissait d’un enseignement incapable de développer les
capacités de l’élève à découvrir les mathématiques, car il s’intéressait à la résolution
mécanique des problèmes, sans apporter une vraie compréhension de la notion mathématiques
sous-jacente ni une maitrise valable du raisonnement utilisé.
La partie géométrie du programme était constituée des thèmes de la géométrie,
euclidienne, pythagoricienne et analytique.
Lors de cette recherche, nous allons citer un extrait de l’histoire de la géométrie, pour
mettre en évidence sa naissance et son évolution au cours des siècles.
Ensuite, nous introduisons un exposé rigoureux, des notions de base concernant la
géométrie enseignée au collège.
Finalement, afin d’évaluer la maitrise des concepts géométriques chez les collégiens et
de détecter les difficultés majeures rencontrés au cours de l’apprentissage de la géométrie,
nous effectuerons une brève étude statistique : nous allons demander aux populations
concernées (élèves) de remplir un certain nombre de questionnaires, spécialement élaborés
pour ce projet. En plus, on va consulter un échantillon des productions des élèves aux
contrôles continues.
L’analyse des résultats de cette étude, va nous permettre de proposer certaines solutions
pour les difficultés remarquables.
6
Chapitre I:
Histoire et étymologie
1. Une brève histoire de la géométrie:
Géométrie a commencé par une nécessité pratique pour mesurer des formes. Le mot géométrie signifie
"mesurer la terre» et est la science de la forme et la taille des choses. On croit que première géométrie est
devenu important quand un pharaon égyptien voulait fermiers qui ont soulevé des cultures le long du fleuve du
Nil. Pour calculer le montant exact de la taxe des agents du pharaon devait être capable de mesurer la quantité de
terres cultivées.
1.1. Géométrie egyptienne:
Autour de 2900 avant J.-C., la première pyramide égyptienne a été construite. La connaissance de la
géométrie était essentielle pour construire des pyramides, qui se composaient d'une base carrée et faces
triangulaires.
La première mention d'une formule pour calculer l'aire d'un triangle et l'aire d'un quadrilatère remonte à
2000 ans avant JC, Les formules utilisées étaient empiriques:
Ainsi l'aire d'un quadrilatère de côtés a, b, c, d était donnée par:
Ce dernier résultat n'est en fait qu'une approximation. La formule devient exacte pour un rectangle.
De même l'aire d'un triangle isocèle de côtés a, a, b était donnée par:
Formule qui est fausse dans tous les cas mais devient une assez bonne approximation si le triangle isocèle a un
angle très aigu.
7
Les anciens Egyptiens savaient qu'ils ne pouvaient approcher la surface d'un cercle comme suit:
Problème 50 de la Ahmès papyrus(était un ancien égyptien scribe qui a écrit des Papyrus Rhind Mathematical
, un travail de mathématiques égyptiennes antiques qui remonte à environ 1650 avant JC ) utilise ces méthodes
pour calculer l'aire d'un cercle, selon une règle que la surface est égale au carré de 8/9 du diamètre du
cercle. Cela suppose que π est de 4 × (8/9) ² (ou 3,160493 ...), avec une erreur d'un peu plus 0,63 pour cent. Cette
valeur a été légèrement moins précis que les calculs de la Babyloniens (25/8 = 3,125, 0,53 pour cent au sein),
On a cependant constaté que les Egyptiens connaissaient le volume du tronc de pyramide et la surface de la
sphère
Le seul exemple ancien de trouver le volume d'un tronc d'une pyramide, décrivant la bonne formule:
La surface d'une sphère:
La formule de la surface d'une demi-sphère,
exactement le même résultat.
étant remplacée par le rapport égyptien 256/81, donne
Calcul de la pente d'une pyramide :
La pyramide de Khéops est la pyramide la plus célèbre de toutes et fut construite il y a plus de 4 500 ans.
Elle est la seule des sept merveilles du monde de l'Antiquité à avoir survécu jusqu'à nos jours, et la plus ancienne.
Durant des millénaires, elle fut la construction la plus haute, la plus volumineuse et la plus massive. Ce monument
8
de l'Égypte antique est depuis plus de 4 500 ans scruté et étudié sans relâche. Les exploits atteints en font une
pyramide à part qui ne cesse de captiver l'imagination des êtres humains.
Maintenant quelques données sur la pyramide :



Base de la pyramide : 440 coudées royales, soit environ 230,5 mètres.
Hauteur initiale : 280 coudées royales, soit environ 146,7 mètres. (Mais sa hauteur réelle n'est
aujourd'hui que de 137 mètres)
Périmètre: 922 m
Nous pouvons voir la proportion sacrée apparaitre dans la pyramide de Khéops. C'est le rapport entre
l'apothème (hauteur de pyramide) et le demi-coté. Le rapport de la pente est 280/220 donc 14/11 si on simplifie;
sachant que l'apothème est calculable grâce à Pythagore.
Cette pente est désignée en ancien égyptien par le terme seked. Elle est le résultat de la demi-base divisée
par la hauteur. Elle représente pour le mathématicien moderne la cotangente de l'angle formé par la demi-base
et l'apothème de la pyramide.
Représentation d'une pyramide. Calcul
de la pente b/h
Portes égyptiennes:
Dans l'Égypte ancienne, les portes ont été construites avec ou sans un pylône de chaque cote.
Quelques exemples de différentes périodes
montrent que la conception de portes égyptienne est
conforme à une analyse harmonique. Les relations
entre les ouvertures et les montants de portes ont été
harmonieusement proportionné. La hauteur de
l'ouverture et la hauteur totale, ont également été
conçus harmoniquement.
Points de proportions harmoniques sont intéressants:
1. Le contour général dans le plan vertical est le
double carré, ratio 1:2[H=2B]
2. La largeur d'ouverture est basé sur un carré inscrit
dans un demi-cercle; le type moyen de l'Égypte
ancienne de dosage d'un rectangle root-cinq ans
Ainsi, l'épaisseur de la chambranle est 0,618 la
largeur de l'ouverture
3. La hauteur de l'ouverture (h) = 3.1415 = π
La mise en page typique ancienne porte égyptienne
incorporé deux ratios sacrés Ф et π dans sa
conception harmonique.
9
Les Egyptiens utilisaient plusieurs unités de mesure différentes. Certaines unités de mesure sont les suivants:
Longueur:
Volume et poids:
1 doigt
1.87cm
1 Henou
0.48 L
1 paume ou palme
7.5cm
1 Héqat
4.805 L
1 pied ou coudée sacrée
30cm
1 Ra
0.06 L
1 petite coudée
45cm
1 Double-héqat
9.6 L
1 coudée royale ou Grande coudée
52.3 cm
1 Ipet (quadruple-héqat)
19.22 L
1 khet
52.5 m
1 Khar
76.88 L (16 héqat)
1 Deben
13.6 g
Zone:

Le setat est de 1 carré khet, qui est de 10.000 coudées carrées.
1.2. Géométrie babylonienne:
Les Egyptiens (5000-500 avant J.-C.) et les Babyloniens (4000-500 avant JC) ont développé la géométrie
pratique pour résoudre les problèmes quotidiens, mais il n'y a aucune preuve qu'ils déduisent logiquement des
faits géométriques à partir de principes de base.
C’est la mesure de figures planes. Pour les Babyloniens, ils assimilent π à 3 mais dans une tablette
découverte à Suse, on trouve π= 3(1/8). Ils calculent l’aire d’un triangle et d’un trapèze, le volume d’un prisme
droit et celui d’un cylindre par la formule aire de la base × hauteur.
1.3. Géométrie grecque:
Ce sont les premier Grecs (600 BC-400 AD) qui se sont développé les principes de la géométrie moderne avec
début Thalès de Milet (624-547 avant JC). Thales est crédité de mettre la science de la géométrie de l'Egypte à la
Grèce.
Thales est connu pour avoir calculé la hauteur da la pyramide de Khéops en ravissant le roi d'Egypte par la
manière dont il mesura la hauteur de cette pyramide sans aucun instrument. Il aurait effectué cette mesure par la
comparaison de l'ombre de la pyramide et de celle d'un bâton de longueur connu dressé verticalement au moyen
10
de deux triangles semblables. Il a écrit la preuve que les côtés correspondants des triangles semblables sont en
proportion.
Le prochain grand géomètre grec était Pythagore (569-475 BC). Pythagore est considéré comme le premier
mathématicien pur à déduire logiquement des faits géométriques à partir de principes de base. La contribution la
plus célèbre et utile de ce géomètre était le théorème portant son nom.
La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante: "Dans un triangle rectangle, le carré de
l'hypoténuse (coté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres cotés."
Euclide d'Alexandrie (325-265 avant J.-C.) fut l'un des plus grands de tous les géomètres grecs et est
considéré par beaucoup comme le "père de la géométrie moderne». Euclide est surtout connu pour son 13livre "The Elements" traité. Les éléments est l'un des ouvrages les plus importants de l'histoire et a eu un impact
profond sur le développement de la civilisation occidentale.
Euclide a commencé les éléments avec seulement quelques notions de base, 23 définitions, 5 postulats et 5
notions communes ou axiomes généraux. A partir de ces bases, il a prouvé sa première proposition. Une fois que
la preuve a été établie pour sa première proposition, il pourrait alors être utilisé comme une partie de la preuve
d'une seconde proposition, puis une troisième, et sur cela s'est passé. Ce processus est connu sous le nom de
l'approche axiomatique. Ses éléments est l'un des ouvrages les plus influents dans le histoire des mathématiques ,
de servir comme manuel d'enseignement principale pour les mathématiques (en particulier la géométrie ) à partir
du moment de sa publication jusqu'à la fin du 20e ou 19e au début. Dans les Éléments, Euclide déduit les principes
de ce qu'on appelle maintenant la géométrie euclidienne à partir d'un petit ensemble de axiomes . Euclide a
11
également écrit des œuvres sur la perspective , les sections coniques , les géométrie sphérique , de la théorie des
nombres et la rigueur.
