Modélisation par éléments finis de circuits magnétiques non linéaires alimentés par de l’électronique de puissance Patrick Dular, Dr. Ir., Chercheur qualifié F.N.R.S. Dept. of Electrical Engineering - University of Liège - Belgium [email protected] Circuits avec commutateurs électroniques Modèles éléments finis Couplage 1 Problèmes physiques couplés dans les systèmes électromagnétiques Développement d’un environnement logiciel de modélisation de problèmes couplés • Couplage avec circuits électriques et électroniques e.g., avec alimentation d’électronique de puissance • Couplage mécanique calcul de force magnétostriction, piézoélectricité bruit et vibrations • Couplage thermique pertes thermiques (balance entre pertes et refroidissement) chauffage par induction Caractérisation des propriétés matérielles • non linéarités, anisotropies, hystérésis 2 Modélisation numérique (1) Modèles physiques • • • • • • • • magnétostatique, magnétodynamique électrostatique, électrodynamique électrocinétique propagation électromagnétique circuits électriques et électroniques à éléments localisés problèmes mécaniques, mouvement de parties rigides, élasticité vibrations et bruit, acoustique problèmes thermiques Méthodes numériques • méthode des éléments finis • méthodes intégrales • méthode des éléments frontière 3 Modélisation numérique (2) Modèles géométriques • 1D • 2D, plan et axisymétrique • 3D Régimes temporels • régime statique • domaine fréquentiel: régimes harmonique et multi-harmonique • domaine temporel: régime transitoire, schémas d’intégration temporel divers Modèles de matériaux • matériaux non-linéaires et anisotropiques • modèles d’hystérésis 4 Equations de Maxwell Equations curl h = j + ∂t d curl e = – ∂t b div b = 0 Conditions limites n × h⏐Γh = 0 , n ⋅ b⏐Γe = 0 ∫γ e ⋅ dl = Vi i Tension Conditions globales pour couplage circuit ∫Γ n ⋅ ( j + ∂ t d) ds = Ii i j Courant div d = ρ Relations constitutives b=µh j=σe d=εe Inducteur 5 Applications Méthode des éléments finis Méthode des éléments frontière Courants induits Problèmes électrostatiques Transformateurs Machines électriques tournantes Dispositifs électromécaniques divers (relais, actionneurs, ...) Blindages électromagnétiques Câbles et lignes aériennes Chauffage par induction et diélectrique etc. Forces électromagnétiques Pertes et échauffements 6 Méthode des éléments finis 7 Problème magnétodynamique Inductance à enroulement à bande Lamination stack µr = 1000 σlam = 2.5 107 Sm-1 dlam = 0.3 mm 1/8 de structure Foil winding 10 foils, Al σfoil = 3.7 107 Sm-1 dfoil = 1.1 mm 8 Eddy current non-destructive testing – Probe impedance computation Magnetic field without defect Perturbation field (with defect) 0.009 D1 0.008 F1 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 -0.001 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 Real part D1 F1 0.014 0.012 Magnitude Imaginary part Impedance change 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0.002 0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 Axial distance (mm) 9 Massive inductors (1/2) Influence phenomenon of air gap on the winding resistance Air gap Air gap Studied system I 1/8th of the modelling system Sinusoidal current is imposed in each conducteur ⇒R= Pj I 2rms 10 Massive inductors (2/2) Influence phenomenon of air gap on the winding resistance Joule losses density Magnetic circuit enterfer R(mΩ) 180 170 Air gap 160 150 I = 1 A , f = 50 kHz , e = 2.4 mm T-Ω A-ϕ measure 140 130 120 110 0 for: I=1A et f=50kHz e(mm) 1 4 2 3 11 Efforts électrodynamiques dans une inductance (1) 12 Efforts électrodynamiques dans une inductance (2) Lignes de champ magnétique et vecteurs force électromagnétique (N/m) (8 groupes, courant 3200 A, courants concordants) Courants dans chacun des 8 groupes en parallèle 13 Couplage magneto-thermique (1/3) pièce conductrice inducteur |I| [A/m2] Répartition de la densité de courant à la surface de la pièce conductrice 14 Couplage magneto-thermique (2/3) Distribution de température dans un cylindre d’acier en mouvement chauffé par induction (calcul par la méthode des éléments finis) 15 Couplage magneto-thermique (3/3) Transverse induction heating (nonlinear physical characteristics, moving plate) Eddy current density Joule power density Temperature distribution Search for OPTIMIZATION of temperature profile 16 Inductive and capacitive effects in inductors Magnetic flux density Frequency and time domain analyses Any conformity level Electric field Resistance, inductance and capacitance versus frequency 17 Lamination stack (1) … in which losses can be significant at high frequencies Magnetic flux versus frequency Lamination stack µr = 500 σ = 107 Sm-1 d = 0.3 mm w = 10 mm 6 laminations 18 Lamination stack (2) Magnetic flux density versus position Lamination stack µr = 2000 σ = 107 Sm-1 d = 0.3 mm w = 10 mm 6 laminations 19 Harmonic balance FEM • magnetic saturation • movement • nonlinear lumped components (diodes, ...) 