Exercices : TRAITEMENT DU SIGNAL

EL 306 : Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle
Exercices : TRAITEMENT DU SIGNAL
On donne la fonction de transfert :
H ( j ω) =
1
1+ j
Analyse de Fourier - Filtrage
ω
ω0
1. Établir l’équation différentielle du premier ordre entre la tension d’entrée et de sortie.
2. Déterminer la réponse temporelle s(t) d’un filtre passe-bas de fréquence de coupure ω0 quand on applique à
l’entrée un signal rectangulaire e(t) de période T grande devant 2π/ω0. On supposera s(0) = 0
3. Analyser les résultats dans le domaine spectral
EL 208 : Circuit de Wien
On alimente le circuit de Wien représenté ci-dessous par une tension sinusoïdale de pulsation ω.
On posera dans tout le problème x = RCω =
ω
ω0
C
R
1-a) Exprimer la fonction de transfert H(jx) de ce circuit.
1-b) Exprimer le gain G(x) de ce montage ainsi que le gain GdB
e(t)
en décibels. Calculer le gain maximum en décibels.
1-c) Déterminer la phase ϕ(x) de s(t) par rapport à e(t).
Calculer cette phase lorsque le gain est maximal. Conclusions
?
2- Déterminer les pulsations de coupure ω1 et ω2 de ce circuit.
En déduire la bande passante en fréquence de ce filtre. On vérifiera que ω02= ω1 ω2
3- a) Déterminer le gain en décibels et la phase ϕ pour ω → 0 et pour ω → ∞ .
EL 310 :Filtre RLC
R
C
s(t)
1) Calculer la fonction de transfert du filtre ci-dessous :
La mettre sous la forme canonique habituelle
H0
H =
ω ω
1 + jQ.( − 0 )
ω0
ω
2) Déterminer à l’aide du diagramme de Bode suivant les valeurs de L et C. On donne : R = 100 Ω
3-b) Calculer le gain en décibel et la phase ϕ pour les pulsations particulières ω0, ω1 , ω2 de la
tension d'entrée.
3-c) Tracer le diagramme de Bode de ce filtre.
On donne R = 10 kω et C = 25 nF.
EL 303 :
Que vaut la bande passante ∆f de ce filtre ?
3) On alimente le circuit précédent par un signal rectangulaire, et on mesure à l’oscilloscope les tensions en entrée
et en sortie. Justifier les courbes obtenues par une analyse spectrale.
4) Une transformée de Fourier rapide (FFT), réalisable à l’aide d’un logiciel ou par un oscilloscope numérique,
permet le calcul et l’affichage du spectre des signaux d’entrée et de sortie. Attribuer le bon spectre à chaque
signal, et vérifier que ceux-ci sont en accord avec les résultats connus.
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Echantillonnage
EL 401 : Observation stroboscopique d’une pièce de moteur
Une pièce d’un moteur tourne à raison de f0 = 6000 tours/minute. Sachant que l’observation à l’œil est
confortable à partir d’une vingtaine d’images par seconde, déterminer les fréquences possibles du stroboscope fs
pour observer un mouvement apparent ralenti dans le sens réel à raison de fapp = 1 tour/s.
Comment observer confortablement un mouvement rétrograde à la même fréquence ?
EL 405 : Choix d’un nombre de points lors d’un échantillonnage
On souhaite réaliser l'échantillonnage d'un signal s(t). Les paramètres de l'échantillonnage sont :
- N nombre de points,
- fe fréquence d'échantillonnage.
1 kHz
10 kHz
100 kHz
1 kHz
10 kHz
100 kHz
EL 313 : Étude partielle d'un onduleur
1) Que vaut la période d'échantillonnage et l'intervalle minimum entre deux raies pour N = 1000 et fe = 20 kHz.
Comment s'applique le théorème de Shannon dans ces conditions ? Comment diminuer l'intervalle minimum entre
deux raies ? Comment échantillonner un signal de fréquence plus élevée ?
On rappelle qu’un signal de durée ∆t dans le domaine temporelle a une étendue ∆f dans le domaine spectral avec :
∆t.∆f ≈ 1
On étudie un onduleur de secours permettant de reconstituer un réseau
alternatif monophasé à partir de batteries délivrant une fonction continue UB.
Un premier dispositif transforme la tension continue en u(t) représentée cicontre
a) Quelle est la valeur efficace U de u(t) définie comme U2 = <u2 (t)> , où <>
est la valeur moyenne ?
b) La décomposition en série de Fourier de u(t) est :
2) Le nombre de points d'échantillonnage est imposé pour un oscilloscope. Proposer une valeur de tobs pour
visualiser deux signaux sinusoïdaux de fréquence 4000 et 4020 Hz avec N = 4096.