One of the oldest surviving fragments of Euclid's Elements, dated to circa AD 100. The
diagram accompanies Book II, Proposition 5
Archimède de Syracuse (287-212 avant JC) est considéré comme le plus grand des mathématiciens grecs et est
aussi l'inventeur de nombreux appareils mécaniques, y compris la vis, la poulie, et le levier. La vis d'Archimède un dispositif de relevage des eaux à partir d'un faible niveau à un niveau supérieur - est une invention qui est
encore en usage aujourd'hui.
Archimède a inventé, vers 250 avant J-C, une méthode originale pour le calcul de la longueur d'un cercle. Il
encadre en effet cette valeur par le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle, et par le périmètre
d'un polygone régulier exinscrit :
Le périmètre du cercle est compris
entre le périmètre de l'hexagone bleu
et celui de l'hexagone en vert
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Cette méthode préfigure le calcul intégral de Newton et Leibniz, près de 2000 ans avant son invention
effective. En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède parvient à l'excellente approximation :
Détail de la méthode:
On se propose de calculer le périmètre d'un cercle de rayon 1. Pour un polygone régulier à n côtés, l'angle au
centre vaut . Pour le polygone inscrit, on a la figure ci-dessous :
(
Par la formule d'Al-Kashi, on a :
exinscrit, on a la figure suivante:
( ). On en déduit que :
On a donc:
Il reste à calculer
( ))
( ) et
(
)
( ) soit
( )
( ) . Pour le polygone
( )
( ). On peut le faire, par exemple si n=2k6, en utilisant les formules:
(
)
(
) et
(
)
(
)
La spirale d'Archimède:
Il montre que son aire vaut le tiers du cercle qui la contient et utilise sa tangente pour proposer une
rectification du cercle (trouver un segment dont la longueur est égale à la circonférence d'un cercle donné).
Spirale et cercle - rapport
de surface : 1/3
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La spirale d'Archimède est la courbe d'équation polaire suivante:
. C'est la courbe décrite par un
point en déplacement uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour d'un point. Le sillon des
disques vinyles est une spirale d'Archimède.
La spirale dessinée ci-dessous est une spirale définie pour des angles positifs. La spirale d'équation r = − t / π
définie pour des angles négatifs serait l'image de la précédente par une symétrie d'axe (Ox). Elle aurait la même
forme mais tournerait dans le sens contraire.
La courbe d'équation polaire:
ayant subi une rotation d'angle –b/a.
est aussi une spirale d'Archimède. C'est la spirale précédente
La spirale est introduite par Archimède de la manière suivante : "Quand une droite tourne uniformément
dans un plan, l'une de ses extrémités restant fixe et qu'elle revient à sa position initiale et, que, simultanément,
sur cette droite portée circulairement, un point se déplace uniformément en partant du point resté fixe, le point
décrira une spirale dans le plan" (Voir la figure ci-dessous).
La droite AH tourne uniformément autour du point A qui reste fixe.
Pendant ce temps, un point se déplace uniformément sur la droite AH. Le point H
correspond à la position après un tour complet. Le point mobile a décrit la portion de
spirale ABCDEH. Le cercle HGK s'appelle le premier cercle. Puisque les vitesses sont
uniformes, si on mène des droites, à partir de A vers la spirale, faisant entre elles des
angles égaux, leurs longueurs sont en progression arithmétique. Plus généralement,
si deux droites quelconques ADG et AEF sont menées à partir de A vers la spirale et
prolongées jusqu'au premier cercle, le rapport des droites AE : AD est le même que
celui des arcs parcourus, HKF : HKG
Le Syracusain va alors appliquer la théorie des proportions du Livre V des Éléments, non seulement à des
lignes mais aussi aux durées de parcours, ce qui lui permettra de comparer deux mouvements d'espèces
différentes et donc d'exprimer les rapports entre certains arcs de cercle associés à la spirale et certains segments
de droites.
Il a introduit la tangente à la spirale (HF sur la figure ci-dessous), au point H, correspondant à la première
révolution et lui associe une autre droite, AF, appelée ultérieurement sous-normale. Coup de théâtre : Archimède
démontre que cette droite AF est égale à la circonférence du premier cercle GHK ! La spirale permet de rectifier le
cercle et donc d'en faire la quadrature.
14
Rectification du cercle:
La rectification du cercle est un problème analogue à sa quadrature. Chercher la quadrature du cercle, c'est
chercher le carré qui a la même aire qu'un cercle donné. Chercher la rectification du cercle c'est chercher un
segment de droite qui a même longueur que le périmètre du cercle. Dans l'un des cas (la quadrature) il s'agit de
représenter √π par une longueur, dans l'autre cas (la rectification), il s'agit de représenter π par une longueur. La
spirale d'Archimède permet de réaliser la seconde construction.
On utilise la propriété de la tangente à la spirale au point M associé à l'angle θ. On peut démontrer que l'angle
α que fait cette tangente avec la droite (OM) n'est pas constant, comme c'est le cas dans une spirale
logarithmique, mais varie en fonction de θ selon la loi suivante : tan(α)=θ
Il suffit alors de tracer la tangente à la spirale au point M associé à π. Elle rencontre la droite (Oy) en P. On
obtient alors le rapport π
Rectification du cercle par la
méthode de la tangente
Archimède démontra également que la surface latérale du cylindre, dont le disque de base a pour rayon R et
dont la hauteur est 2R, a même mesure que la surface de la sphère soit 4 π R2.
Voici comment il effectua son calcul: Sur le schéma ci-dessous, une coupe de la sphère passant par le centre. Il
considère que le segment [BC] et par suite l'arc AB sont extrêmement petits (aujourd'hui, nous dirions infiniment
petits) ; si petits qu'il confond le segment [AB] avec l'arc AB.
L'aire latérale du cylindre contenant la sphère s'obtient en multipliant le périmètre du cercle de base par la
hauteur de la sphère (c'est-à-dire son diamètre) c'est 2 π R x 2R = 4 π R2.
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La surface de la sphère s'obtient en sommant les aires des petits rubans circulaires de longueur 2 π r et
d'épaisseur le petit arc AB que nous confondons avec le segment [AB].
donc en sommant
Or
π
cos θ = r / R
π
cos θ = BC / AB
mais aussi
(Les deux angles en B et en O sont égaux, car leurs côtés sont perpendiculaires deux à deux).
On a donc
On déduit
Finalement
π
r x AB = R x BC
π
π
Aujourd'hui nous utilisons le calcul intégral, par exemple :
l'arc AB est
, et r = R cosθ donc
π
.
et l'on obtient :
∫
Archimède avait observé que toute sphère vaut 4 cônes ayant pour base son grand cercle et pour hauteur son
rayon. Il lui est donc venu l'idée que toute sphère vaut quatre grands cercles de la sphère donc 4 π R2. Il montra
ainsi que "Toute sphère a un volume égal à celui d'un cône ayant pour base la surface de la sphère et pour hauteur
le rayon." donc 4/3 π R3.
En fait Archimède utilisait des procédés précurseurs de notre calcul intégral actuel. Il montra aussi que le volume
de la sphère remplit les deux-tiers du cylindre circonscrit.
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1.4. Géométrie arabo-musulmane:
Les Arabo-musulmans ont excellé dans la géométrie, à commencer par la transition d'Euclide et de section
conique Apollonius et ils ont conservé les véritables œuvres de ces deux maîtres grecs pour le monde moderne,
par le 9ème siècle après JC. et puis a commencé à faire de nouvelles découvertes dans ce domaine et apporter
une grande contribution à la géométrie.
Abu l-Wafa (939-998) était un astronome et mathématicien persan principalement connu pour ses apports en
trigonométrie plane et en trigonométrie sphérique. Il corrigea et compléta les tables trigonométriques de ses
prédécesseurs notamment sur la tangente. On lui doit la notion de cercle trigonométrique, celles de sécante et
cosécante. On lui attribue aussi la formule des sinus en trigonométrie sphérique.
Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ, la loi des sinus s'écrit:
Où VOABC est le volume du tétraèdre OABC.
Triangle sphérique : dimensions
réduites a, b et c ; angles α, β et γ.
Dans son livre Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction, il développe des constructions
approchées à la règle et au compas de polygones réguliers à cinq, sept ou neuf côtés. Il s'intéresse en particulier
aux constructions réalisables avec un compas d'écartement constant. Il propose une construction de la parabole.
Il propose des constructions mécaniques de trisections d'angles et de duplication du cube. Il s'intéresse au
problème de la division d'un carré en somme de plusieurs carrés et propose une première solution à la trisection
du carré. Également démonstration du théorème de Pythagore, il utilisera cette preuve par dissection pour
expliquer le théorème de Pythagore aux artisans.
Triangle équilatéral inscrit dans un carré:
Il est connu pour une solution par construction géométrique du problème suivant: Soit ABCD un carré de
centre O et avec un point quelconque E sur le segment BC et F le point symétrique à E par rapport à la droite (AC).
La question est : le triangle AEF peut-il être équilatéral ?
17
Pour résoudre ce problème, il faut d'abord prouver que F est sur le segment CD. La solution proposée
par Abu l-Wafa est la suivante:
1.
2.
3.
4.
Construire le cercle circonscrit à ABCD.
Construire un second cercle, de centre C et passant par O.
Dénoter les deux points auxquels ces cercles se coupent en U et V.
On peut alors prouver que les droites (AU) et (AV) coupent le carré en deux points qui sont
les points E et F recherchés.
Construction approchée:
Construction exacte:
1. Construire le cercle (c2) de centre O2, circonscrit à
1. Construire le cercle (c2) de centre O2, circonscrit à
OPCQ.
OPCQ.
2. Construire un second cercle (c1) de centre O
2. Construire un second cercle (c1) de centre O passant
passant par O2.
par O2.
3. Nommer A et B les deux points d'intersection de
3. Nommer I et J les points d'intersection du cercle (c1)
ces cercles (le triangle ABC est équilatéral comme
avec les côtés [OP] et [OQ] du carré.
le montre la figure cercles et triangle équilatéral).
4. On peut alors prouver que les droites (CA) et (CB)
Le triangle CIJ n'est pas équilatéral, mais semble être
coupent les arêtes du carré en deux points qui sont
un tracé acceptable. Le comparer au triangle
les points I et J recherchés.
équilatéral ABC.
Multiplication par 3 de l'aire d'un carré : construction
d'Abu l-Wafa.
