NOMBRES PARTICULIERS

1
Des nombres particuliers
Diviseurs
page 2
Quelques critères de divisibilité
page 3
Nombres premiers entre eux
page 4
Les nombres premiers
page 5
La conjecture de GOLDBACH
page 6
Nombres premiers jumeaux
page 7
Nombres premiers de Sophie Germain
page 8
Les nombres parfaits
page 9
Nombres de Mersenne
page 10
Nombres de Mersenne et nombres parfaits page 11
Présentation rapide de quelques concepts qui seront utilisés en cryptographie.
2
Diviseurs
Si a est un entier alors l’entier d est un diviseur de a lorsque que
1) d ≠ 0 2) aMODd = 0
Donc : d est un diviseur de a veut dire : il existe un entier k tel que a = d × k , k
est alors aussi un diviseur de a.
Vocabulaire si d est un diviseur de a on dit aussi « a est divisible par d ».
Notation
Si a est un entier div(a ) désigne l’ensemble des diviseurs positifs de a.
Remarques
1) div(a ) n’est jamais vide puisque 1∈ div(a ) dans tous les cas.
2) div(0) est l’ensemble de tous les entiers positifs non nuls puisque 0 = d × 0
pour tout entier positif d. div (0) = {1; 2; 3; .....; n − 1; n ; n + 1;.........}
3) pour tout entier a : div (a ) = div ( a ) et a ∈ div(a ) .
Exemples
div(1) = {1}, div ( 2) = {1; 2}, div(3) = {1;3}, div( 4) = {1;2;4}, div (5) = {1;5}, div (6) = {1;2;3;6},
div(7) = {1;7}, div(8) = {1;2;4;8}, div (9) = {1;3;9}, div (10) = {1;2;5;10}
div( −10) = {1;2;5;10} = div(10)
Nombre pair (définition connue de tous)
Le nombre entier a est un nombre pair veut dire 2∈ div(a ) (un nombre qui
n’est pas pair est dit nombre impair).
Par exemple 0 est un nombre pair puisque 2∈ div(0).
Remarque (pour un grand entier a)
Pour trouver l’ensemble div(a ) il suffit de trouver les diviseurs de a inférieurs
ou égaux à
a . et à chaque diviseur inférieur à a il correspond un diviseur
supérieur à a : d ≤ a et a = dk : k est un diviseur de a et k ≥ a .
• On utilise une calculatrice si nécessaire.
Exemples div(50) :
d 1 2 5
k 50 25 10
50 = 7,07......div (50) = {1;2;5;10;25;50}
3
Quelques critères de divisibilité
(Connus de tous, les nombres sont écrits en base 10)
a divisible
par
2
3
4
5
6
7
8
9
11
125
Critère
Il se termine par un chiffre pair. Exemple 12345678.
La somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple 12345678.
Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Exemples 123456708 , 123456788.
Il se termine par 0 ou 5. 12345 , 1230.
Divisible par 2 et par 3 (se termine par un chiffre pair et la somme
de ses chiffres est divisible par 3). Exemple 123456.
Le double du dernier chiffre soustrait au nombre de dizaines est
divisible par 7. Exemple 7189 (718 − 2 × 9 = 700).
Les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
Exemples 14008 ; 14072 (72 = 9 × 8) ; 14664 (664 = 83 × 8) .
La somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple 123456789
La différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et celle de
rang impair est divisible par 11. Exemple 1639263923
Les 3 chiffres de droite forment un nombre divisible par125 c'està-dire :125 ; 250 ; 375 ; 500 ; 625 ; 750 ; 875
Exemples : 1234567125 et 1234567875
4
Nombres premiers entre eux
Définition
Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque div (a ) ∩ div ( b) = {1 }.
Exemples
1) Si b est un nombre impair alors 2 et b sont premiers entre eux puisque
div( 2) = {1;2} donc : div ( 2) ∩ div ( b ) ⊂ div (2) = {1;2}.
Puisque 2 ∉ div ( b), 2 ∉ div (2) ∩ div( b ) et : div (2) ∩ div( b ) = {1 }.
1) 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux puisque
div ( 4) ∩ div (10) = {1;2;4}∩ {1;2;5;10} = {1;2} ≠ {1 }
2) 4 et 9 sont premiers entre eux puisque div ( 4) ∩ div (9) = {1;2;4}∩ {1;3;9} = {1}.
Deux propriétés des nombres premiers entre eux
(Démonstration : voir plus loin)
a, b, c sont des entiers.
I. Lemme de Gauss
Si a est un diviseur de b × c et si a est premier avec b alors a est un diviseur de c.
Exemples
1) Si b est un nombre impair et si b × c est un nombre pair alors c est un nombre
