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PROPRIÉTÉS ET DÉFINITIONS VUES AU COLLÈGE
EN 6e
OBJETS GÉOMÉTRIQUES DE BASES
Définitions
Une droite se note (d) ou (xy) ou (AB) ou (Ax) ou … Une droite n'a pas de longueur.
Une demi-droite se note [Ax) ou [AB) ou … A en est l'origine. Une demi-droite n'a pas de longueur.
Un segment se note [AB]. Il a une longueur qui se note AB.
Un point M est sur la droite (d). On note M (d) qui signifie " M appartient à (d) "
Un point N n’est pas sur la demi-droite [AB). On note N  [AB) signifiant " N n’appartient pas à [AB) "
Le milieu I d'un segment [AB] est le point I tel que : I  [AB] et AI = IB = AB : 2
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment en son milieu.
Angles
Deux angles sont adjacents si :
- Ils ont le même sommet
- Ils ont un côté commun
- Ils sont de part et d’autre du sommet commun
On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite issue du sommet et partageant cet angle en 2 angles adjacents et de
même mesure.
Propriétés
Si un point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors on a : MA = MB
Si un point est tel que MA = MB alors il appartient à la médiatrice du segment [AB].
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est alors perpendiculaire à l’autre.
SYMÉTRIE AXIALE
Définitions
Deux figures F et F’ sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent par pliage le long de (d).
Une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure F si le symétrique de F par rapport à (d) est la figure elle-même.
Le point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) lorsque (d) est la médiatrice de [AA'].
Propriétés
La symétrie par rapport à une droite (d) conserve la nature et les propriétés des figures (forme, longueurs, alignement,
parallélisme, orthogonalité, la mesure des angles…).
La médiatrice d'un segment est un de ses axes de symétrie, le 2e étant la droite portant le segment.
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de l'angle.
FIGURES USUELLES
Généralités
Un polygone est une ligne fermée constituée de segments appelés les côtés.
Un triangle est un polygone à 3 côtés. Un quadrilatère un polygone à 4 côtés. …..
Triangles
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Les angles opposés au sommet principal sont de même mesure.
Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base et la bissectrice de son sommet principal.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur.
Un triangle équilatéral est trois fois isocèle : tous ses sommets sont principaux et ses mesurent tous 60°.
Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et les supports de ses 3 bissectrices.
Un triangle rectangle isocèle est à la fois rectangle (le sommet principal est le sommet de l’angle droit)
Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses côtés.
L’aire d’un triangle est égal à : (base × hauteur) : 2
Cercles
Un cercle est l’ensemble de tous les points situés à une même distance (LE rayon du cercle) d’un point, LE centre.
Tout segment joignant le centre à l’un des points du cercle est UN rayon du cercle.
Une corde est un segment qui joint deux points du cercle.
UN diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle. Sa longueur s’appelle LE diamètre du cercle.
Tout point d'un cercle est la même distance du centre
Tout point M situé à la même distance d'un point O appartient à un cercle de centre O et de rayon OM
Le périmètre L d’un cercle de rayon R est donné par la formule : L = 2 × π × R
L’aire A d’un disque de rayon R est donnée par la formule : A = π × R²
Carrés, rectangles, losanges : → voir partie 5e
EN 5e
INÉGALITÉ TRIANGULAIRE
et CONSTRUCTIBILITÉ DES TRIANGLES
Quels que soient les points A, B et C, on a : AB ≤ AC + CB
 Si le point C appartient au segment [AB], alors AB = AC + CB
 Inversement, si AC + CB = AB alors le point C appartient au segment [AB].
 Si les points A, B et C ne sont pas alignés (ABC est donc un triangle), alors on a :
AB < AC + CB
AC < AB + BC
BC < BA + AC
 Inversement, on ne peut construire un triangle que si la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des
longueurs des 2 autres côtés. En pratique, il suffit de regarder si la longueur du plus grand des côtés est
inférieure à la somme des 2 autres longueurs.
SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE
La somme des mesures des 3 angles d’un triangle est égale à 180°.