Le triangle CIJ est équilatéral, comme triangle isocèle
ayant un angle ICJ de 60°.
18
Omar Khayyâm (1048-1131) était célèbre pendant son temps comme un mathématicien. Il a eu des œuvres
remarquables dans la géométrie, En 1077, Khayyâm écrit "Shah ma ashkala min musadarat kitab Uqlidis"
(Explications des difficultés dans les postulats d'Euclide); une partie importante du livre est concernée avec
fameux parallèle le postulat d'Euclide.
Khayyâm a dit:" Celui qui pense que l'algèbre est un truc dans l'obtention des inconnues a pensé en vain.
Aucune attention devrait être accordée au fait que l'algèbre et la géométrie sont différents en apparence.
Algèbres sont des faits géométriques qui sont prouvés par des propositions de cinq et six du deuxième livre de
(Eléments)". Ce point de vue philosophique des mathématiques a eu un impact significatif sur l'approche célèbre
de Khayyâm et la méthode de l'algèbre géométrique et en particulier dans la résolution des équations cubiques.
Dans que sa solution n'est pas un chemin direct vers une solution numérique et en fait ses solutions ne sont pas
des numéros, mais plutôt de segments de ligne. En ce qui concerne les travaux de ce géomètre peut être
considéré comme la première étude systématique et la première méthode exacte de résolution des équations
cubiques.
"Équation cubique et l'intersection de
sections coniques" la première page du
manuscrit conservé dans l'université de
Téhéran
Solution géométrique Omar Khayyâm à des
équations cubiques.
Un autre géomètre musulman remarquable était Al Kashi (1380-1430), surnommé Ghyath al dine (l’Auxiliaire
de la Foi) doit son nom à sa ville natale, Kashan en Iran.
Il donna des tables trigonométriques et proposa des valeurs à quatre chiffres (en notation sexagésimale) de la
fonction sinus. Il trouve aussi une correspondance entre différents systèmes de coordonnées sur la sphère céleste
comme la transformation des coordonnées écliptiques en coordonnées équatoriales. Al Kashi donne également
des tables des éclipses et des tables de visibilité de la lune. Ses nombreux travaux en astronomie lui vaudront
d'être surnommé plus tard le deuxième Ptolémée.
19
Dans son Traité sur le cercle (juillet 1424), al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour
obtenir une valeur approchée de 2 avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60
soit 16 décimales exactes :
. Il faudra attendre la fin du XVIème siècle avant que
Ludolph van Ceulen (1540-1610) améliore la précision de ce résultat avec 20 décimales pour .
Il laisse par ailleurs son nom à un théorème qui généralise le théorème de Pythagore pour un triangle
quelconque et qui s'exprime aujourd'hui de la façon suivante :
"Dans un triangle ABC de côtés de longueurs a, b, c on a:
"
Tout comme le théorème de Pythagore, le théorème d'Al-Kashi possède de nombreuses démonstrations,
certaines utilisant des propriétés sur les aires comme celles d'Euclide ou d'Al-Kashi, d'autres utilisant des
propriétés trigonométriques ou liées au cercle. Enfin, le théorème d'Al-Kashi peut être vu comme une application
des propriétés sur le produit scalaire.
La démonstration d'Euclide par la proposition 12 (angle obtus) et 13 (angle aigu) s'appuie sur le théorème de
Pythagore et fait intervenir le point H pied de la hauteur issue de B. Pour Euclide cette propriété est une propriété
sur des aires. Pour l'angle obtus (proposition 12), Euclide remarque que
Il lui suffit alors d'ajouter l'aire du carré de côté HB
20
et d'utiliser le théorème de Pythagore
Une démonstration analogue est réalisable pour l'angle aigu.
Démonstration du théorème d'Al-Kashi pour
un angle obtus : « selon Euclide ».
Démonstration d'Al-Kashi:
Dans son livre Clé de l'arithmétique en 1429, Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore et introduit dans
l'égalité la trigonométrie. Pour lui aussi, cette propriété est liée aux aires. Ainsi dans un triangle aigu ABC, il mène
par A et par B les hauteurs du triangle qui découpent dans les carrés s'appuyant sur CB et CA des rectangles. La
somme des aires des rectangles de diagonales BF et AG correspond à l'aire du carré sous AB et les rectangles de
diagonales CF et CG ont une même aire égale à CB × CA × cos(C) Ce qui donne effectivement
Démonstration du théorème d'Al-Kashi pour
un triangle acutangle : « selon Al-Kashi ».
Le dernier ouvrage d'al Kashi, Traité sur la corde et le sinus, achevé après sa mort par Qadi Zada al Rumi
(1364 ; 1436) présente en particulier le calcul de sin(1°) avec une grande précision pour en déduire le reste de la
21
table à l'aide de relations connues. On y trouve aussi une étude par une méthode itérative d'une équation du
troisième degré liée à la trisection de l'angle.
1.5. Géométrie moderne:
Il y avait aucune évolution majeure de la géométrie jusqu'à l'apparition de René Descartes (1596-1650). Dans
son discours célèbre traité sur la méthode pour bien conduire sa raison dans la recherche de la vérité dans les
sciences, Descartes combinée algèbre et la géométrie pour créer la géométrie analytique. La géométrie
analytique, également connu sous le nom géométrie des coordonnées, consiste à placer une figure géométrique
dans un système de coordonnées pour illustrer les preuves et d'obtenir des informations en utilisant des
équations algébriques.
Le développement prochain grand en géométrie est venu avec le développement de la géométrie noneuclidienne. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) qui, avec Archimède et Newton est considéré comme l'un des trois
plus grands mathématiciens de tous les temps, inventé la géométrie non euclidienne avant le travail indépendant
de Janos Bolyai (1802-1860) et Nikolaï Lobatchevski (1792-1856). Géométrie non-euclidienne se réfère
généralement à toute la géométrie ne se fonde pas sur les postulats d'Euclide, y compris des géométries pour
lesquelles le postulat des parallèles n'est pas satisfaite. Géométrie non-euclidienne constitue le fondement
mathématique pour la théorie d'Einstein de la relativité.
2. Etymologie:
Abscisse: Du latin abscissa ; abscissa linea "ligne coupée". Ce mot a été introduit par G.W. Leibniz (1646-1716)
Angle: Ce mot est issu (v. 1170) du latin angulus "coin", puis "angle", sans doute apparenté au mot grec ankon, "coude".
Axiome: C'est un emprunt de la renaissance (1547) au latin axioma, grec axiôma = j'estime, je crois vrai : conduisant au
sens d'irréfutable, d'évident.
Coniques (Paraboles, Hyperboles, ellipses): Apollonius (2e-3e siècle av.J.-C.) est l'inventeur des noms de coniques. Pour
des raisons mathématiques, il a créé les mots hyperbole (qui vient de excès : hyper, "quelque chose en plus"), ellipse (qui
vient de manque, "quelque chose en moins") et parabole, (de para, "le même, "juste ce qu'il faut").
Fonction: Si le mot est emprunté sous la forme simplifié funcion (1370) au latin functio "accomplissement, éxécution" en
français courant, Descartes (1597-1650) l'utilise en mathématique pour désigner une expression algébrique correspondant à
un graphique. Au 18ème siècle Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait
une fonction.
on peut lire que c'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot pour la première fois en mathématiques en 1673, que la
première définition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705) et que le symbole f(.) a été introduit par Euler en 1734.
Géométrie: Le mot géométrie signifie "mesure de la terre". Il a d'abord désigné l'arpentage avant d'être rattaché à la science
mathématique (v.13ème-14ème). Le mot est utilisé encore au 17ème au sens de mathématiques (attesté en 1655 mais
antérieur).
Isocèle (triangle): Un triangle isocèle est un triangle qui a deux jambes pareilles ! iso : même, skelos : jambes ;
Mathématiques: Le mot mathématique a pour origine le nom d'une catégorie d'élèves de l'école pythagoricienne.
Au début du 5ème siècle, Pythagore délivrait son enseignement aux membres de sa fraternité. Les membres étaient repartis
en deux groupes.
22
Il y avait :

les "acousmaticiens", ou akoustiskoï (de akousmata, les choses entendues) à qui l'on transmettait les résultats mais
pas les démonstrations,

et les "mathématiciens", ou mathematikoï (de mathema, la science, c'est à dire chez les grecs, toute la connaissance) à
qui l'on transmettait les résultats et les démonstrations.
Postulat: Du latin postulare = demander : que l'on demande au lecteur d'accepter.
Sinus: Le sinus est la demi-corde. Sinus, de "jiva" en sanscrit "corde d’arc" Donna "jiba" en arabe "poche, repli de
vêtement" En latin "sinus=sein" Sinus, cosinus et tangente reçoivent leurs noms actuels à la fin du moyen Age.
Tangente: Le mot tangente vient du latin tangere (toucher) utilisé à la fin du moyen âge.
Vecteur: Sir W.R.Hamilton (1805-1865) fut le premier à employer le terme vecteur.
23
Chapitre II:
La géométrie euclidienne
Euclide (~ 325 à ~ 265 BC) est appelé le Père de la géométrie, non pas parce qu'il l'a inventé, mais parce que
son livre "Elements" est le plus ancien texte de la géométrie que nous avons dans le monde d'aujourd'hui.
Euclide cru chaque partie de la géométrie doit être fondée sur des pièces précédemment éprouvées.
Cependant, quelque chose doit être le point de départ, et il a proposé quatre termes non définis et cinq axiomes
de base. Le reste de la géométrie euclidienne est fondée sur ces blocs de construction de base.
Le cinquième postulat, appelé le postulat des parallèles, a été très controversée. Plus complexe que les
quatre autres, les mathématiciens ont tenté de le prouver en utilisant les autres postulats.
1. Des définitions d'Euclide:
.
1.
Un point est celui qui n'a pas de partie
2.
Une ligne est une longueur sans largeur.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Les extrémités d'une ligne sont des points.
Une ligne droite est une ligne qui se trouve régulièrement avec les points sur lui-même.
Une surface est ce qui a la longueur et la largeur seulement.
Les extrémités de la surface sont des lignes.
La surface plane est celle qui est également placée entre ses droites.
Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point
placées dans la même direction.
9.
Lorsque les lignes contenant l'angle sont droites, l'angle est appelé rectiligne.