pair : 2 est un diviseur de b × c et 2 est premier avec b donc 2 divise c.
II.
Si a et b sont deux nombres entiers non nuls premiers entre eux et si c est
divisible par a et par b alors c est divisible par a × b .
Exemples
1) 8∈ div(14664) puisque le nombre formé par les 3 derniers chiffres est
divisible par 8 : 664 = 8 × 83 , 3∈ div(14664) puisque la somme des chiffres qui
composent 14664 est divisible par 3 (1 + 4 + 6 + 6 + 4 = 21) , div (8) ∩ div (3) = {1 }.
Donc 8 × 3 ∈ div (14664) : 14664 = (8 × 3) × 611
2) 8 ∈ div (123122664) puisque 8 ∈ div(664) et 9 ∈ div (123122664) puisque
9 ∈ div (1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 2 + 6 + 6 + 4) ; div(8) ∩ div(9) = {1} donc :
8 × 9 = 72 ∈ div (123122664)
Remarque il peut exister a et b ne sont pas premiers entre eux tels que a divise c
et b divise c et ab divise c (en particulier si ab = c ) .
Exemple 48 divisible par 6 et par 4 et aussi par 6 × 4.
5
Les nombres premiers
Définition un entier positif p est dit nombre premier lorsque :
Le nombre des éléments de div ( p) est égal à 2
Remarque 1 n’est pas un nombre premier puisque div (1) = {1 } donc
le nombre des éléments de div (1) est égal à 1 et non à 2.
Exemples de nombres premiers
2; 3; 5; 7; 11; 13; 151; 1601
Remarque le seul nombre premier pair est 2, et c’est le plus petit, en effet si n
est un nombre pair différent de 2 {1; 2; n}⊂ div ( n ) et le nombre des éléments de
div( n ) n' est pas égal à 2 .
• Les nombres premiers sont difficiles à connaître.
Le polynôme d’Euler
P( n ) = n 2 + n + 41 = n( n + 1) + 41 est le polynôme d ' Euler.
Ce polynôme possède la propriété suivante :
pour tout entier n prenant les valeurs de 0 à 39 P( n ) est un nombre premier.
Exemples
P(39) = 1601 est un nombre premier P(38) = 1523 est un nombre premier ...........
P(0) = 41 est un nombre premier.
Propriété 1 des nombres premiers
Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux :
p1 et p 2 sont premiers et p1 ≠ p 2 : div ( p1) ∩ div ( p 2 ) = {1; p1}∩ {1; p2 } = {1 }
puisque p1 ≠ p2 .
Propriété 2 des nombres premiers
Si p est un nombre premier alors pour tout entier a
{1 ; p} si p ∈ div(a )
div(a ) ∩ div ( p) = 
{1 } si p ∉ div (a )
• Si p n’est pas un diviseur de a alors p est premier avec a.
• Si p n’est pas premier avec a alors p est un diviseur de a.
Pour savoir si un nombre impair p est un nombre premier il suffit de vérifier
qu’aucun nombre inférieur ou égal à p ne divise p.
Les nombres premiers de 1 à 100 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 et 97.
6
La conjecture de GOLDBACH
Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.
(Ce résultat n’est pas démontré, c’est une conjecture, pour l’instant on ne
connait pas de nombre pair supérieur à 2 qui ne soit pas la somme de 2 nombres
premiers.)
Vocabulaire
Si n est un entier pair tel que n = p + q avec p et q premiers on dit que p et q sont
des composants de Goldbach ne n (ou que (p ; q) est un couple composant de
Goldbach de n).
Exemples
4 = 2 + 2 : couple composant de Goldbach (2 ; 2)
6 = 3 + 3 : couple composant de Goldbach (3 ; 3)
8 = 3 + 5 : couple composant de Goldbach (3 ; 5)
10 = 3 + 7 = 5 + 5 : couple composant de Goldbach (3 ; 7) (5 ; 5)
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3+13 = 5+11
50 = 19 + 31 = 13 + 37 = 7 + 43 = 3 + 47 : couple composant de Goldbach
(19 ; 31) (13 ; 37) (7 ; 43) (3 ; 47).
Exercice rapide
Décomposer 18 et 20 en somme de deux nombres premiers (commencer par le
plus petit nombre premier et augmenter ensuite).
7
Nombres premiers jumeaux
Définition Les nombres premiers p1 et p2 sont dit « nombres premiers
jumeaux » lorsque p2 − p1 = 2 . On dit aussi « (p1 ; p2 ) est un couple de
nombres premiers jumeaux.
Exemple
(2;3) n' est pas un couple de nombres premiers jumeaux.
(3;5) , (5 ;7 ) , (11;13) , (17;19 ) sont des couples de nombres premiers jumeaux.
Remarque
Le plus grand couple de nombre premiers jumeaux connu aujourd’hui est :
 3756801695685 × 2666669 − 1 ; 3756801695685 × 2666669 + 1


