Contrôle n˚2. Spécialité page 1 de 1 Contrôle n˚2. Spécialité Durée : 2 heures. les calculatrices sont autorisées On rappelle : (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 a) Soit (a, b) un couple solution. Démontrer que PGCD(a, b) = 7. b) En déduire les couples (a, b) solutions. I 30 minutes, 5 points IV Soit n un entier naturel non nul. On pose : a = n3 + 3n2 + 2n − 4 et b = n2 + 2n − 1. 1. Déterminer deux entiers naturels α et β tels que pour tout n, on ait : n3 + 3n2 + 2n − 4 = (n2 + 2n − 1)(αn + β) + n − 3 2. En déduire, suivant les valeurs de n, le reste de la division de a par b 3. On suppose n > 3. Démontrer que PGCD(a, b) = PGCD(n − 3, 14). 4. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles PGCD(a, b) = 7. II Soit f la fonction qui, à tout entier relatif n, associe le reste de la division euclidienne de 11n − 18 par 26. 1. Démontrer que, si f (a) = f (b), alors a ≡ b [26]. 2. a) Enoncer un théorème du cours qui prouve qu’il existe au moins un entier x tel que 11x ≡ 1[26] (on ne demande pas de trouver une valeur de x). b) Déterminer tous les entiers relatifs x tels que 11x ≡ 1 [26]. 3. Soit x un nombre tel que 11x ≡ 1 [26]. Démontrer que le reste de xf (n) − n par 26 est indépendant de n (il n’est pas nécessaire d’avoir résolu la question 2 ). 20 minutes, 3 points 1. Soit x un entier relatif non multiple de 3. Démontrer que x3 ≡ 1 [9] ou x3 ≡ −1 [9] 3 3 3 2. Soient a, b, c des entiers relatifs tels que a + b + c ≡ 0 [9]. Démontrer que abc ≡ 0 [3] III 30 minutes, 5 points 40 minutes, 7 points 1. Soient a et b deux nombres entiers naturels dont la somme et le produit ont pour PGCD le carré d’un nombre premier p : PGCD(a + b, ab) = p2 . a) En remarquant que a2 = a(a + b) − ab, démontrer que p2 divise a2 . b) En déduire que p divise a. On admettra que, de même, on peut prouver que p divise b. c) Démontrer que PGCD(a, b) divise p2 . d) Démontrer que PGCD(a, b) est soit p soit p2 . 2. On se propose de déterminer les couples (a, b) d’entiers naturels a et b tels que : a < b, PGCD(a + b, ab) = 49 et PPCM(a, b) = 231. 4. Facultatif, hors barême. Bonus éventuel Donner un procédé général permettant de résoudre le problème suivant : Pour tout k ∈ [0; 25], déterminer les n ∈ [0; 25] tels que f (n) = k. (Ce procédé doit être direct, c’est-à-dire sans faire de tables exhaustives de valeurs). Appliquer ce procédé aux cas suivants : k = 0, k = 1, k = 2 (les solutions obtenues par autre chose que ce procédé ne seront pas prises en compte).