•
24
10. Lorsqu'une ligne droite mis en place sur une ligne droite fait des angles adjacents égaux les uns aux autres,
chacun des angles égaux est droit, et la ligne droite debout sur l'autre est appelé un perpendiculaire à celle
sur laquelle il se trouve.
11. Un angle obtus est un angle supérieur à un angle droit.
12. Un angle aigu est un angle inférieur à un angle droit.
13. On appelle limite ce qui est l'extrémité de quelque chose.
14. Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs limites.
15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence; toutes les droites,
menées à la circonférence d'un des points placée à l'interieur de cette figure, étant égales entre elles.
25
16. Ce point est appelé le centre du cercle.
17. Le diamètre du cercle est une droite menée par le centre, et terminée de part et d'autre par la circonférence
du cercle : le diamètre partage le cercle en deux parties égales.
18. Un demi-cercle est la figure comprise par le diamètre, et la portion de la circonférence, soutendue par le
diamètre.
19. Les figures rectilignes sont celles qui sont terminées par des droites : les figures trilatères sont terminées par
trois droites, les quadrilatères par quatre, et les multilatères par plus de quatre.
26
20. Parmi les figures trilatères, un triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux, un triangle isocèle,
celle qui a seulement deux côtés égaux, et un triangle scalène, celle qui a ses trois côtés inégaux.
21. De plus, parmi les figures trilatères, un triangle rectangle est celui qui a un angle droit, un triangle
obtusangle, celui qui a un angle obtus, un triangle acutangle, celui qui a ses trois angles aigus
.
22. Parmi les figures quadrilatères, un carré est celle qui est à la fois équilatéral et rectangle; oblongue ce qui est
à angle droit, mais pas équilatéral; un losange ce qui est équilatéral, mais pas à angle droit, et un rhomboïde
celle qui a ses côtés opposés et des angles égaux les uns aux autres mais ce n'est pas équilatéral, ni à angle
droit. Et laissez-quadrilatères autres que ceux-ci soient appelés trapèzes.
27
23. Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan et étant prolongées à l'infini de part et
d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.
(AB) // (CD).
2.
Les postulats d'Euclide:
Le postulat signifie une déclaration qui est acceptée sans preuve spécifique à l'objet, dans ce cas la géométrie
plane, la plupart d'entre eux sont des constructions. Ce sont les suppositions de base de la géométrie. Ils reflètent
son caractère constructif; c'est à dire qu'ils sont des affirmations au sujet de ce qui existe dans la géométrie.
Voici les postulats qui sont déclarés dans les éléments d'Euclide et un retraitement dans un langage plus
simple:
1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B;
Euclide écrit : Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B;
Euclide écrit : Prolonger indéfiniment, une droite finie selon sa direction
par droite finie, Euclide entend un segment et compte tenu du premier postulat, la droite obtenue est
unique.
3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant par B;
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux;
5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite.
Compatibilité et indépendance des postulats:
28
Il n'est évidemment pas toujours possible de construire une géométrie en établissant, entre les points, les
droites et les plans, un certain nombre de relations choisies arbitrairement comme postulats. Il faut que ces
postulats soient compatibles, c'est-à-dire que le développement logique de cette géométrie ne conduise pas à des
contradictions.
Après avoir énuméré les postulats de la géométrie euclidienne, Hilbert a pris soin de démontrer qu'ils sont
compatibles. Dans ce but, il a construit une géométrie analytique où tous ces postulats sont vérifiés.
Dans autre coté, après avoir établi que les postulats d'une géométrie sont compatibles, il faut encore établir
qu'ils sont indépendants, c'est-à-dire qu'aucun d'eux ne peut se déduire des autres. Pour atteindre ce but, on
construit des géométries où tous les postulats sont vérifiés, sauf l'un d'eux. C'est ainsi que pour démontrer par
exemple que le postulat d'Archimède n'est pas une conséquence des postulats précédents, Hilbert a construit
une géométrie non archimédienne, où ce dernier postulat n'est pas vérifié. Il avait d'ailleurs été précédé dans
cette voie par Véronèse (1854-1917).
Il peut cependant exister une certaine dépendance entre les postulats d'une géométrie, en ce sens que
certains d'entre eux ne peuvent être modifiés sans que d'autres le soient nécessairement. Ainsi, on ne peut nier le
postulat d'Euclide en admettant qu'il n'existe pas de parallèles, sans laisser tomber le postulat sur la possibilité de
prolonger indéfiniment une droite.
3. Les axiomes d'Euclide:
Un axiome est un postulat, Mais il est de nature plus évidente. Quiconque doit, s'il en comprend l'énoncé,
l'admettre sans discuter : c'est un truisme.
L'axiome peut prendre l'aspect d'une définition : voilà un objet, il est ainsi défini, c'est comme cela et pas
autrement et on ne discute pas. L'axiomatisation des mathématiques prend naissance avec Hilbert en algèbre et
géométrie, Kolmogorov en probabilités, Cantor en théorie des ensembles.
1. Des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.
si x, y et z sont des nombres tels que x = z et y = z, alors
x = y.
2. Si l'on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs égales, les touts demeurent égaux.
Si x, y et z sont des nombres tels que x = y, alors
x + z = y + z.
3. Si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes demeurent égaux.
Si x, y et z sont des nombres tels que x = y, alors x – z = y –
z.
4. Si l'on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs inégales, les touts demeurent inégaux.
29
Si x, y et z sont des nombres tels que x est différent de y, alors les sommes x + z et y + z sont
différentes.
5. Si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs inégales, les restes demeurent inégaux.
Si x, y et z sont des nombres tels que x est différent de y, alors les différences x – z et y – z sont
différentes.
6. Des grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles.
Si x et y sont des nombres tels que x = y, alors 2x = 2y.
7. Des grandeurs qui sont les moitiés d'une même grandeur sont égales entre elles.
Si x et y sont des nombres tels que x = y, alors
x/2 = y/2.
8. Des grandeurs qui s'adaptent entre elles sont égales entre elles.
Pour tout x, x = x (réflexivité).
9. Le tout est plus grand que la partie.
Si A est inclus dans B alors il existe C tel que A union C égal à B (relation d'ordre).
30
Chapitre III:
Construction des figures géométriques
Dans l'antiquité, des constructions géométriques de figures et de longueurs ont été limités à l'utilisation
seulement d'une règle et d'un compas (ou en cas de Platon, un compas seulement; maintenant une technique
appelée la construction Mascheroni). En outre, le compas ne pouvait même pas être utilisé pour marquer les
distances en le définissant, puis« marcher »le long il, de sorte que le compas devait être considéré
automatiquement s'effondrer quand il n'est pas dans le processus de dessiner un cercle .
1. Les utilisations théoriques des instruments:
La règle sert à :
 tracer un trait rectiligne (entre deux points, pour prolonger un trait, pour en tracer un
nouveau) en posant la règle sur la feuille, ou le long d’un trait, ou par plusieurs points, ou sur
une équerre ;
 à vérifier l’alignement de points ;
 si elle est graduée, à mesurer une longueur ou à reporter une longueur d’une droite à une
autre droite.
L’équerre sert à :
 tracer un angle droit, avec une technique différente suivant que le sommet de l’angle droit et
connu ou non ;
 tracer des parallèles par glissement le long d’une règle ;
 vérifier la perpendicularité de deux droites.
Le compas sert à :
 tracer un cercle ou un arc de cercle ;
 reporter une longueur d’une droite sur une autre (comme une « bande de papier »);
 comparer des longueurs.
Le rapporteur sert à:
 tracer un angle, avec pour certains modèles, une technique différente suivant que le sens de
rotation pour passer d’un coté à l’autre ;
 mesurer un angle, avec les mêmes contraintes techniques.
2. Quelques constructions géométriques simples:
Plusieurs constructions géométriques se sont tenues à Euclide (Éléments), ces constructions sont parfois
également connues en tant que constructions euclidiennes. De telles constructions sont au cœur des problèmes
géométriques de l'antiquité de la quadrature cercle, cube duplication, et trisection angle.
2.1. Construction de la bissectrice d'un angle:
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet et qui partage l'angle en deux angles de même
mesure.
On souhaite construire la bissectrice d'un angle
̂ :
1. On trace un cercle de centre A et de rayon quelconque
Le cercle C coupe la demi-droite [AB) en I et la demi-droite [AC) en J
2. On trace le cercle C1 de centre I et de rayon IJ, et le cercle C2 de centre J et de rayon IJ.
Les cercles C1 et C2 se coupent en R.
31
3. La droite (AR) est la bissectrice de l'angle.
2.2. Construction de la médiatrice:
Un des plus simples constructions géométriques est la construction d'une médiane d'un segment de ligne.
C'est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
On construit la médiatrice du segment [AB]:
1. On trace le cercle de centre A et de rayon AB.
2. On trace le cercle de centre B et de rayon AB.
3. Les cercles se coupent en I et J.
La droite (IJ) est la médiatrice du segment [AB].
2.3. Construction d'un triangle isocèle:
1.
2.
3.
4.
5.
On trace le segment [BC]
On trace le cercle C1 de centre B et de rayon quelconque
On trace le cercle C2 de centre C et de même rayon que C1
Les deux cercles se coupent en A.
On trace les segments AC et AB pour obtenir le triangle.
32
3. Construction géométrique des polygones:
Les Grecs étaient très habiles à construire des polygones , mais il a fallu la génie de Gauss pour déterminer
mathématiquement les constructions qui sont possibles et qui ne le sont pas. Gauss (1796) a montré que les
polygones constructibles (dont plusieurs sont illustrés ci-dessus) ont été étroitement liée à des numéros appelés
nombres premiers de Fermat.
Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c’est savoir construire le point de coordonnées
. Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa
longueur sur le cercle unité.
Les éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés. Ils
expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone.
Théorème de Gauss:
Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible à la règle et au
compas si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.
Démonstration:
Le théorème de Bézout permet de dire que, si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u
et v tels que um + vn = 1.
Multipliant cette expression par
il vient
On obtient l’angle
sait construire.
, sur le cercle unité, en reportant u fois l’angle
et v fois l’angle
,angles que l'on
3.1. Construction d'un triangle équilatéral:
C'est la construction de la proposition 1 du premier livre d'Euclide (Alexandrie 300 avant Jésus-Christ):
1.