SYMÉTRIE CENTRALE
Définitions
Dire que 2 figures F et F’ sont symétriques par rapport à un point O signifie que ces 2 figures se superposent par
demi-tour autour de ce point, le centre de symétrie.
Un point O est centre de symétrie d'une figure lorsque cette figure est sa propre image dans la symétrie de centre O.
Le rectangle, le carré, le losange et le cercle ont un centre de symétrie.
Dans la symétrie de centre O, le symétrique d'un point M est le point M' tel que le point O soit le milieu du [MM'].
Propriétés
La symétrie centrale conserve la nature et les propriétés des figures (forme, longueurs, aires, alignement,
parallélisme, orthogonalité, la mesure des angles…).
Le symétrique d’un droite (d) par rapport à un point O est une droite (d’) parallèle à la droite (d), …
ANGLES ET PARALLÉLISME
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont dans le
prolongement l’un de l’autre. Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont le même sommet, un côté commun et sont de part et d’autre de ce côté
commun .
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180°.
DEFINITION
FIGURE
PROPRIÉTÉS
Soit () sécante commune à 2 droites (d) et (d') respectivement en A et en A'
Deux angles de sommet A et A'
sont alternes-internes lorsqu’ils
sont situés :
 de part et d’autre de la droite
() ;
 entre les droites (d) et (d') ,
Donc ̂ = ̂
Donc (d) // (d')
Deux angles de sommet A et A'
sont correspondants lorsqu’ils
sont situés :
 d’un même côté de la droite
;
 l’un entre les droites (d) et
(d') , l’autre pas.
Donc ̂ = ̂
Donc (d) // (d')
Deux angles alternes-internes
formés par deux parallèles et
une sécante commune ont
même mesure.
Si deux droites coupées par une
sécante commune forment deux
angles alternes-internes de
même mesure, alors les droites
sont parallèles.
Deux angles correspondants
formés par deux parallèles ont
même mesure.
Si deux droites coupées par une
sécante commune forment deux
angles correspondants de même
mesure, alors les droites sont
parallèles.
QUADRILATÈRES PARTICULIERS
Définitions et propriété fondamentale
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
Le parallélogramme a un centre de symétrie O, point d'intersection de ses diagonales.
Ce centre de symétrie est appelé " centre du parallélogramme ".
Propriétés relatives au parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles 2 à 2, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales ayant même milieu alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère NON CROISE a 2 côtés opposés parallèles ET de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère NON CROISE a ses côtés opposés 2 à 2 de même longueur, alors c’est un parallélogramme
Parallélogrammes particuliers
Puisque le rectangle, le carré, le losange ont un centre de symétrie, ce sont des parallélogrammes particuliers.
Un rectangle est un quadrilatère ayant 4 angles droits. Les diagonales du rectangle sont de même longueur.
Un losange est un quadrilatère ayant ses 4côtés de même longueur. Les diagonales du losange sont perpendiculaires
Un carré est un quadrilatère qui possède 4 angles droits et qui a ses 4 côtés de même longueur.
C'est donc à la fois un losange et un rectangle. Les diagonales du carré sont perpendiculaires et même longueur
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un rectangle
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un losange
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un carré
Si un quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle alors c'est un carré.
Périmètres
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km
Périmètre du rectangle de longueur L et de largeur l : p = 2 (L + l )
Périmètre du carré de côté c : p = 4c
Périmètre du losange de côté c : p = 4c
Périmètre du parallélogramme de longueur L et de largeur l : p 2(L + l)
Aires
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm²
1 m² = 0,01 dam² = 0,00001 hm² = 0,0000001 km²
1 ha = 1 hm²
1 a = 1 dam²
1 ca = 1 m²
Aire du rectangle de longueur L et de largeur l : A = L × l
Aire du carré de côté c : A = c²
Aire du losange de diagonale D et d : A = ( D × d ) : 2
Aire du parallélogramme de base b et de hauteur relative h : A = b × h
EN 4e
DÉMONSTRATION
Les Règles du débat mathématiques
Pour savoir si un énoncé (une propriété, par exemple) est juste ou faux, on utilise certaines règles :
-
Un énoncé mathématique est soit toujours juste, soit faux.