Chacun des nombres le composant possède 200700 chiffres en écriture décimale
(découvert en décembre 2011).
I. Si a et b sont jumeaux tels que a ≥ 5 et b ≥ 5 alors
a+b
est divisible par 2 et
2
par 3 donc par 6.
(Rappel Si x et y divisent m et si x et y sont premiers entre eux alors
x × y divise m.)
Preuve
a+b a+a+2
a<b:
= a +1
=
2
2
• Puisque a est premier ≥ 5 a est impair donc a + 1 est pair et divisible par 2.
• Si a + 1 n’était pas divisible par 3 alors il y a 2 possibilités :
1)( a + 1) MOD3 = 1
donc a + 1 = 3k + 1 et a = 3k : impossible si a ≥ 5 puisque a est premier.
(Re marque si a < 5: a = 3 × 1 est premier )
2) ( a + 1) MOD3 = 2
donc a + 1 = 3k + 2 et b = a + 2 = 3( k + 1) : impossible puisque b > 5 est premier.
II. Si a et b sont jumeaux alors a + b est divisible par 12 lorsque a ≥ 5 et b ≥ 5
a+b
puisque
est divisible par 6.
2
III. Si (a ; b) est un couple de nombre premiers jumeaux il existe un entier m tel
que (a ; b) = (6m − 1; 6m + 1 )
a+b
a+b
a+b
En effet : a =
−1 b =
+ 1 et
= 6m .
2
2
2
a+a+2
2a
a+b
b−2+b
2b 
a +b
−1 =
−1 =
et
+1 =
+1 = 

2
2
2
2
2 
 2
8
Nombres premiers de Sophie Germain
Définition
Un nombre premier p est un nombre premier de Sophie Germain lorsque le
nombre 2 p + 1 est encore un nombre premier.
Une liste de nombres premiers de Sophie Germain
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419,
431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031,
1049, 1103, 1223, 1229, 1289......
La répartition des nombres premiers de Sophie germain parmi les nombres
premiers de 1 à 100 (en caractères gras) :
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13, 17,19 , 23 , 29 , 31, 37 , 41 , 43, 47 , 53 , 59, 61, 67, 71 ,
73, 79 , 83 , 89 , 97 .
Chaîne de Cunningham
Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain
est appelée une chaîne de Cunningham (de première espèce).
• Le dernier terme de la liste est un nombre premier qui n’est pas de Sophie
Germain.
Exercice rapide
Vérifier que les nombres en caractères gras parmi les nombres premiers de 1 à
100 sont des nombres premiers de Sophie Germain.
Détecter une chaine de Cunningham la plus longue possible dans la liste
précédente des nombres premiers de Sophie Germain de 1 à 100
9
Les nombres parfaits
Définition
Un nombre entier n est un nombre parfait lorsque n > 1 et lorsque n est la
somme de ses diviseurs positifs différents de n.
Remarque
On peut aussi définir un nombre parfait comme un nombre entier n tel que
n > 1 et la somme de ses diviseurs est égale à 2 × n.
En effet, la somme des diviseurs positifs de n est la somme des diviseurs positifs
de n différents de n augmenté de n (qui est aussi un diviseur de n).
Voici les 12 premiers nombres parfaits :
• 6 • 28 • 496 • 8128 • 33 550 336 • 8 589 869 056 • 137 438 691 328
• 2305843008139952128
• 2658455991569831744 654692615953842176
• 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
• 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117
783728128
• 14474011154 664524427946373126085988481573677491474835
889066354349131199152128
Indication On ne sait pas s’il existe des nombres parfait impairs.
Propriétés
1) Un nombre parfait différent de 6 est une somme de la forme
13 + 33 + ......( 2( k − 1) + 1)3 + (2 k + 1)3 + ( 2( k + 1) + 1)3......
Exemples
• 28 = 13 + 33
• 496 = 13 + 33 + 53 + 73
• 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153
2) La somme des inverses de tous les diviseurs d’un nombre parfait (l’inverse du
nombre lui-même compris) est égale à 2.
Exemples
1 1 1 1 6 + 3+ 2 +1 2 ×6
div(6) = {1;2;3;6} + + + =
=
=2
1 2 3 6
6
6
Travail à faire Justifier que la somme des inverses de tous les diviseurs d’un
nombre parfait est égale à 2.
Les nombres parfaits sont liés aux nombres de Mersenne.
10
Nombres de Mersenne
Propriété
Soit s un entier supérieur à 1. Si n = 2s − 1 est un nombre premier alors s est
aussi un nombre premier.
• Mais si s est un nombre premier alors n = 2s − 1 peut ne pas être premier par
exemple 211 − 1 = 2047 = 23 × 89
Preuve
Si s n’est pas un nombre premier alors il existe les entiers positifs a et b tels que
s = a × b et a ≠ 1 , b ≠ 1.
b
n = 2s − 1 = 2a ×b − 1 =  2a  − 1
 