3) On souhaite visualiser le spectre de Fourier d'un signal créneau d'amplitude 5 V et de fréquence 100 Hz.
Proposer une valeur de N et de la fréquence d'échantillonnage.
4) On observe le spectre de Fourier d'un signal créneau avec fe = 900 Hz. Interpréter
amplitude
Justifier que tous les termes en cosinus sont nuls
c) La distorsion globale dg de la tension u(t) dépend du taux d'harmoniques : si on note U1 la valeur efficace du
fondamental de u(t) , et Un la valeur efficace de l'harmonique de rang n, la distorsion globale est définie par :
Calculer dg pour u(t) . Le cahier des charges impose dg 5 % . Commenter.
On donne :
d) Dans un onduleur à modulation de largeur d'impulsion, la tension u(t) est de la forme suivante :
S'attend-on a priori à un meilleur ou pire taux de distorsion ? Le taux de distorsion globale est alors dg = 49 % .
Essayer de donner une explication.
e) Par quelle méthode peut-on espérer diminuer le taux de distorsion ? Quel est l'avantage du second signal par
rapport au premier ?
EL 406 : Principe d'un oscilloscope numérique
La structure de principe d'un oscilloscope numérique est représentée à la figure ci-dessous.
Elle comprend :
- un étage atténuateur, dont l'impédance d'entrée est très élevée (1 MΩ couramment) ;
- un échantillonneur prélevant Ne échantillons par seconde ;
- un convertisseur analogique-numérique C.A.N. dont les valeurs successives sont transférées dans une mémoire
tampon à accès très rapide ;
- une unité de traitement et d'affichage qui permet, à la suite de l'acquisition, d'exploiter les données prélevées.
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Nous détaillons successivement les contraintes et les grandeurs caractéristiques intervenant dans les acquisitions,
compte tenu de la très grande variété de situations. Il est demandé de commenter, en les interprétant, les conseils
donnés (la plupart émanent de notices d'appareils) et de proposer, le cas échéant, des valeurs répondant aux
contraintes fixées.
1. Aspects fréquentiels
Un utilisateur désire disposer d'une grande gamme d'analyse, allant de 0,1 Hz à 10 MHz et pouvoir examiner des
signaux de formes très diverses : sinusoïdale, carrée, impulsionnelle. Il demande conseil pour choisir l'appareil qui
lui convient.
a) Justifier ce premier conseil : « ne pas se contenter d'un oscilloscope dont la bande passante soit égale à la
fréquence maximale des signaux à analyser, car elle ne serait pas suffisante pour les formes carrée et a fortiori
impulsionnelle ».
b) Justifier de même la recommandation : « le taux d'échantillonnage Ne recommandé ne peut se limiter à 2
échantillons par période, il en faut au moins 5, voire 10... ».
c) Laquelle des limites 0,1 Hz et 10 MHz conduit au choix le plus contraignant pour fixer la cadence maximale
Ne,max ?
d) La notice précise que, pour une bonne gestion de la capacité mémoire, le taux Ne est ajusté en fonction du
calibre sélectionné. En supposant qu'un échantillon occupe 2 octets dans la mémoire tampon de capacité 256 ko,
quel taux Ne maximal permettrait d'observer 10 périodes d'un signal de fréquence 10 kHz ? On restreint la cadence
à 100 Méch.s-1, combien un balayage occupe-t-il de capacité mémoire ? Combien cela représente-t-il de points par
période ?
2. Résolution
Le choix du convertisseur est également important, il conditionne fortement le prix de l'appareil.
a) Justifier et commenter les valeurs portées dans le tableau suivant (p.p.m. signifie partie par million, soit 10-6).
Nombre de bits
Nombre de niveaux
Plus petite variation détectable
8
256
0,4 %
12
4 096
244 p.p.m..
16
65 536
15 p.p.m
b) L'utilisateur veut pouvoir examiner des signaux dont l'amplitude va de quelques dixièmes de millivolts à 240 V
(utilisations en électricité domestique). Doit-il chercher un convertisseur couvrant cette gamme ?
c) Le conseil qui lui est donné est d'utiliser un atténuateur externe par un facteur 1/10 dans les applications
domestiques et, sinon, d'ajuster le calibre à l'amplitude des signaux examinés. Justifier ces conseils en distinguant
une application de dépannage d'un appareil électroménager et celle qui concerne des tests sur du matériel
informatique.