Donner des exemples qui vérifient un énoncé ne suffit pas pour prouver que celui-ci est vrai.
Par contre, pour prouver qu’un énoncé est faux, un exemple suffit : on l'appelle "contre-exemple".
Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver qu'un énoncé de géométrie est vrai
Il faut utiliser des propriétés et / ou définitions en géométrie et des propriétés et le calcul littéral en algèbre.
Démonstration en géométrie
Une démonstration est une succession de chainons déductifs qui partent des données et arrivent à la conclusion. Un
chainon déductif ou démonstration à un pas est un enchainement de phrases qui peut se présenter sous la forme :
PROPRIÉTÉ
DONNÉES
Ce que je sais
CONDITIONS
CONCLUSION
CONCLUSION
DE LA PROPRIÉTÉ
Ce que j'utilise
Ce que j'en déduit.
On doit s'assurer que l'on a bien compris ce qu'il fallait démontrer.
Les données sont les mesures ; mots-clés ; les codages et les mesures sur la figure (même à main levée).
Mais ce sont aussi les conclusions établies lors de précédents chainons déductifs.
Ce que l'on pense voir sur la figure n'est pas une donnée mais un avis personnel !
Si la figure n'est pas faite, il est conseillé de la construire même à main levée mais elle doit être codée et l'on indiquer
les mesures des angles et des segments connues.
Attention à ne pas utiliser la réciproque à la place de la propriété directe.
Une rédaction aérée est plus facile à lire. Dans la mesure du possible, il vaut mieux écrire des phrases courtes.
Le vocabulaire utilisé doit être précis. Ne pas mettre d'abréviations dans les phrases. Ne pas confondre les notations.
On doit se poser la question : "Est-ce que j'ai répondu à la question ?"
DROITE DES MILIEUX
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
Dans un triangle, le segment dont les extrémités sont les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du
troisième côté.
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE
Médiatrices
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Les 3 médiatrices d’un triangle sont concourantes : leur point de concours s’appelle
le centre O du cercle circonscrit au triangle (qui passe par tous les sommets).
En pratique, pour déterminer le centre du cercle circonscrit, il suffit de tracer 2 médiatrices.
Médianes
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.
La droite (AI) est la médiane issue d’un sommet A ou relative au côté [BC]
Le segment [AI] est aussi appelé médiane. Sa longueur AI est également appelée médiane.
Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité G.
Il est situé sur chaque médiane aux deux tiers de la médiane à partir du sommet : AG = AI ; BG = BJ ; CG = CK
Médianes
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
La droite (AI) est la hauteur issue d’un sommet A ou relative au côté [BC]
Le segment [AI] est aussi appelé hauteur. Sa longueur AI est également appelée hauteur.
Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre H.
Bissectrices
On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite issue du sommet et partageant cet angle
en 2 angles adjacents et de même mesure. La bissectrice est l'axe de symétrie de l'angle.
Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des côtés de l'angle.
Si un point est équidistant des côtés d'un l'angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Ici [Oz) est la bissectrice de l’angle ̂ et M ∈ [oz) on a donc : MD = MC.
Les 3 bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I.
Ce point I est à égale distance R des 3 côtés du triangle.
I est le centre du cercle inscrit dans le triangle, son rayon étant égal à R.
Autrement dit, I est le centre du cercle tangent à chacun des 3 côtés du triangle.
 Méthode pour le tracer
A
I
B
C
DU TRIANGLE RECTANGLE AU CERCLE CIRCONSCRIT
Quel que soit le triangle, s’il est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le
milieu de l'hypoténuse (l’hypoténuse est un diamètre du cercle).
Quel que soit le triangle, s’il est rectangle alors la longueur de la médiane issue du
sommet de l'angle droit est à égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Quel que soit le triangle, s'il a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un autre
point d'un cercle alors il est rectangle en ce point.
Quel que soit le triangle, si la médiane issue d'un sommet mesure la moitié de la longueur du côté opposé alors il est
rectangle en ce sommet.
THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à
somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
Si ABC est un triangle rectangle en A alors on a BC² = AB² + AC²
Conséquence du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux
côtés de l'angle droit alors le triangle n'est pas rectangle.
En pratique, on calcule séparément le carré de la longueur du plus grand côté et la somme des carrés des longueurs
des 2 autres côtés ; on montre qu’il y a différence entre les 2 valeurs.
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés
de l'angle droit alors le triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté.
En pratique, on calcule séparément le carré de la longueur du plus grand côté et la somme des carrés des longueurs
des 2 autres côtés ; on montre qu’il y a égalité entre les 2 valeurs.
DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE
Soit (d) une droite et A un point n'appartenant pas à (d).
Le point de la droite (d) le plus proche de A est le pied H de la
perpendiculaire à (d) passant par A.
Tout point M distinct de H de la droite (d) est tel que AM > AH.
AH longueur du segment [AH] est la distance du point A à la droite (d)
DROITE TANGENTE A UN CERCLE
Une droite (d) est tangente à un cercle (C) si elle n'a qu'un point commun C
avec le cercle. On dit que la droite (d) est la tangente au cercle (C) en C.
Si (C) est un cercle de centre O alors la tangente au cercle (C) en C est la droite
perpendiculaire à (OC) en C.
PROPRIÉTÉ DE THALES :
TRIGONOMÉTRIE :
→ Voir partie 3e, THALES.
→ Voir partie 3e, TRIGONOMÉTRIE.
EN 3e
TRIGONOMÉTRIE : On ne traite que les angles ̂ aigus, c'est-à-dire : 0° < ̂ < 90°
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé (face) à l’angle droit est l’hypoténuse. Ici c’est [BC]. ̂ + ̂ = 90°
Si on s’intéresse à l’angle ̂ :
- Le côté opposé à l’angle ̂ est [AC]
Si on s’intéresse à l’angle ̂
- Le côté opposé à l’angle ̂ est [AB]
Remarque
̂ et ̂ sont complémentaires.
- Le côté adjacent à l’angle ̂ est [AB] - Le côté adjacent à l’angle ̂ est [AC] ̂ + ̂ = 90°
FORMULAIRE
REMARQUES
̂
Cosinus de l’angle ̂ : cos ̂ =
=
SOHCAHTOA
S → Sinus
T → tangente
A→ Adjacent
Si :
Sinus de l’angle ̂ :
̂
sin ̂ =
Alors
̂
Tangente de l’angle ̂ : tan ̂ =
(cos ̂ ) 2 + (sin ̂ ) 2 = 1
=
̂
et tan ̂ =
C → Cosinus
H → Hypoténuse
O → Opposé
=
̂
S→
C→
T→
Sinus, cosinus et tangente n’ont pas d’unité !
̂
0  cos ̂  1 et 0  sin ̂  1
THÉORÈME DE THALES ET SA RÉCIPROQUE
Cas 2
Cas 1
Théorème de Thalès
Soit deux droites (d) et (d’) sécantes en A ;
Soient deux points B et M de (d), distincts de A ;
Soient deux points C et N de (d’), distincts de A,
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
Dans les conditions de la propriété de Thalès, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
Longueur des côtés du
triangle AMN
Longueur des côtés du
triangle ABC
Longueur des côtés
portés par
la droite (d)
Longueur des côtés
portés par
la droite (d’)
Longueur des côtés
portés par
les parallèles
AM
AN
MN
AB
AC
BC
Cas 3
Partage d'un segment → avec un exemple :
Construire avec une règle non graduée et un compas le point M d'un segment [AB] donné tel que
M
’
A
M
B
’
On trace une demi-droite issue de A.
On reporte au compas 7 segments consécutifs et de même longueur.
On place sur la demi droite M’ et B’ tels que AM’ = 5 et AB’ = 7.
On trace (BB’) puis la parallèle à (BB’) passant par M’. Elle coupe [AB] en M.
Les triangles AMM’ et ABB’ sont en situation de Thalès car (MM’) // (BB’) ;
B
donc :
Construction de points définis par un rapport de longueur → avec un exemple :
Construire, avec une règle non graduée et un compas tous les points C tel que
=
On trace deux droites (d) et (d') parallèles passant respectivement par A et B.