2.
3.
4.
Placer A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A,
construire C, un des points d'intersection des deux cercles,
terminer en traçant les segments [BC] et [AC].
3.2. Construction d'un carré:
33
Tracer deux points A et C, le segment [AC] et le cercle (c1) de diamètre [AC]. La règle et le compas
permettent de construire une médiatrice en traçant les cercles de centre A passant par C et de centre C passant
par A qui se coupent en E et F. (EF) est la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c1) en B et D. ABCD est un carré.
3.3. Construction d'un pentagone:
Pour le pentagone, on a à:
 Soit le cercle de centre O et de rayon OP1.
 Tracer [OB] le rayon perpendiculaire à [OP1].
 trouver le point médian de la [OB] et l'appeler D.
 Dessiner [DP1] et bissectrice de l'angle ̂ , Appelons N2 le point d'intersection avec ( OP1).
 Dessiner [N2P2] parallèlement à [OB], et les deux premiers points de la pentagone sont P1 et P2.
 Ecarter le compas de P1P2 et dessiner le cercle de centre P2 et de rayon P1P2. Les deux cercles se
coupent en P1 et P3.
 Dessiner P4 et P5 de la même manière pour obtenir le pentagone.
3.4. Construction d'un hexagone:
Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une
ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus.
34
3.5. Construction d'un pentadécagone:
Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :
3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par
la relation de Bézout 2 × 3 - 5 = 1, on obtient l'égalité
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
, le point B tel que
est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.
3.6. Construction d'un heptadécagone:
Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AC] et [BD]
perpendiculaires.
1.
Soit E le point de [OB] tel que
.
2.
3.
4.
5.
6.
̂ )
La droite (EF) est la bissectrice de OÊA et la droite (EG) est la bissectrice de OÊF ( ̂
(HE) est la perpendiculaire en E à (EG), La droite (EI) est la bissectrice de H ÊG.
Le cercle de diamètre [IA], centré en J, rencontre [OB] en K.
Le cercle de centre G, passant par K coupe [AC] en L et M (presque confondu avec J).
Les parallèles à (BO) passant L et M coupent le cercle (c) en A5, A12, A3, A14, points de l'heptadécagone.
35
7.
La médiatrice de [A3 A5] coupe le cercle en A4. [A3 A4] et [A4 A5] sont deux côtés de l'heptadécagone.
36
Chapitre IV:
Espace physique et espace géométrique
Bien des difficultés d’apprentissage semblent provenir d’une confusion entre les savoirs issus de l’expérience
directe avec le monde réel et les savoirs géométriques qui sont théoriques.
Pourtant, les premiers apprentissages spatiaux sont d’une grande importance pour les apprentissages
géométriques.
1.
L’espace physique:
1.1. Espace physique ou espaces physiques?
Guy Brousseau (docteur d'état en didactique des mathématiques-France) considère que la taille de l’espace
est une variable didactique (le rapport à l’espace, les outils mis en œuvre, etc. diffèrent suivant la taille de
l’espace) ; il distingue trois valeurs :
le micro espace est l’espace des petits objets que l'on peut déplacer, manipuler ;
le méso espace est l'espace des objets dont la taille est comprise entre 0,5 et 50 fois la taille de l'enfant ;
le macro espace est l’espace des objets dont le sujet ne peut en avoir que des visions partielles, la vision
globale est une construction intellectuelle.
1.2. Les relations du sujet à l’espace physique:
Brousseau souligne que le curriculum (programme d'études) est limité au seul micro espace. Il considère que
cela contribue à la rupture entre la géométrie d’observation et la géométrie de raisonnement et que de poser des
problèmes de relation entre les différents espaces permet de construire des outils, donc des savoirs,
géométriques.
Exemple : le théorème de Thalès pour mesurer l’inaccessible.
1.3. La géométrie naturelle:
Kuzniak (2004) définit la « géométrie naturelle » pour la confusion qu’elle entretient entre le modèle et la
réalité.
L’horizon de la géométrie naturelle est technologique : il s’agit d’apporter des réponses utiles concrètement
à des problèmes concrets.
37
Les dessins sur lesquels s’appuie la géométrie naturelle représentent le réel, mais ils sont eux-mêmes des
objets de l’espace physique.
Les outils mobilisés pour résoudre les problèmes sont à la fois :
des faits tirés de l’expérience concrète sur l’espace physique, par exemple des mesures prises sur les
objets ou les dessins ;
des savoirs géométriques élaborés théoriquement, mais qui sont retenus pour leur validité dans l’espace
physique et donc perçus comme des « régularités » de l’espace physique.
Exemple : le théorème de Pythagore perçu comme à l’époque des Babyloniens.
Voici le plan d’une fenêtre dont le haut arrondi est un arc de cercle (figure de gauche).
Le propriétaire de la maison engage un maçon pour élargir la fenêtre, il voudrait conserver l’arc et obtenir
une fenêtre comme le montre le plan (figure de droite).
Le maçon arrive avec son apprenti qui lui demande comment il va s’y prendre pour prolonger l’arc de cercle.
Les carreaux de la fenêtre sont des carrés de 27 cm de côté. L’apprenti a découpé une plaque de verre, il a
mesuré les quatre côtés du quadrilatère obtenu, il obtient bien 27 cm pour chaque côté et annonce a son patron
que le morceau de verre convient.
Le patron n’est pas satisfait, il demande à l’apprenti de mesurer une diagonale pour savoir si le morceau
découpé est bien un carré. L’apprenti mesure une diagonale, il obtient 382 mm, mais il ne sait pas s’il peut
proposer cette découpe à son patron.
2.
Distinction espace physique et espace géométrique:
2.1. Géométrie naturelle et géométrie axiomatique:
Les procédures «pratiques» ne sont pas les procédures «géométriques».
Colette Laborde (1990) indique que l’enseignement doit permettre à l’élève de distinguer l’espace physique
de l’espace géométrique car c’est seulement à partir de cette distinction que l’élève pourra comprendre les
questions qui sont posées en géométrie et les réponses qui peuvent être apportées.
Dans la pratique, ce qui compte, c’est que le prolongement de l’arc de cercle soit suffisamment précis pour
les besoins auxquels il doit répondre, alors qu’en géométrie c’est la manière de s’y prendre dans une situation
abstraite de la réalité qui est importante.
38
Voici la solution « géométrique » du prolongement de l’arc de cercle: on trace deux médiatrices pour
déterminer le centre puis on trace le cercle.
2.2. Géométrie axiomatique « naturelle » vs « formelle »:
On propose à un élève une figure représentant un parallélogramme ABCD et un rectangle CDEF.
On demande si les deux droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.
En géométrie «naturelle», la perpendicularité
se vérifie à l’aide de l’équerre.
Ce n’est pas ce qui est demandé à l’élève : il
doit raisonner sur le parallélisme et la
perpendicularité des droites de la figure.
Alain Kuzniak (2004) désigne par « géométrie axiomatique naturelle » cette géométrie où la source de la
validation des résultats se fonde sur les lois hypothético-déductives dans un système axiomatique qui n’est pas
formel car les axiomes comme la syntaxe renvoient à la réalité, ils ne sont pas explicités.
Il désigne par « géométrie axiomatique formelle » une géométrie où la source de la validation des résultats
se fonde aussi sur les lois hypothético-déductives, mais où le système axiomatique est explicité de manière
purement formelle.
Cette géométrie est enseignée seulement à l’université, mais à haut niveau et très rarement, si bien que c’est
généralement seulement en géométrie axiomatique naturelle que travaillent les élèves et leurs professeurs.
2.3. Contradiction géométrie naturelle géométrie axiomatique:
Pour savoir si le carreau convient à son patron, l’apprenti compare la longueur théorique des diagonales d’un
carré de côté 27 avec la longueur de la diagonale du carreau qu’il a mesurée.
La longueur théorique est :
39
√
√
La valeur mesurée par l’apprenti est 382mm donc 38,2cm. Il pourra conclure que son carreau est carré.
On perçoit ici la différence profonde entre la géométrie naturelle et une géométrie axiomatique :
L’élève de collège à qui l’on demande si un losange de côté 27cm dont une diagonale mesure 38,2cm est un
carré devra répondre par la négative car le nombre 38,2 n’est pas égal au nombre √
.
3.
Les représentations graphiques en géométrie:
Les fonctions des représentations graphiques sont différentes en géométrie naturelle et en géométrie
axiomatique.
En géométrie naturelle, la représentation est l’objet sur lequel on travaille et duquel on tire les informations
pertinentes pour ce travail. Ce n’est pas le cas en géométrie axiomatique.
3.1. Ambiguïté des représentations en géométrie axiomatique:
Colette Laborde (1990) explique que le statut des représentations graphiques en géométrie axiomatique est
ambigu pour deux raisons au moins.
D’abord la représentation graphique ne comporte pas forcément toutes les données du problème.
Ensuite elle donne parfois à voir des faits qui ne sont pas des données ou des propriétés qui ne sont pas
exactes.
Par exemple, le dessin d’un losange de côté 27 cm et dont une diagonale mesure 38,2cm donnera bien à voir
un carré.
3.2. Le « vu » et le « su » d’une représentation graphique:
Historiquement, la relation entre ce qu’on sait d’une figure géométrique et de ce que donne à en voir sa
représentation a évolué.
Ici par exemple, qu’est-ce qui est représenté ? Des parallélogrammes entourant un carré ? Un cube ?
40
Les pointillés indiquent ce qui est su et qui n’est pas vu...
Bernard Parzysz et François Colmez (1993) ont étudié l’évolution du conflit du dessinateur entre le vu et le
su.
Des élèves de toutes les classes ont représenté sur une feuille de papier uni, la pyramide "squelettique"
posée sur le bureau de leur professeur, elle était régulière et à base carrée.
Les élèves dessinent la pyramide en partant de sa vue d’ensemble, en partant d’une face ou en partant de la
base. Les étapes suivantes du dessin résultent de choix différents des dessinateurs. En conséquence, les résultats
obtenus sont très différents.
