Les équations différentielles stochastiques: une introduction Plan de

Les équations différentielles stochastiques:
une introduction
Les méthodes stochastiques dans les sciences de la gestion
Plan de la présentation
6-640-93
• Les équations différentielles ordinaires
Geneviève Gauthier
• Une introduction aux équations différentielles stochastiques
Dernière mise à jour : 19 mars 2002
Les équations différentielles ordinaires
Lorsque nous modélisons certaines situations, nous ne savons pas a priori
quelle fonction nous devons utiliser, car nous n’avons qu’une connaissance
locale du comportement de notre système. Par exemple, supposons que
f (t) représente le prix d’une denrée à l’instant t. Nous écrivons
f (t + ∆t) − f (t) = µ ∆t f (t) où µ ≥ 0
pour signifier que la variation f (t + ∆t) − f (t) du prix de la denrée au
cours d’une période de temps est proportionnelle à la longueur ∆t de la
période de temps considérée ainsi qu’au prix f (t) de la denrée au début
de la période, c’est-à-dire µ ∆t f (t) , µ étant une constante. En divisant
de part et d’autre de l’égalité par ∆t, nous obtenons
f (t + ∆t) − f (t)
= µ f (t) .
∆t
Prenons maintenant la limite lorsque ∆t tend vers zéro :
f (t + ∆t) − f (t)
d
f (t) = lim
= lim µ f (t) = µ f (t) .
∆t→0
∆t→0
dt
∆t
Les équations différentielles ordinaires (suite)
Rappelons que nous considérons l’équation
d
f (t) = µ f (t) .
dt
La notation souvent employée pour les équations différentielles permet de
réécrire l’équation précédente :
d f (t) = µ f (t) dt.
(1)
Notons que, techniquement parlant, l’objet d f (t) n’est pas bien défini.
Cette dernière équation n’est qu’une notation pour exprimer ”la dérivée
de la fonction est proportionnelle à la fonction elle-même”, c’est-à-dire
d
dt f (t) = µ f (t) . L’inconnue, dans cette équation, est la fonction f .
Nous cherchons les fonctions qui satisfont cette égalité.
1
Les équations différentielles ordinaires (suite)
Rappelons que nous étudions l’équation
d f (t) = µ f (t) dt.
(1)
Il est possible de montrer que la fonction définie pour tout t ∈ R par
f (t) = ceµt, où c est une constante quelconque,
(2)
satisfait l’équation (1). En effet, dans ce cas,
d
d
f (t) = ceµt = µceµt = µf (t) .
dt
dt
Nous déterminons la constante c à l’aide de la condition initiale. Nous
connaissons le prix f0 de la denrée aujourd’hui. Par conséquent,
Dans cet exemple, la connaissance du comportement infinitésimal du prix
de la denrée (d f (t) = µ f (t) dt) et du prix initial f0 suffit à déterminer
de façon exacte le prix à tout instant.
f0 = f (0) = ceµ×0 = c,
ce qui entraı̂ne que le prix de la denrée au temps t est
f (t) = f0eµt.
Les équations différentielles ordinaires (suite)
Les équations différentielles ordinaires (suite)
Rappelons que nous étudions l’équation
d f (t) = µ f (t) dt.
(1)
L’équation (1) est un exemple d’une équation différentielle ordinaire et
ce dernier se comporte de façon tout à fait charmante puisqu’il existe au
moins une fonction f qui satisfait l’équation (1) et, de plus, il est possible
de montrer que cette fonction est nécessairement de la forme décrite en
(2) :
f (t) = f0eµt.
Il existe des équations différentielles ordinaires beaucoup moins sympatiques. Par exemple,
f (t)
dt.
t2
La solution de cette équation a la forme
(3)
d f (t) =
1
f (t) = ce− t où c est une constante.
Il faut maintenant spécifier c à l’aide de la condition initiale. Or f (0) = 0
quel que soit c, ce qui implique que (3) possède une infinité de solutions
lorsque f (0) = 0 et n’en possède aucune lorsque f (0) = 0.