On les gradue de même façon: A et B sont les origines et les positifs sont en haut.
On place E1(-1) et E2(+1) sur (d) . On place F(-3) sur (d').
Comme les droites (d) et (d') sont parallèles, on peut appliquer le théorème de
Thalès dans les configurations (C1AB ; C1E1F) et (E2C2F ; AC2B) et on a bien :
=
=
=
et
=
=
=
Conséquence du théorème de Thalès (→ pour démontrer que 2 droites ne sont pas parallèles )
AM AN

alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
AB AC
En effet, si (BC) et (MN) étaient parallèles, alors il y aurait égalité entre les 2 rapports.
Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. Si
Réciproque de la propriété de Thalès(→ pour démontrer que 2 droites sont parallèles )
Soient 2 droites (d) et (d’) sécantes en A;
3 configurations possibles
Soient 2 points B et M de (d), distincts de A;
Soient 2 points C et N de (d’), distincts de A.
AM AN
=
ET Si les points A, B, M sont
AB AC
dans le même ordre que A, C, N,
Si
Si
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles dans les 3 cas.
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Et rapport
est égal aux deux autres.
Agrandissement et réduction
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k (ou à l’échelle k) :
- Les longueurs sont multipliées par k
- Les aires sont multipliées par k²
- Les volumes sont multipliés par k3
- Les angles et donc le parallélisme et la perpendicularité sont
conservés.
Remarques :
Si 0 < k < 1, il s’agit d’une réduction
Si k > 1, il s’agit d’un
agrandissement
ANGLES INSCRITS, POLYGONES RÉGULIERS
Angle inscrit et angle au centre
A, B, C désignent 3 points distincts d’un cercle (C) de centre O.
̂ intercepte l'arc du cercle (C) d’extrémités A et C nommé ̂
Cas 1
̂ = ̂
Cas 2
ou bien : ̂ = 2 ̂
L’angle ̂ est un angle inscrit dans le cercle (C) et que l’angle ̂ est appelé angle au centre de C.
On dit que l'angle ̂ est l'angle au centre associé à l'angle inscrit ̂
Propriété de l’angle inscrit
Dans un cercle, la mesure d'un angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre associé.
Exemple :
̂ = ̂=½̂
Propriété des angles inscrits
Si 2 angles inscrits interceptent le même arc, alors ces 2 angles sont égaux.
POLYGONES RÉGULIERS
Définition : Un polygone régulier est un polynôme dont les côtés ont la même longueur et dont les angles ont la
également la même mesure.
Propriété
Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle dont le centre O est aussi le centre du polygone.
Soit un polygone régulier à n côtés de centre O et soient M et N 2 sommets consécutifs, on a alors :
L'angle au centre ̂ mesure
et les angles formés par 2 côtés consécutifs mesurent tous : 180° –
Exemples :
A
B
E
D
D
120
°
90°
C
C
F
60°
90°
60°
120°
B
A
Triangle équilatéral ABC
A
C
Carré ABCD
B
Hexagone régulier ABCDEF
Construction d'un polygone régulier ABC…. à n côtés connaissant le centre O et le point A

Dans ce polygone, chaque angle au centre mesure α
= 360
degrés
n




On trace le cercle de centre O et de rayon OA.
On place le point B (par ex.) sur le cercle tel que ̂ = α
On recommence avec le point B en tournant dans le même sens
On relie tous les points obtenus pour réaliser le polygone demandé
ESPACE – tous niveaux
Pavé droit ou parallélépipède rectangle.
Un parallélépipède rectangle est un solide dont les 6 faces sont des rectangles.
Quand toutes les faces sont des carrés, le pavé droit est un cube.
2 faces opposées sont parallèles. 2 faces ayant une arête en commun sont perpendiculaires.
2 arêtes ayant un sommet en commun sont perpendiculaires.