Les représentations obtenues permettent aux auteurs de dégager trois types de productions graphiques :
des productions où le su est insuffisant car le dessin ne rend pas compte de la tridimensionnalité;
des productions qui rendent compte du su de manière compatible avec le vu qui est premier;
des productions résultant d’une reconstruction mentale de l’objet, le vu est représenté de manière
compatible avec le su qui est premier.
41
Chapitre V:
Organisation de l’enseignement de la géométrie
La géométrie s’enseigne dès l'école maternelle et jusqu’au Terminale dans les filières scientifiques. L’objectif
principal de l’enseignement de la géométrie est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une
reconnaissance perceptive des objets à une étude organisée. En effet, cet enseignement doit préparer les élèves
aux apprentissages ultérieurs, en particulier professionnels et scolaires; et les préparer à assumer les décisions
qu’ils doivent prendre dans leurs milieux de vie. De ce double point de vue, des connaissances et des
compétences spatiales minimales sont nécessaires.
1. À l’école maternelle:
Différencier, classer, reconnaître et de nommer des formes simples (carré, triangle, rond) ;
Reproduire un assemblage à partir d’un modèle (puzzle, etc.).
2. À l’école élémentaire:
L'enseignement de la géométrie à l'école primaire doit aider l'élève à:
2.1. Découvrir les formes et les grandeurs :
Manipuler des objets variés
Repérer des propriétés simples
Comparer selon la forme et la taille
Classer des objets selon la forme et la taille
Tracer des figures planes (rond, carré, triangle…) en utilisant les instruments adaptés ;
2.2. Se repérer dans l’espace :
Se situer par rapport à des objets
Situer des objets les uns par rapport aux autres
Situer des objets par rapport à d’autres repères
S’orienter dans un espace graphique
Se repérer dans l’espace d’une page
3. Au collège
stabiliser les connaissances des élèves, les structurer, et peu à peu les hiérarchiser... un objectif
d’initiation à la déduction.
Produire des descriptions de figures planes ou de solides de l’espace en mobilisant un vocabulaire adapté.
Enrichissement des savoirs concernant les figures élémentaires et leurs propriétés.
Connaître les objets géométriques de base du plan et de l’espace et leurs propriétés les plus importantes ;
Les élèves passent d'une lecture globale des dessins géométriques à une lecture ponctuelle.
Les propriétés de la géométrie plane sont structurées voire démontrées: propriétés d’incidence,
propriétés fondamentales des triangles, des quadrilatères et des cercles, théorèmes de Thalès et
de Pythagore et formules trigonométriques.
42
Quelques connaissances concernant les isométries du plan : symétrie orthogonale et symétrie
centrale, ainsi que la translation.
La distinction entre dessin et figure géométrique commence à être établie.
4. Au lycée:
Aucune axiomatisation formelle.
Formalisation des propriétés géométriques concernant l’espace.
Initiation à la géométrie analytique ainsi qu’à l’utilisation des vecteurs.
Enrichissement des configurations et des transformations du plan.
Diversité des méthodes mises en œuvre : propriétés des configurations, calcul vectoriel, calcul
barycentrique, transformations, nombres complexes, géométrie analytique.
Programme de la géométrie au collège:
Première année:
Parallélisme et orthogonalité
Circonférences et aires
‫التوازي والتعامد‬
‫المحيطات والمساحات‬
Angles
‫الزوايا‬
Triangle
‫المثلث‬
Droites remarquables dans un triangle
‫المستقيمات الخاصة في مثلث‬
Symétrie centrale
‫التماثل المركزي‬
Deux parallèles et sécant
‫متوازيان وقاطع‬
Parallélogramme
‫متوازي األضالع‬
Quadrilatères particuliers
Cercle
Prisme droit et cylindre droit
Paramétrage d'un point dans le plan
‫الرباعيات الخاصة‬
‫الدائرة‬
‫الموشور القائم واألسطوانة القائمة‬
‫معلمة نقطة في المستوى‬
Deuxième année:
la symétrie axiale
Le parallélisme et milieux des cotés d'un triangle
‫التماثل المحوري‬
‫التوازي ومنتصفات أضالع مثلث‬
les droites remarquables dans un triangle
‫المستقيمات الهامة في المثلث‬
Le triangle rectangle et le cercle
‫المثلث القائم الزاوية والدائرة‬
Les vecteurs
Les triangles isométriques
le pyramide-le prisme droit-le cône de révolution
Les plans et les droites dans l'espace
‫المتجهات‬
‫المثلثات المتقايسة‬
‫المخروط الدوراني‬-‫الموشور القائم‬-‫الهرم‬
‫المستويات والمستقيمات في الفضاء‬
43
Troisième année:
Théorème de Pythagore
‫مبرهنة ڨيتاغورس‬
Théorème de Thalès
‫مبرهنة طاليس‬
la trigonométrie
‫الحساب المثلثي‬
Angles inscrits et angles au cercle
‫الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في دائرة‬
les triangles semblables
‫المثلثات المتشابهة‬
Vecteurs et translation
‫المتجهات واالٍزاحة‬
Le repère du plan
‫المعلم في المستوى‬
Equation d'une droite
‫معادلة مستقيم‬
Géométrie spatiale 1 calcul des volumes
‫ حساب الحجوم‬1 ‫الهندسة الفضائية‬
Géométrie spatiale 2 agrandissement et réduction
‫ تكبير وتصغير‬2 ‫الهندسة الفضائية‬
44
Chapitre VI:
Raisonnement et démonstration
1. Le raisonnement dans le domaine de la géométrie:
Le raisonnement est constitué de la recherche, de la découverte et de la production d'une preuve; et la
démonstration formalisée qui est la forme aboutie, structurée sous forme déductive et rédigée de ce
raisonnement.
1.1. Les différents types du raisonnement mathématique:
On peut distinguer dans le domaine scientifique, deux types de raisonnement:
Le raisonnement par induction et présomption: de l'étude de plusieurs exemples concordants (et si
possible représentatifs) on déduit, par présomption une géométrie générale.
Le raisonnement par déduction: à partir de propriétés reconnues comme vraies; par enchainement
logique; on déduit une propriété.
En mathématiques, le raisonnement inductif ne se conçoit, en général, que comme une première étape,
conduisant à une conjecture. Il restera ensuite, par un raisonnement déductif, à démontrer la véracité de cette
conjecture. Alors que le raisonnement déductif fonctionne selon le schéma classique:
"Sachant que (A est vraie) et que (A implique B) est vraie, je déduis que (B est vraie)".
Le raisonnement inductif fonctionne selon un schéma présomptif:
"Constatant que dans les exemples où (A est vraie), alors (B est vraie), je présume que (A implique B) est
vraie".
Ou un schéma explicatif:
"Sachant que (A implique B) est vraie, j'explique que (B est vraie) en présumant que (A est vraie)".
Le raisonnement inductif prend toute sa place en mathématiques dans la phase de recherche, en particulier
sous la forme du schéma explicatif dans le raisonnement par chaînage arrière essentiel en géométrie.
Dans la phase de recherche, cela conduirait à se poser la question de ce qu’il suffirait d’avoir pour emporter
la conclusion.
Lorsqu’on demande une démonstration à un élève, on lui demande de s’engager au préalable dans une
phase d’investigation pendant laquelle la démarche est essentiellement inductive. En revanche, une fois la preuve
trouvée, seul le raisonnement déductif est utilisé dans la phase de mise en forme.
1.2. Les étapes possibles d'une démarche d'investigation en mathématiques:
45
Réflexion sur le problème posé:
1. Appropriation du problème, vocabulaire, contexte
2. Confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de "connaitre son cours")
3. Recherche éventuelle d'informations sur le thème.
Elaboration d'une conjecture:
1. Recherche, avec mise en place éventuelle d'une première expérimentation
2. Emission de la conjecture
3. Confirmation, avec mise en place éventuelle d'une seconde expérimentation
Mise en place d'une preuve argumentée
1.3. Raisonnement géométrique:
La géométrie constitue un support privilégié pour la pratique du raisonnement déductif. Mais le
raisonnement en géométrie s’appuie aussi sur l’observation et la construction de figures, la mise en place
d’expérimentations, de procédures d’essais-erreurs, l’élaboration et la critique de conjectures.
Pour le raisonnement mathématique, c’est un domaine riche, varié, présentant un aspect visuel et
esthétique, voire ludique, et qui donne lieu à différents types de raisonnement.
Identifions à présent différents types de raisonnements à partir de situations géométriques, chacun étant
assorti d’un ou plusieurs exemples.
Raisonnement par disjonction de cas:
Exemple:
Ces dessins représentent quatre cubes en bois dont certains coins ont été évidés.
Deux seulement de ces solides sont identiques. Dire lesquels.
Infirmation par production d'un contre-exemple:
C’est l’occasion de travailler sur le sens des énoncés mathématiques et la quantification universelle implicite.
46
Exemple1:
Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
 Deux rectangles de même périmètre ont aussi la même aire.
 Deux rectangles de même aire ont aussi le même périmètre.
Exemple2:
Si le triangle AB2C2 a deux côtés égaux respectivement à deux des côtés du triangle ABC et un angle égal à
l’un des angles du triangle ABC, peut-on conclure à l’égalité des troisièmes côtés des deux triangles ?
Raisonnement par l'absurde:
Le raisonnement par l’absurde est pratiqué par le professeur, comme forme plus simple d’un raisonnement
par contraposée, par exemple pour démontrer la réciproque du théorème de Pythagore.
Si l’on considère un triangle ABC tel que
démontrer que le triangle est rectangle (en A).
,
et
, avec
, il s’agit de
Pour cela, on suppose qu’il ne l’est pas et on trace la droite D perpendiculaire à AB en A. Sur cette droite, il
existe deux points C1 et C2 tels que
et on a, d’après le théorème de Pythagore direct
.
Le point C est donc à l’intersection des cercles C1 de centre A et de rayon b et C2 de centre B et de rayon
. Ces deux cercles se coupant en
, le point C est l’un des deux, le triangle ABC est donc soit ABC1 soit ABC2
donc est rectangle en A, d’où la contradiction.
Pour les élèves, toujours dans la configuration de Pythagore, mais pour démontrer qu’un triangle n’est pas
rectangle, on utilise le raisonnement par l’absurde comme forme plus accessible d’un raisonnement par
contraposée. Pour démontrer qu’un triangle ABC tel que
n’est pas rectangle en A, il est plus
facile d’exprimer la preuve sous la forme :
"Si ABC était rectangle en A, on aurait
".