2
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Introduction aux équations
différentielles stochastiques
Rappel
St+∆t − St = µ St ∆t
Supposons maintenant que le processus stochastique S = {St : t ≥ 0}
représente l’évolution du prix d’un actif risqué. Nous ne connaissons pas,
en général, la loi qui gouverne un tel processus, mais nous avons peut-être
une idée de son comportement local. Par exemple, sur un court intervalle
de temps de longueur ∆t, il est possible que ce prix ait tendance à varier
proportionnellement à la longueur de la période et au prix de l’actif au
début de la période. Nous écrivons, pour débuter,
Il y a cependant un problème avec cette dernière équation : nous ne
sommes pas certain que le prix varie proportionnellement à la longueur de
la période et au prix de l’actif, nous prétendons seulement qu’il a tendance
à le faire. Il faut donc incorporer à notre équation une erreur non prévisible.
Nous pouvons toutefois contrôler l’ampleur de cette erreur aléatoire. Par
exemple, nous pouvons supposer qu’elle dépend du prix de l’actif en début
de période. En effet, nous constatons que plus le prix est élevé, plus le prix
de l’actif risqué peut s’écarter de la tendance. De plus, l’erreur aléatoire
doit aussi dépendre de la longueur de l’intervalle de temps considéré : plus
l’intervalle est grand, plus le prix risque de s’écarter de la tendance. C’est
pourquoi nous ajoutons un terme stochastique à notre équation de départ.
St+∆t − St = µ St ∆t.
Si, en général, les prix augmentent, alors µ est une constante positive et
si les prix tendent à diminuer, alors µ est négative.
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Le terme stochastique à ajouter à notre équation initiale nous mène à
l’équation
Concernant l’amplitude de l’erreur aléatoire, remarquons que (∆t)1/2 ξ t
est de loi N (0, ∆t) . De plus,
St+∆t − St = µ St ∆t + σ St (∆t)1/2 ξ t
(4)
où σ est une constante positive et ξ t est une variable aléatoire de loi
N (0, 1) indépendante de {Su : 0 ≤ u ≤ t}. Cette dernière condition est
importante, car nous ne devons pas être capable de prédire l’erreur ξ t en
observant le comportement du prix de l’actif risqué antérieurement à la
date t.
Cette équation est aléatoire et doit être satisfaite par ”presque” tous les
ω, c’est-à-dire que
Pr
1
1
= σSt (∆t) 2 E [ξ t]
= 0,
E
1
σ St (∆t) 2 ξ t
2
| σ {Su : u ∈ {0, ∆t, ..., t}}
= σ2St2∆tE ξ 2t
= σ2St2∆t,
ω ∈ Ω : St+∆t (ω) − St (ω) = µ St (ω) ∆t + σ St (ω) (∆t) 2 ξ t (ω)
vaut un.
1
E σ St (∆t) 2 ξ t | σ {Su : u ∈ {0, ∆t, 2∆t..., t}}
ce qui implique que l’écart-type conditionnel de notre terme d’erreur est
σSt (∆t)1/2. Ainsi, plus la longueur de l’intervalle de temps ∆t est grande
ou plus le prix St du titre est élevé, plus l’écart-type de l’erreur aléatoire
est grand. Cela implique que les valeurs pouvant être prises par l’erreur
aléatoire sont plus dispersées autour de son espérance (qui est de zéro).
3
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Rappel
St+∆t − St = µ St ∆t + σ St (∆t)1/2 ξ t.
(4)
Réécrivons l’équation (4) pour la période suivante :
St+2∆t − St+∆t = µ St+∆t ∆t + σ St+∆t (∆t)1/2 ξ t+∆t.
Si nous ne voulons pas être en mesure de prédire l’erreur ξ t+∆t, il faut que
cette dernière soit indépendante de {Su : u ∈ {0, ∆t, ..., t + ∆t}}. Pour
cette raison, nous introduisons le mouvement brownien puisqu’il est un
processus gaussien dont les incréments sont mutuellement indépendants :
St+∆t − St = µ St ∆t + σ St Wt+∆t − Wt .