Si le pavé droit a pour dimensions l, p et h alors son volume V est donné par la formule : V= l × p × h
m3
dm3
hL
daL L
cm3
dL
cL
mm3
mL
1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3
1 L = 1 dm3
1 dL = 0,1 dm3 = 100 cm3
1 cL = 0,01 dm3 = 10 cm3
1 mL = 1 cm3
Prisme droit
Un prisme droit est un solide dont deux faces sont superposables et situées
dans des plans parallèles : les bases qui sont de forme polygonale.
Les autres faces sont des rectangles : les faces latérales.
Aire A d’un prisme droit : A = aire des bases + aire latérale (somme des aires des rectangles)
Volume V d'un prisme droit dont l’aire de base est B et la hauteur est h : V = B × h
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide dont les deux bases sont des disques de
même rayon situés dans des plans parallèles. La surface latérale est courbe.
Si le cylindre a pour rayon R et hauteur h, on a :
Volume :
V = πR2h
Aire latérale : Alatérale = 2 π R h
Aire totale : Atotale = 2 aire base + aire latérale = 2 πR² + 2 πRh
Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide composé d’une base en forme de disque, d’un sommet
situé sur la perpendiculaire au disque de base en son centre et d’une seule face latérale non plane.
- [SO] est la hauteur du cône de révolution.
- Si A est un point du disque de base alors [SA] est appelée génératrice du cône de révolution.
Aire de la base × hauteur
Πr2 h
Pour un cône de rayon r, le volume est donné par la formule
V=
=
3
3
Pyramide
Une pyramide est un solide composé d’une base de forme polygonale et dont les faces latérales sont des triangles
ayant un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide.
Pour toute pyramide, quelle qu’en soit la forme de la base , le volume est donné
Aire de la base × hauteur
par la formule :
V=
3
Pyramide régulière
On dit qu’une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et si sa
hauteur [SH] est telle que H soit le centre de ce polygone. Les faces latérales d’une pyramide régulière sont des
triangles isocèles superposables.
Sphères et boules
La sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace situés à la distance r
du point O, c’est-à-dire, OM = r.
A et B étant 2 points de la sphère, le segment [AB] de milieu O est un diamètre de la sphère.
La boule de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ r. C'est
l'intérieur de la sphère et la sphère.
Pour une sphère de rayon r, l'aire et le volume sont donnés par les formules : A = 4 π r2
V=
4 3
πr
3
SECTIONS PLANES D’UN SOLIDE
Définition : La section d'un solide par un plan est la figure plane obtenue à l'intersection du solide et du plan.
Sections planes d’un parallélépipède rectangle
La section d'un parallélépipède par un plan parallèle …
- à une face est un rectangle de mêmes dimensions que la face.
- à une arête est un rectangle dont une dimension est la longueur de l'arête.
Sections planes d’un cylindre
La section d'un cylindre de révolution par un plan …
- perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que sa base et dont le
centre se trouve sur l'axe.
- parallèle à son axe est un rectangle dont une dimension est la hauteur du
cylindre et dont l'autre se calcule en utilisant le théorème de Pythagore.
Sections planes d’un cône et d’une pyramide
La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone
qui est une réduction du polygone constituant cette base.
La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un cercle
dont le centre se trouve sur l'axe et qui est une réduction de cette base.
Sections planes de la sphère
Le plan P est perpendiculaire à [OA].
La section de la sphère par le plan P est un cercle de centre A et de rayon r' à
déterminer.
Le plan et la sphère sont sécants.
→ Calcul du rayon du cercle de la section
OAM est rectangle en A, alors on a , d'après Pythagore :
OM² = OA² + AM²
d’où : r² = OA² + r'²
Donc: r'² = r² - OA²
Finalement : r' = √
→ Remarque : Si le plan passe par le centre de la sphère, alors le cercle obtenu par intersection
de la sphère et du plan est appelé grand cercle.
Les grands cercles sont les plus grands cercles que l'on peut tracer sur une sphère.
Dans l’exemple, les cercles de diamètre [AB], [CD] et [EF] sont des grands cercles de la
sphère de diamètre AB = CD = EF. On dit que A et B ou E et F ou D et C sont diamétralement opposés.