, ce qui est absurde, puisque l’on sait que
Raisonnement lié à une construction géométrique:
Dans ces exercices, il s’agit de faire le lien entre une description par un texte mathématique et une figure
géométrique codée. La construction peut être décrite pas à pas ou être implicite;
Exemple1:
1.
2.
3.
4.
5.
Tracer un carré ABCD et placer un point E sur le segment [AB] au 1/8 de la longueur à partir de A.
Reporter AE sur [BC] à partir de B ; on obtient le point F.
Reporter AE sur [CD] à partir de C ; on obtient le point G.
Reporter AE sur [DA] à partir de D ; on obtient le point H.
Tracer le carré EFGH.
47
6. Recommencer les opérations à partir du carré EFGH, c’est-à-dire prendre un point au 1/8 de [EF], etc.
jusqu’à obtenir un nouveau carré dans lequel on recommence …
Exercice 2 :
Si C est un cercle et M un point extérieur au cercle, tracer une tangente au cercle C passant par le point M.
Exercice 3 :
On donne la figure codée ci-dessous.
 Écrire un énoncé permettant de la construire.
Dans cet exercice, il s’agit d’analyser une figure codée afin de produire une consigne de construction : l’élève
doit identifier en particulier l’ordre et les modalités des constructions.
On peut compléter un tel exercice en demandant à l’élève d’imaginer des questions à poser à partir de cette
figure.
2. Démonstration géométrique:
Nous pouvons dire qu’une démonstration (ou preuve) mathématique est un raisonnement logique qui utilise
des résultats théoriques (propriétés, théorèmes, formules, …) déjà établis pour parvenir pas à pas à une
conclusion que personne ne pourra contester. On devra faire une démonstration lorsqu'il sera demandé de
"montrer que"; "prouver que"; "vérifier que" ou "justifier que".
2.1. Etapes de la démonstration:
Une démonstration est une sorte de rédaction qui se fait en trois étapes:
1. Enonciation d'hypothèses tirées du texte (on introduira cette partie par les connecteurs: "on sait
que", "par hypothèse"…).
2. Enonciation d'une propriété découlant des hypothèses (on introduira cette partie par le connecteur:
"Or").
3. Conclusion (finale ou partielle introduite par les connecteurs: "donc"; "on en déduit que"…).
48
Exemple:
MNOP est un quadrilatère tel que : (MN) // (OP) et (NO) // (PM).
Que peut-on dire de ce quadrilatère ? Justifier.
1ère étape
2ème étape
•on cherche dans
l'énoncé les données
qui sont utiles:
•on cherche une
propriété qui fasse le
lien:
• (NO) // (PM)
(MN) // (OP)
•Si un quadrilatère
a ses côtés opposés
parallèles alors c’est
un parallélogramme.
3ème étape
•on en déduit un
nouveau résultat:
•Conclusion :
On peut affirmer
que le quadrilatère MNOP est un
parallélogramme
Remarque:
1) Dans la première étape, il est important de bien identifier la situation en se posant les questions
suivantes :
a) Avec quelle(s) figure(s) je travaille ?
b) Y a-t-il des objets géométriques importants (droites, points, segments, …) ?
c) Quelles sont les données qui pourront être utiles ?
2) Comme nous l’avons vu précédemment, la deuxième étape doit faire le lien entre les données utiles et
la conclusion. Il faut la formuler de façon très rigoureuse avec des termes précis ; par exemple : "si … alors … ", " …
revient à dire que … ", " … si et seulement si … ". Lorsqu’il s’agit de faire appel à des théorèmes connus, on pourra
seulement mentionner leurs noms (sans faire de faute d’orthographe !). Par exemple : " D’après le théorème de
Pythagore … ", "Le théorème de Thalès nous permet d’écrire … ", …
3) Dans une démonstration, il n’est pas recommandé de dire " je vois sur la figure que… " ou bien " j’ai
vérifié avec mon compas que … " car ce vocabulaire est du domaine de l’observation. On utilisera plutôt des
termes du type : " on sait que ", " car ", " puisque ", " or ", " comme ", …
Comment faire une bonne démonstration?
Pour une bonne rédaction on procède comme suit:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Faire une figure et bien la coder pour illustrer le problème
Ecrire les hypothèses et ce que l'on doit démontrer
Bien observer la figure et chercher des pistes…
Faire des liens avec des règles et les propriétés connues
Tirer des conséquences directes des hypothèses
Ordonner et enchainer les idées
Enfin; rédiger la démonstration
49
2.2. Codage des figures géométriques:
Une figure est définie et ne peut être définie que par des propriétés, énoncées en termes mathématiques,
qui la caractérisent. Elle n’a de sens que si ces propriétés sont mentionnées par un texte mathématique ou par un
codage. Le tracé de cette figure se fait soit à l’aide d’instruments dont le statut doit être précisé : ils sont imposés
et nécessitent de déterminer les propriétés de la figure les mieux adaptées à ces instruments, ou laissés au choix
pour utiliser au mieux les propriétés données de la figure, soit à main levée, le codage ou le texte mathématique
étant alors le seul point d’appui explicite de tout raisonnement.
Exemple:
1. Que peut-on dire de ce dessin à main levée ?
Ce dessin représente un quadrilatère ABCD.
Le codage nous montre que I est le milieu des diagonales [AC] et [BD] de ce
quadrilatère.
2. Ces observations font appel à quelle propriété ?
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est
un parallélogramme.
3. Que peut-on conclure ?
On peut conclure que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
2.2.1. Exemples de codage d'une figure géométrique:
Lorsque l’on dessine une figure géométrique, on utilise des "codes" pour rendre la figure "parlante". Dans ce
module on apprend à coder sur une figure le fait que des longueurs sont égales, des angles sont égaux, des
droites sont perpendiculaires et à lire les informations données par une figure géométrique.
Longueurs égales:
Pour indiquer que deux longueurs sont égales, on utilise des signes particuliers sur les segments qui sont de
même longueur.
Exemples:
Remarque: on peut utiliser autant de signes que cela est nécessaire.
Milieu d'un segment:
Le milieu d’un segment *AB+ est l’unique point M de ce segment situé à la même distance de A et de B.
50
Pour indiquer sur une figure que le point M est le milieu du segment [AB], on va donc ajouter des signes pour
montrer que AM = MB.
Ces deux signes
indiquent que AM=MB et
donc que M est le milieu
du segment [AM]
Angles égaux:
On utilise également des marques pour coder des angles de même mesure.
Exemple:
Remarque : On peut utiliser autant de signes que cela est nécessaire.
Droites perpendiculaires:
Pour indiquer sur une figure géométrique que deux droites sont perpendiculaires, on dessine un petit carré.
Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires :
51
2.3. Etude d'un exemple:
ABC est un triangle rectangle en A. Par le milieu M du côté [AB], on trace la droite d parallèle à (AC).
Démontrer que la droite d est la médiatrice du segment [AB].
1er réflexe : Faire une figure pour illustrer le problème.
« Une figure bien faite et bien codée est un problème à moitié résolu » Albert EINSTEIN.
2ème réflexe : Ecrire les hypothèses : Ce sont les informations données (on dit simplement
«Les données ») du problème. (À souligner dans l’énoncé !)
Hypothèses :
H1 : Le triangle ABC est rectangle en A ;
H2 : Le point M est le milieu du segment [AB] ;
H3 : M ∈ d ;
H4 : d // (AC).
Je dois démontrer que "d est la médiatrice du segment [AB]". Je dois immédiatement penser à la définition et
autres propriétés caractéristiques de la médiatrice.
Rédaction de la démonstration : « Je sais que… Or… Donc… »
" Je sais que" et je cite l’hypothèse …, "Or" et je cite la propriété ou le théorème … " Donc " et j’écris la
conclusion…
Par hypothèse, on sait que d passe par le milieu M du segment [AB].
On sait aussi qu'ABC est un triangle rectangle en A, donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Donc
(AB) ┴ (AC)
De plus, on sait que d // (AC)
Or, d’après la propriété qui dit que : " Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre ", on peut affirmer que les droites (AB) et d sont perpendiculaires. Donc : d ┴ (AB)
Par conséquent, la droite d est perpendiculaire au segment [AB] et passe par son milieu.
Conclusion : La droite d est la médiatrice du segment [AB].
CQFD (Ce qu’il fallait démontrer !)
52
Chapitre VII:
Etude statistique
Les collégiens de 3ème année ont-ils une maitrise des concepts géométriques? Ont-ils une lecture ponctuelle
des figures géométriques ou globale? Font-ils de bonnes constructions des figures géométriques en utilisant les
instruments et un codage convenable? Ont-ils un esprit de raisonnement?
Afin de répondre à ces questions et pour mettre en évidence les difficultés remarquables rencontrées lors de
l'apprentissage de la géométrie, nous avons demandé aux élèves de remplir un certain nombre des exemplaires
du questionnaire et avons consulté les copies de productions des élèves dans quelques contrôles continus.