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Soit W = {Wt : t ≥ 0} un mouvement brownien construit sur un espace
probabilisé filtré (Ω, F, F, P ) tel que la filtration F est celle engendrée par
le mouvement brownien, augmentée de tous les événements de probabilité
nulle, c’est-à-dire que pour tout t ≥ 0,
Ft = σ (N et Ws : 0 ≤ s ≤ t) .
(5)
Notons que la loi de Wt+∆t − Wt est la même que la loi de (∆t)1/2 ξ t :
elles sont toutes deux de loi N (0, ∆t).
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Le prix de l’actif risqué aujourd’hui (t = 0) est connu avec certitude. S0
est donc (∅, Ω) −mesurable donc F0−mesurable. Reprenons l’équation (5)
en prenant t = 0.
En effet, supposons qu’il existe k ∈ {0, 1, 2, ...} tel que Sk ∆t est Fk ∆t−mesurable
Alors
S∆t
=
=
S0
+ µ
S0 ∆t +
σS
0
F0−mesurable
F0−mesurable
F0−mesurable
S(k+1) ∆t
F∆t−mesurable
(W
− W0)
∆t
F∆t−mesurable
indépendant de F0
Nous constatons que S∆t est F∆t−mesurable. Nous pouvons montrer par
induction que Sn ∆t est Fn ∆t−mesurable, quel que soit l’entier positif n.
S
k∆t
Fk ∆t −mesurable
+ µ Sk ∆t ∆t +
Fk ∆t−mesurable
σ Sk ∆t
Fk ∆t−mesurable
F(k+1) ∆t−mesurable
F(k+1) ∆t−mesurable
indépendant de Fk ∆t
W(k+1) ∆t − Wk ∆t
ce qui implique que S(k+1) ∆t est F(k+1) ∆t−mesurable. Notre processus
S habite sur le même espace probabilisé filtré que le mouvement brownien
W que nous avons utilisé pour le construire. 4
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Reprenons l’équation (5)
Pour répondre à ces questions nous considérons une équation différentielle
stochastique sous une forme plus générale
St+∆t − St = µ St ∆t + σ St Wt+∆t − Wt .
Lorsque les intervalles de temps de longueur ∆t deviennent de longueur
infinitésimale, nous obtenons une équation du type
dX (t) =
b (X (t) , t)
dt +
coefficient de dérive
a (X (t) , t)
dW (t) .
coefficient de diffusion
(6)
où les fonctions a : R × [0, ∞) → R et b : R × [0, ∞) → R sont des
fonctions mesurables.
dSt = µ St dt + σ St dWt.
Cette dernière équation est un exemple d’équation différentielle stochastique et elle devrait soulever quelques interrogations : (i) le terme σ St
dWt n’est pas bien défini, particulièrement si nous nous rappelons que les
trajectoires du mouvement brownien sont nulle part différentiables ! (ii)
existe-t-il une solution à cette équation ? et (iii) si cette solution existe,
est-elle unique et comment faisons-nous pour la trouver ?
Notons que la solution à une équation différentielle stochastique n’est pas,
comme dans le cas des équations différentielles ordinaires, une fonction
mais est un processus stochastique.
(i)
Que signifions-nous par a (X (t) , t) dW (t) ? Nous n’avons pas
défini ce terme. Dans les faits, l’équation (6) est la forme différentielle de
l’équation intégrale :
X (t) = X (0) +
t
0
b (X (u) , u) du +
t
0
a (X (u) , u) dW (u)
et nous connaissons maintenant la signification du terme
t
0
a (X (u) , u) dW (u) .
Références
Introduction aux équations différentielles stochastiques (suite)
Il n’existe pas toujours de solution à cette équation et nous verrons quelques
résultats nous donnant des conditions sur les fonctions b et a qui feront en
sorte qu’une solution existe. Pour répondre aux questions (ii) et (iii), nous
avons besoin de quelques outils supplémentaires.
Martin Baxter et Andrew Rennie (1996). Financial Calculus, an indroduction to derivative pricing, Cambridge university press.
Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (1991). Introduction au calcul
stochastique appliqué à la finance, Ellipses.
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