Un interrupteur ouvert est l'état 0 et un interrupteur fermé est l'état 1. Par exemple, 1101 signifie que K0 = 1, K1
= 1, K2 = 0 , K3 =1.
Ug
Un convertisseur courant-tension (bloc en pointillés) donne une
tension Ug. On donne la caractéristique entrée-sortie du
convertisseur (voir tracé) : il se comporte en sortie comme un
Ug = Vsat (saturation)
Vsat
générateur de tension parfait de f.e.m Ug = R’i tant que la tension
de saturation Vsat = 15 V n'est pas atteint. Il sature à Vsat =15 V
Ug = R’.i
si on lui demande une tension supérieure.
i
1. Déterminer l'intensité du courant circulant dans la résistance Rn en fonction de Kn R et E. En déduire us en
fonction des Kn, de R, R' et de E . Commenter le résultat obtenu.
2. Application numérique. On choisit dans un premier temps R = R' et E = 1 V . Calculer la valeur de la tension
correspondant à 0000, 0001, 0010, 0011, 0100. Calculer également la tension de sortie maximale,
correspondant à 1111. Commentaire ?
3. En réalité, le signal audio est enregistré sur un CD avec 16 bits. On place donc en parallèle 16 résistances de
valeur Rn = R/2n (0 ≤ n≤ 15 ). Calculer la valeur maximale correspondante (convertie en décimal), et en
déduire la tension maximale demandée en sortie du montage. Quel problème cela pose-t-il ?
4. Pour remédier à ce problème, on décide de changer les valeurs de R, R' et E. Quelle condition doivent vérifier
les composants pour que le convertisseur courant-tension ne soit jamais saturé ?
EL 410 : Le CD audio
Nous cherchons à enregistrer un concert sur un CD audio, en format non compressé (WAV par exemple) afin de
ne pas perdre en qualité. Le son est capté par un microphone (signal analogique), puis filtré par un passe-bas, et
enfin échantillonné avec une fréquence fe . La fréquence d'échantillonnage d'un CD audio est de fe = 44100 Hz , et
la quantification est faite sur 16 bits (chaque mesure est codée sur 16 bits).
1. Quelle est la gamme de fréquence audible ? Quelle doit-être alors la fréquence d'échantillonnage minimale pour
enregistrer tout le spectre audible ? La fréquence fe = 44100 Hz est-elle compatible ?
2. On choisit tout d'abord de ne pas mettre le filtre passe-bas en amont du CAN. Un son de fréquence f =
43000Hz est présent lors du concert.
2-a) Ce son est-il audible lors du concert ? Que deviendra-t-il après échantillonnage ? En quoi cela pose problème ?
2-b) Expliquer en quoi l'ajout du filtre passe-bas en amont de l'échantillonneur peut résoudre ce problème. Estimer
sa fréquence de coupure.
EL 409 : Convertisseur numérique/analogique 4 bits à résistances pondérées
Afin d'écouter la musique d'un CD audio, on envoie la sortie numérique donnée par le lecteur CD (ou l'ordinateur)
à l'entrée d'un haut-parleur. Le haut-parleur fonctionnant avec un signal analogique, un CNA 4 bits à résistances
pondérées représenté ci-après est utilisé. Il est constitué d'une tension E constante de référence, de 4 résistances
notées n (0 ≤ n ≤3) de valeur Rn = R /2n et de 4 interrupteurs Kn.
2-c) Quel autre problème peut apporter à son tour ce filtre ? Pour atténuer ce problème, on augmente l'ordre du
filtre, et on effectue un sur-échantillonnage (fe un peu plus élevée que prévu par le critère de Shannon). Expliquer
pourquoi.
3. On cherche maintenant à calculer la durée d'enregistrement que peut contenir un CD audio enregistrable du
commerce, soit 700 Mo.
3-a) Sachant que l'enregistrement s'effectue à fe =44100Hz sur 16 bits d'échantillonnage, et que l'on enregistre en
stéréo, donc 2 sons (2 signaux), de combien de bits a-t-on besoin pour enregistrer 1 seconde de concert ?
3-b) Quelle durée de concert peut-on enregistrer sur le CD de 700 Mo ? On rappelle que 1 octet vaut 8 bits.
3-c) Il est possible de compresser le signal pour l'enregistrer au format MP3. La fréquence d'échantillonnage et la
quantification sont inchangées, mais un traitement numérique du signal repère les redondances pour ne les écrire
qu'une seule fois, et enlève les signaux peu audibles. Le taux de compression peut aller de 4 à 20. Quelle durée de
musique peut-on alors enregistrer sur 700 Mo ?
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