1. Détection des problèmes de l'apprentissage de la géométrie à travers un QCM:
Le questionnaire adressé aux élèves est le suivant:
‫استمـ ـارة‬
‫موجهة لتالميذ السنة الثالثة إعدادي‬
‫ في المكان المناسب‬X ‫ضع عالمة‬
‫الجذور المربعة‬
‫مبرهنة ڤيتاغورس‬
‫مبرهنة طاليس‬
‫الحساب المثلثي‬
:‫ الدروس التي استوعبتها جيدا هي‬.1
‫ الترتيب والعمليات‬،‫ القوى‬،‫المتطابقات الهامة‬
‫المعادالت والمتراجحات‬
‫ فماذا تختار؟‬،‫ إذا كان لك االختيار ما بين تمرين في الهندسة وآخر في الجبر في فرض محروس‬.2
‫تمرين في الجبر‬
‫تمرين في الهندسة‬
:‫ في الشكل التالي‬.3
̂
̂
̂
̂
‫و‬
:‫ في الشكل جانبه‬.4
‫لدينا‬
53
‫‪ .5‬في المثلث التالي لدينا‪:‬‬
‫‪ .6‬في الشكل التالي‪:‬‬
‫إذا كان )‪ (PQ) // (GF‬فاٍن‪:‬‬
‫‪ EPQ‬و ‪ EGF‬مثلثان متشابهان‬
‫‪ .7‬اتجاه المتجهة‬
‫‪ .8‬إذا كان ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ هو‪:‬‬
‫المستقيم (‪)AB‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ فاٍن‪:‬‬
‫‪ RSNM‬متوازي أضالع‬
‫‪ .9‬ما هي الشعبة التي ستختارها في الثانوي التأهيلي؟‬
‫من ‪ A‬نحو ‪B‬‬
‫من ‪ B‬نحو ‪A‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫‪ MNRS‬متوازي أضالع‬
‫اآلداب‬
‫العلوم‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫اختيار آخر‬
‫‪100 élèves ont rempli ce questionnaire, le tableau ci-dessous représente les résultats obtenus:‬‬
‫‪Q1‬‬
‫‪Q2‬‬
‫‪Q3‬‬
‫‪Q4‬‬
‫‪Q5‬‬
‫‪N°‬‬
‫‪d'élève C1 C2 C3 C4 C5 C6 N C1 C2 N C1 C2 C3 N C1 C2 C3 N C1 C2 C3 N‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 0 0‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3 1 1‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6 0 0‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7 1 1‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪8 0 1‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9 0 0‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪11‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪14‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪15‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪54‬‬
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
N°
d'élève C1 C2 C3 C4 C5 C6 N C1 C2 N C1 C2 C3 N C1 C2 C3 N C1 C2 C3 N
16
0 0
1 1 0
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0
0
17
0 1
1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0
0
18
0 1
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58
N°
d'élève
Q6
Q7
Q8
Q9
C1 C2 C3 néant C1 C2 C3 néant C1 C2 C3 néant C1 C2 C3 néant
85
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0
Qi : la ième question;
Ci: le ième choix;
N: néant;
1: coché;
0: non coché.
Avec i varie de 1 jusqu'à 100.
1.1. Analyse des données:
Question 1: 58 % croient qu'ils assimilent la géométrie plus que l'algèbre.
Question 2: 61% préfèrent un exercice de la géométrie dans un contrôle.
Question 2: 29% ont coché la bonne réponse;
45% ont appliqué la règle de calcul sans avoir lu la figure correctement.
Question 4: 37% ont coché la bonne réponse;
Seulement ce pourcentage qui a fait une lecture ponctuelle des figures.
Question 5: 37% ont coché la bonne réponse;
Ces élèves connaissent la condition nécessaire pour appliquer une règle de la trigonométrie.
Question 6: 45% appliquent le théorème direct de Thalès correctement;
Seulement 4% ont fait l'application direct et interprétation du résultat (liaison entre le théorème
de Thalès et triangles semblables).
59
Question 7: 7% distinguent la direction du sens d'un vecteur (assimilation des concepts géométriques).
La majorité confond les deux termes direction et sens (influence du lexique littéraire sur le
vocabulaire mathématique).
Question 8: 52% ont coché la bonne réponse;
Ces élèves ont fait la liaison entre une égalité et une figure géométrique.
Ils assimilent les conditions d'égalité de deux vecteurs.
Question 9: 59% ont l'intention de s'orienter vers une filière scientifique;
Parmi ces élèves:





7% n'ont aucune bonne réponse (de la 3ème question jusqu'à la 8ème).
30% ont une seule bonne réponse.
32% ont deux bonnes réponses.
24% ont 3 bonnes réponses.
7% ont 4 bonnes réponses.
1.2. Les difficultés remarquables:
Ce questionnaire nous a permis de détecter un certain nombre de difficultés remarquables chez les élèves de
la 3ème année du collège surtout au niveau de:
L'assimilation des concepts géométrique.
L'influence du lexique littéraire sur le vocabulaire mathématique.
Etablir une liaison entre les concepts appris.
La lecture ponctuelle des figures géométriques.
Connaissance de version géométrique d'une propriété.
Evocation des conditions nécessaires pour appliquer un théorème ou une règle de calcul.
60
L'interprétation géométrique d'un résultat de calcul.
2. Détection des problèmes à partir des productions des élèves:
Depuis notre première sortie de mise en situation professionnelle, on remarquait que les élèves ont des
difficultés majeures de raisonnement, et cela apparait clairement dans leurs productions (contrôles continus &
examen). Chose qui nous a poussés à consulter ces productions afin de mettre l'accent sur ces problèmes de
raisonnement.
Voici les problèmes les plus remarquables:
 La reproduction des figures géométriques déjà apparentes dans l'énoncé.
 Les figures sont mal faites et l'absence relative du codage.
 Utilisation des instruments géométriques pour aboutir à la réponse sans la démontrer.
Utilisation de l'équerre pour démontrer la perpendicularité:
61
 Commettre des erreurs mathématiques (manque de la logique):
 Confusion des symboles mathématiques:
Ici, l'élève ne fait pas la différence entre la droite et la distance.
 Manque de précision du théorème qui fait lien entre les données et la conclusion dans
une démonstration:
62
L'élève a utilisé le théorème de Thalès sans le mentionner.
 Utilisation faible des connecteurs logiques:
 Confusion entre des concepts géométriques:
L'élève a écrit " un triangle est parallèle à un autre" et a fait égalité entre les deux.
63
L'élève confond entre les triangles semblables et triangles isométriques.
64
Conclusion
Notre projet de fin de formation a été l'occasion d'un bon départ pour l'apprentissage de la
géométrie. Il nous a permis de prendre conscience des problèmes rencontrés par les élèves au
collège, de les identifier précisément puis, de les analyser afin de préparer une plate forme de
solutions qu'on résume comme suit:
 Insister sur la construction des figures géométriques en utilisant les instruments
adéquats sans oublier de coder ces figures, cela permet à l'élève d'en extraire les
données utiles pour entamer une bonne démonstration.
 Une démonstration est avant tout un texte : les élèves doivent apprendre à travailler
leurs expressions dans un registre de langage mathématique spécifique.
 Faire étudier à l'élève les erreurs fréquentes à partir de ses propres productions et les
lui faire corriger.
Ce travail ne s'arrête pas à la réalisation de ce mémoire, il se poursuivra et s'enrichira tout
au long de notre carrière.
De nombreuses lectures nous donneront envie de continuer de créer, et varier nos
méthodes et d'approfondir ce champ de réflexion.
65
Biographie

CHASLES Michel (1793-1880)
Né à Epernon, Chasles entra à l'École polytechnique en 1812, fut mobilisé, en 1814, pour la
défense de Paris et accepté dans le corps du génie. Il y renonça pour se consacrer aux études.
De 1841 à 1851, il enseigna à l'École polytechnique. Une chaire de géométrie supérieure fut
créée pour lui, en 1846, à la Sorbonne. Il était membre de l'Académie des sciences depuis 1851 .
Il étudie la transformation de figures et de propriétés géométriques par les homographies.
C'est d'ailleurs lui qui introduit ce terme.

DESCARTES René du Perron (1596-1650), France.
Né à la Haye, en Tourraine, Descartes, diplômé en droit de l'Université de Poitiers, étudia
les mathématiques à Paris sous la direction de Mydorge et de Mersenne. Il entra, en 1617, dans
l'armée du prince d'Orange, et pendant neuf ans alternativement il servit dans diverses armées
et ribota à Paris. Il s'établit, en 1629, en Hollande et accepta, en 1649, une invitation de la reine
Christine de Suède. Il est mort de pneumonie peu après son arrivée.
L'apport fondamental de DESCARTES en mathématiques est l'introduction de la géométrie
analytique. Après avoir tracé deux axes perpendiculaires, il remarque que tout point du plan est
déterminé par ses distances algébriques x et y aux axes. Une courbe est alors définie par une
équation de la forme f(x, y) = 0. Il affirme que cela peut se faire de même en dimension 3, mais il
se consacre au plan. Il ramène alors l'étude de l'intersection de deux courbes à la résolution d'un
système d'équations. DESCARTES s'intéresse à la tangente à une courbe. Il la définit comme
limite de la sécante et en donne une construction compliquée en la confondant avec celle d'un
cercle qui passe par des points rapprochés.

EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783), Suisse.
Le mathématicien suisse Leonhard Euler est fils et petit-fils de pasteurs protestants. A 13
ans il entre à l'université de Bâle où il suit des cours de droit et de philosophie et en sort diplômé
à 16ans. En 1783, il remplace Daniel Bernoulli (1700-1782) parti en Russie au poste de
professeur de mathématique à l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg. …

Thalès de Milet (624 av JC-547 av JC)
Thalès est le premier mathématicien dont l'histoire ait retenu le nom. Il était aussi
commerçant, astronome, ingénieur et philosophe. Il est né à Milet (l'actuelle Turque). Il
s’intéressa peu à la numération et au calcul, faisant porter son intérêt sur la Géométrie. Il serait
mort de déshydratation alors qu’il assistait, passionné, à un concours de gymnastique.

Pythagore de Samos (582 av JC- 500 av JC)
Pythagore de Samos est un des mathématiciens de Grèce les plus connus notamment grâce
à son théorème qui accompagne le quotidien (ou presque) de tout écolier. Pythagore acquiert
ses connaissances au cours de ses voyages (Syrie, Egypte, Babylone, ...). Il fait progresser
66
l'arithmétique (science des nombres). Il a fondé une école où il enseigna des mathématiques et
de philosophie. Pythagore meurt à Métaponte.

Carl Friedrich Gauss (1777- 1855)
Mathématicien, physicien et astronome allemand. A l'âge de 3ans, il a détecté une erreur
de calcul dans le dossier de son père. Il a donné la formule du calcul de la somme des entiers de
1 à 100 à l'âge de 14ans. Il a étudié les surfaces et leurs courbures et a introduit les coordonnées
curvilignes, dites de Gauss.
67
Bibliographie
 Les géométries, Lucien GODEAUX.
 Curiosités géométriques, E. FOURREY.
 les trois manuels du collège.
Webographie:




www.wikipedia.org
http://debart.pagesperso-orange.fr/
http://www.math93.com/
http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntr
o/Euclid1.htm
68