20 Circuits électroniques Mise en œuvre du couplage avec la méthode des éléments finis 21 Éléments de circuit - Modèle de base Éléments de circuit : - Résistances, inductances, condensateurs - Sources de tension et de courant - Interrupteurs électroniques (diodes, thyristors et transistors) - Un nombre quelconque de composantes éléments finis, dont le comportement est issus d’un modèle éléments finis couplé au circuit, peut être pris en compte. Il s’agit en particulier d’éléments présentant un caractère inductif et résistif. Les commutations des interrupteurs peuvent être naturelles ou forcées. Les interrupteurs sont modélisés par des résistances variables qui prennent une faible valeur à l’état passant et une grande valeur à l’état bloqué. ... 22 Éléments de circuit - Modèle de base ... Le modèle ainsi défini permet l’analyse de l’ensemble convertisseur - dispositif électromagnétique, sans considération du comportement transitoire des interrupteurs. Une telle analyse transitoire des interrupteurs nécessiterait une prise en compte de leurs caractéristiques non linéaires et réduirait l’efficacité globale du calcul lors du couplage entrepris avec des modèles éléments finis. Avec le modèle utilisé, la commutation naturelle d’un interrupteur a lieu lors du passage par zéro de son courant ou de sa tension. Cet instant doit être déterminé avec précision au risque de conduire à des problèmes numériques, et par conséquent à des erreurs de comportement physique du circuit. Ainsi, lors de chaque instant de calcul, la tension de chaque interrupteur est analysée. Lorsqu’un changement de signe est détecté, un processus de réduction de pas de temps est amorcé de façon à déterminer, à une certaine tolérance près (sur le temps ou la tension), les instants précédant et suivant la commutation. 23 Schéma de discrétisation temporelle Schéma en θ (0.5 ≤ θ ≤ 1) Oscillations indésirables avec θ < 1 Exemple : condensateur soumis à un échelon de tension ∆v Exemple : circuit RC soumis à ∆v v( t ) − v( t − ∆t ) C = θ i( t ) + (1 − θ) i( t − ∆t ) ∆t 10 Euler (θ = 1) Galerkin (θ = 2/3) Crank-Nicolson (θ = 1/2) 8 6 Current in capacitor (A) v( t 0 ) = 0 ⇒ i( t 0 ) = 0 ∆v v( t1 ) = ∆v ⇒ i( t1 ) = C θ ∆t 4 2 0 1− θ v( t 2 ) = v( t1 ) ⇒ i( t 2 ) = −i( t1 ) ≠ 0 !!! θ Idem pour inductance soumise à un échelon de courant 400 -2 -4 -6 Euler (θ = 1) Galerkin (θ = 2/3) Crank-Nicolson (θ = 1/2) 300 Current in capacitor (A) 0 2 4 6 8 10 Time (ms) 200 100 0 -100 -200 -300 -400 0 2 4 6 Time (ms) 8 10 24 Schéma de discrétisation temporelle Schéma en θ (0.5 ≤ θ ≤ 1) Oscillations indésirables avec θ < 1 ... Avec le modèle utilisé pour les interrupteurs, ce type de problème de discontinuité soudaine de la tension ou du courant apparaît lors des commutations. De même, le calcul au premier pas d’une évolution temporelle peut déjà conduire, encore pour des raisons de discontinuité soudaine des excitations, à l’amorçage d’un tel comportement oscillatoire de la solution. 25 Schéma en θ sans oscillations Paramètre θ et pas de temps ∆t fixés Détection de discontinuités soudaines de tensions • Amorçage d’un processus de réduction de pas de temps visant à déterminer l’intervalle de temps [ tc – ε1 , tc + ε2 ], i.e. double adaptation de pas de temps, où ... tc, en général non connu a priori, est un instant de commutation (pour l’événement du type "changement de signe de la tension d’un interrupteur") ou bien un autre instant critique (par exemple, temps initial pour l’événement du type "discontinuité soudaine de tension") ε = ε1 + ε2 est une tolérance sur le temps solution directe en tc – ε1 / processus itératif jusqu'à convergence en tc + ε2 Modification locale du paramètre θ • Utilisation de θ = 1 pour le calcul à l’instant t + ε2 + ε (i.e. avec ε comme pas de temps) C’est en effet à cet instant que peuvent prendre naissance les oscillations indésirables Cet instant est choisi plutôt que t + ε2 + ∆t afin de réduire l’erreur avec θ = 1 Reconsidération de θ < 1 et ∆t ... 