Feuille de TD n 1

IUT Info 1A
Année 2007-08
Période 1
Arithmétique
Feuille de TD n◦1
1
Suites et Récurrence
Exercice 1. Démontrer les formules suivantes :
a - ∀n ∈ N∗ ,
n
X
k=1
k=
n(n + 1)
2
1
F. Madelaine
J. Mailfert
D. Richard
feuille de TD n◦ 1
b - ∀n ∈ N∗ ,
n
X
Arithmétique
k2 =
k=1
c- ∀n ∈
N∗ ,
n
X
k=1
d - ∀n ∈ N,
n
X
3
k =
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)
2
2
(2k + 1) = (n + 1)2
k=0
2
feuille de TD n◦ 1
Arithmétique
Exercice 2. Simplifier, calculer et factoriser : A =
25
X
k=2
3
4
k −
24
X
k=1
k4 .
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Arithmétique
4
feuille de TD n◦ 1
Arithmétique

3

 u0 =
4
.
Exercice 3. La suite u est définie par
2

 un+1 = 1 + un pour tout n ≥ 0
2
1
Montrer par récurrence que pout tout n ∈ N, on a < un < 1.
2
5
feuille de TD n◦ 1
Exercice 4. Pour tout n ∈
Arithmétique
N∗ ,
on pose Cn =
n
X
k=1
1
a - Montrer par récurrence que Cn = 1 −
.
n+1
6
n
X 1
1
et Dn =
.
k(k + 1)
k2
k=1
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Arithmétique
b - Retrouver le résultat précédent en écrivant
c - Montrer que la suite D est bornée.
7
1
sous une autre forme.
k(k + 1)
feuille de TD n◦ 1
Arithmétique
Exercice 5. On rappelle le principe des dominos : si u est une suite et si p et q sont des
q
X
entiers tels que 0 ≤ p ≤ q, alors on a
(uk+1 − uk ) = uq+1 − up .
k=p
n
X
Montrer la formule suivante : ∀n ∈ N,
k · k! = (n + 1)! − 1.
k=0
Exercice 6. a - Montrer que ∀n ∈ N,
n
X
k(k + 1) =
k=0
8
n(n + 1)(n + 2)
.
3
feuille de TD n◦ 1
b - Montrer que ∀n ∈ N,
Arithmétique
n
X
k(k + 1)(k + 2) =
k=0
c - Généraliser les formules précédentes.
9
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
.
4
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Arithmétique
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feuille de TD n◦ 1
Arithmétique
Exercice 7. En utilisant la formule du binôme, calculer
X
k≥0
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Cn2k et
X
k≥0
Cn2k+1 .
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2
Arithmétique
Arithmétique de Péano
Exercice 8. En utilisant les définitions de l’addition, de la multiplication et de l’exponentiation vues en cours, montrer que :
a - ∀x, y, z ∈ N, (x + z = y + z) =⇒ (x = y)
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Arithmétique
b - ∀x, y, z ∈ N, x · (y + z) = x · y + x · z
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Arithmétique
c - ∀x, y, z ∈ N, xy+z = xy · xz
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3
Arithmétique
Divisibilité - Nombres premiers
Exercice 9. Citer tous les nombres premiers inférieurs à 50.
Voir sur le web à propos du crible d’Eratosthène, par exemple sur wikipedia (clic).
Exercice 10. Calculer les pgcd de :
a - A = (80 × 9)5 et B = (81 × 50)3 ,
b - A = 4320 et B = 2025,
c - A = 6n+1 + 5n+1 et B = 6n + 5n pour tout n ∈ N, n ≥ 1.
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Arithmétique
Exercice 11. n est un entier divisible par 2 et 3. Les quotients de n par 2 et 3 sont respectivement p et q. Quel est le quotient de n par 6 ?
Exercice 12. Exercice 4. a est un nombre premier. Trouver deux entiers naturels b et c
vérifiant : a2 + b2 = c2 . Résoudre cette dernière équation.
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Arithmétique
Exercice 13. Combien de 0 terminent le nombre 100! ?
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Arithmétique
Exercice 14. Prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers.
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