2
b −1 

 ×  2a − 1
= 1 + 2a +  2a  + .... +  2a 

 
 
 



En effet si X ≠ 1 alors 1 + X + X 2 + .... + X n −1  × (X − 1) = X n − 1


Puisque a ≠ 1 , b ≠ 1: 2a − 1 ≠ 1 et n = 2s − 1 n’est pas premier.
Donc si n = 2s − 1 est un nombre premier s est obligatoirement un nombre
premier.
Définition
Un nombre de Mersenne est un entier n qui s’écrit :
n = 2s − 1 avec s qui est un nombre premier.
Notation Si s est un nombre premier on note parfois M s = 2s − 1 le nombre de
Mersenne correspondant.
• Il existe des nombres de Mersenne non premiers par exemple :
M11 = 211 − 1 = 23 × 89
M 2 , M 3 , M 5 , M 7 sont premiers
Aujourd’hui on connaît 48 nombres de Mersenne premiers ; le plus grand est :
M 57885161 = 257885161 − 1 , il contient 17425170 chiffres en numérotation
décimale.
Quelques nombres de Mersenne non premiers
M s pour s ∈ {11; 23; 29; 37; 41; 47; 53; 59}
M59 = 259 − 1 = 79951 × 3203431780337
11
Nombres de Mersenne et nombres parfaits
Propriété s est un entier supérieur à 0.
Si 2s − 1 est un nombre premier alors 2s −1 ×  2s − 1 est un nombre parfait.


C'est-à-dire :
Si M s est un nombre de Mersenne premier alors 2s −1 × M s est un nombre
parfait.
Preuve
Si 2s − 1 est un nombre premier alors les diviseurs de 2s −1 ×  2s − 1 sont :


1;2;22 ; .......;2s −1;  2s − 1 ; 2 ×  2s − 1 ; 22 ×  2s − 1 ; .......; 2s −1 ×  2s − 1 .











La somme de ces diviseurs est
1 + 2 + 2 2 + ......... + 2s −1 +
 2s − 1 + 2 ×  2s − 1 + 22 ×  2s − 1 + ......... + 2s −1 ×  2s − 1








= 1 + 2 + 22 + ......... + 2s −1 +  2s − 1 × 1 + 2 + 22 + ......... + 2s −1 

 

2
= 2s − 1 +  2s − 1 =  2s − 1 × 1 + 2s − 1 = 2s ×  2s − 1 = 2 × 2s −1 ×  2s − 1




 




La somme des diviseurs de 2s −1 ×  2s − 1  est 2 ×  2s −1 ×  2s − 1   donc


 


2s −1 ×  2s − 1  est un nombre parfait .


C’est un nombre parfait pair.
Rappel
Un nombre parfait est un nombre entier n tel que :
n > 1 et la somme de ses diviseurs est égale à 2 × n.
• On peut montrer que tout nombre parfait pair s’écrit 2s −1 ×  2s − 1


2s −1 ×  2s − 1 avec  2s − 1 premier.




Exercice rapide Donner 4 nombres parfaits et vérifier si possible qu’ils sont
bien parfaits.
Rappel M 2 , M 3 , M 5 , M 7 sont premiers .