26 Double adaptation de pas de temps Réduction de pas de temps, e.g. par dichotomie Tension d'interrupteur E.g. pour l'événement du type "changement de signe de la tension d’un interrupteur" (0) Signe '+' (2) (3) Temps (4) tc + ε2 tc – ε1 Juste avant la discontinuité Signe '–' (1) Juste après la discontinuité (processus itératif jusqu'à convergence) 27 Applications Redresseurs Onduleurs Convertisseur "fly-back" ... ... en couplage avec des modèles éléments finis 28 Three-phase rectifier with transformer Half-wave controlled rectifier Uout, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson U1 U2 U3 60 40 Input and Output Voltages (V) Input and Output Voltages (V) 40 20 0 -20 -40 -60 Uout, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson U1 U2 U3 60 20 0 -20 -40 0 5 10 15 Time (ms) 20 25 30 -60 0 5 10 15 20 25 30 Time (ms) 29 Three-phase rectifier with transformer Half-wave controlled rectifier 80 Sudden thyristor current changes in the transformer 100 Uout, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson Uout, α=45 deg, Crank-Nicolson UTh1, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson UTh1, α=45 deg, Crank-Nicolson 60 Input and Output Voltages (V) Output Voltage (V) 50 40 20 0 -50 -100 -20 -40 0 0 5 10 15 Time (ms) 20 25 30 -150 0 5 10 15 Time (ms) 20 25 30 30 Three-phase rectifier with transformer Half-wave controlled rectifier 3.5 3 Output Current (A) 2.5 2 1.5 1 Reference Modified Crank-Nicolson, ∆t=T/40 Modified Crank-Nicolson, ∆t=T/12 Euler, ∆t=T/40 Euler, ∆t=T/20 Euler, ∆t=T/12 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 The Euler scheme needs about 20 times more time steps than the modified Crank-Nicolson scheme for the same accuracy Time (ms) 31 Fly-back converter Do 2:1 I1 Ein Cs D VDS G S I2 Rs Co Ds Ro Sudden primary and secondary current changes in the transformer 32 Resonant converter E1=50V E2=50V T1 D1 C2=50nF C1=10µF R=2Ω T2 D2 C3=50nF Sudden transistor and diode voltage changes acting on snubber capacitors C2 and C3 33 Resonant converter Nonlinear finite element model for the inductance The Euler scheme needs about 10 times more time steps than the modified Crank-Nicolson scheme for the same accuracy 34 Conclusions (1/2) Méthode efficace et robuste de discrétisation temporelle du type schéma en θ dans le cadre du couplage éléments finis - équations de circuit pour des circuits comportant des interrupteurs électroniques • Permet d’utiliser le schéma de Crank-Nicolson quel que soit le circuit et quelles que soient ses conditions de travail, en éliminant les oscillations indésirables de solution propres à ce schéma • Précision obtenue principalement d’ordre 2 sur le domaine temporel, supérieure à celle obtenue avec la méthode d’Euler implicite et les méthodes intermédiaires • Pour une même précision désirée, le pas de temps de base peut donc être supérieur, ce qui conduit à un gain d’efficacité particulièrement appréciable lors de l’étude de dispositifs électromagnétiques non linéaires 35 Conclusions (2/2) Méthode des éléments finis pour la modélisation fine des dispositifs électromagnétiques • constitués de matériaux non linéaires • avec effets de peau et de proximité dans les conducteurs • avec courants induits dans les noyaux magnétiques Analyses dans les domaines fréquentiel et temporel • analyses non linéaires • phénomènes transitoires dans le domaine temporel Méthodes adaptées à une large gamme de fréquence • effets des courants induits liés aux composantes haute fréquence • effets capacitifs Freeware software gmsh is a computer aided design (CAD) software for geometry description, mesh generation and data visualization. gmsh is available on most of the classical UNIX platforms and under Windows 95/NT. GetDP is a general software environment well suited for the coupling of several kinds of numerical methods and physical problems. Its main feature is the closeness between the input data defining discrete problems and the symbolic mathematical expressions of these problems. http://elap.montefiore.ulg.ac.be/services/elm/soft.html 37