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CORRECTIONDEL'EXERCICE3(Obligatoire)–Télescopespatial (5points+=0,25)
1. Premièrepartie:étudedel'orbitedeHubble
+
++
1.1. LetélescopeHubbleévolueàunealtitudeconstanteh=600kmdelasurfacedelaTerre.
Dansleréférentielgéocentrique,satrajectoireestuncercle.
1.2. La 2ème loi de Newton appliquée au système {télescope}, dans le référentiel géocentrique
supposégaliléenindique 𝐹 = $%
$&
.
Enconsidérantqueletélescopen’estsoumisqu’àlaforce𝐹'/) d’attractiongravitationnelledela
Terre,ona𝐹'/) =
$%
$&
.
Lamassedusatelliteétantconstante,ona:𝐹'/) = 𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑚.𝑣)
𝑑𝑡
=
L’expressionvectorielledelaforcegravitationnelle𝐹'/) est:
𝑑𝑚
𝑑𝑣
.
𝑣
+
𝑚.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= m. 𝑎
++
++
++
++
1.3.
D'aprèslaquestionprécédente,ona
1.4.
Onendéduitque v =
G.MT
(RT + h )
2
=
v2
(RT + h ) GM
. T
.
RT + h
1.4.PendantunepériodeT,lesatelliteparcourtsonorbitedelongueur2π(RT+h)àlavitessev,donc
2p .(R T + h)
T=
.
v
1.5.Énoncédela3èmeloideKepler:Lerapportducarrédelapériodederévolutionparlecubedu
demi-grandaxedel'ellipse(ouducubedurayonducercle)estuneconstantequinedépendquedu
centreattracteur.
D'aprèslaquestion1.4:T2=
4p ².(RT + h)2
GM
. T
D'aprèslaquestion1.3: v 2 =
2
RT + h
v
4p ².(RT + h)2 4p ².(RT + h)3
=
G.MT
G.MT
RT + h
Finalementenposantr=RT+h,lerayondel'orbiteonobtient
1.6.PourcalculerlavaleurdeT:RTethsontàexprimerenm
Onendéduitque: T 2 =
++
T=
++
++
+
+
+
4p ² ´ ((6370 + 600) ´ 103 )3
4p ².(RT + h)3
T=
=5,79×103s=96,6min
-11
24
6,67 ´ 10 ´ 5,97 ´ 10
G.MT
2. Deuxièmepartie:étudedelamiseenorbitedutélescopespatialJamesWebb
2.1.1.Calculdupoidsdelafusée:P=M.g avecMlamasseenkg
P=780×103×9,8=7,6×106N
2.1.2. En appliquant la deuxième loi de Newton, dans le référentiel terrestre, et en supposant la
masseMdelafuséeconstante:𝐹 + 𝑃 = 𝑀. 𝑎 Parprojectionsuivantl’axeverticalOzorientéverslehaut,onaPZ+FZ=M.aZ
–M.g+F=M.aZ
F
aZ=–g+ M
2.1.3.Calculonsl'altitudeaprèsuneduréede10s:
2.1.4. Les forces de frottements ne sont pas négligeables : le travail résistant de ces dernières
engendreunediminutiondel'énergiemécaniquedelafusée.
2.2.AupointL2,letélescopeJamesWEBBseradansl'ombredelaTerreetneserapasperturbépar
lalumièreissueduSoleil.