2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 1 Dans ce qui suit, on désignera par k un corps commutatif, E un k espace vectoriel, et F un sous-espace vectoriel de E. On rappelle que : E/F = {x | x œ E}, où, pour x œ E : x = {y œ E | y ≠ x œ F }. Question de cours Expliciter les uniques lois interne et externe sur E/F qui font de la surjection canonique p : E æ E/F, x ‘æ x une application linéaire. Exercice 1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) E/F est de dimension finie. (ii) Il existe S un supplémentaire de F dans E qui soit de dimension finie. Sous ces hypothèses, montrer que l’on a de plus dim S = dim E/F . 2) On suppose E de dimension finie. Montrer qu’alors, F est de codimension finie dans E si et seulement si E/F est de dimension finie. 2 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 2 Soient n œ Nú , et A œ Mn (R) vérifiant : 5 A3 ≠ A2 + 2A + In = 0. 2 (ı) La matrice A est-elle diagonalisable ? Indication. Si P est un polynôme annulateur de A, que peut-on dire des éventuelles valeurs propres de A ? 3 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 3 On désigne par k un corps commutatif, et on fixe n œ Nú , M œ Mn (k). 1) a. Montrer que, pour toute matrice P œ GLn (k), M et P M P ≠1 ont mêmes déterminant, trace, et polynôme caractéristique. b. Inversement, deux matrices ayant même déterminant, trace, ou polynôme caractéristique sont-elles semblables ? 2) a. On suppose M trigonalisable. Montrer que la trace de M correspond à la somme de ses valeurs propres, et que le déterminant de M correspond au produit de ses valeurs propres. b. On suppose k = C. Que peut-on dire de la somme des valeurs propres de M ? et de son déterminant ? 4 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 4 Dans tout ce qui suit, nous désignerons par k un corps commutatif et E un k-espace vectoriel de dimension finie n > 0. 1) Soient u, v œ End(E). On suppose que ⁄ œ k est une valeur propre de v, et on note V⁄ le sous-espace propre de v associé à la valeur propre ⁄. a. Montrer que V⁄ est stable par v. b. Montrer que si u ¶ v = v ¶ u, alors V⁄ est également stable par u. 2) Soit U = (ui )iœI une famille d’endomorphismes diagonalisables de E vérifiant, pour tous i, j œ I, ui ¶ uj = uj ¶ ui . Montrer qu’il existe une base B de E telle que, pour tout i œ I, la matrice de ui dans B soit diagonale. Indication. On pourra commencer par traiter le cas où tous les endomorphismes de U sont des homothéties, puis dans le cas contraire, raisonner par récurrence sur la dimension de E. 3) Soient u, v œ End(E) diagonalisables et vérifiant u ¶ v = v ¶ u. Montrer que les endomorphismes u + v et u ¶ v sont diagonalisables. 5 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 5 On se donne E un C-espace vectoriel de dimension n > 2, et on désigne par T l’ensemble des matrices de Mn (C) de trace nulle, et S le sous-ensemble de T constitué des matrices à coefficients diagonaux nuls. 1) Soit u œ End(E). a. Montrer que si u stabilise toute droite vectorielle de E, i.e. pour tout x œ E, u(x) œ Vect(x), alors u est une homothétie. b. On suppose que u n’est pas une homothétie. Montrer qu’alors, il existe a œ E tel que la famille (a, u(a)) soit libre, puis qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u a pour première colonne le vecteur t (0, 1, 0, . . . , 0). c. En déduire que tout élément de T est semblable à un élément de S. 2) Soient : Q c c = c c a 1 0 0 .. . 2 .. . 0 ··· ··· .. . .. . 0 R 0 .. d . d d, d 0 b n et g l’endomorphisme de Mn (C) défini, pour X œ Mn (C), par g(X) = a. Déterminer l’image de g. X ≠X . b. En déduire que si M œ S, il existe D, N œ Mn (C) telles que D soit diagonale et M = DN ≠ N D. c. Montrer que si M œ T , il existe A, B œ Mn (C) telles que A soit diagonalisable et M = AB ≠ BA. 6 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 6 Dans ce qui suit, on désignera par k un corps commutatif et E un k espace vectoriel. Si F un sous-espace vectoriel de E, on pose : où, pour x œ E : E/F = {x | x œ E}, x = {y œ E | y ≠ x œ F }. Question de cours Soient x1 , x2 œ E, et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que x1 = x2 si et seulement s’il existe xF œ F tel que x2 = x1 + xF . Exercice On suppose E de dimension finie n > 0. 1) Soient u œ End(E), F un sous-espace vectoriel de E stable par u, et p : E æ E/F la surjection canonique. a. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme w œ End(E/F ) satisfaisant à w ¶ p = p ¶ u. On dit que w est l’endomorphisme de E/F déduit de u par passage au quotient. b. Si w est l’endomorphisme de E/F déduit de u par passage au quotient, et si v = u|F , montrer que ‰u = ‰v ‰w , ‰u (resp. ‰v , ‰w ) désignant le polynôme caractéristique de u (resp. v, w). c. En déduire que u est trigonalisable si et seulement si v et w le sont. 2) Soit U = (ui )iœI une famille d’endomorphismes vérifiant, pour tous i, j œ I, ui ¶ uj = uj ¶ ui . a. Soit i œ I, et supposons que ⁄ œ k est une valeur propre de ui . Montrer que, pour tout j œ I, l’espace propre de ui associé à la valeur propre ⁄ est stable par uj . b. Déduire de tout ce qui précède que si U est constituée d’endomorphismes trigonalisables, alors il existe une base B de E telle que, pour tout i œ I, la matrice de ui dans B soit triangulaire supérieure. Indication. On pourra raisonner par récurrence sur n = dim E, en traitant préalablement le cas où tous les éléments de U sont des homothéties. 7 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 7 Soient k un corps commutatif, E un k espace vectoriel de dimension finie n > 0, et „ œ End(E). Dans chacun des cas suivants, dire si l’assertion proposée est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement votre réponse. 1) L’endomorphisme „ possède au moins une valeur propre. 2) Un vecteur v œ Er{0E } peut être associé à deux valeurs propres distinctes de „. 3) Si P est un polynôme annulateur de „, alors toute valeur propre de „ est racine de P . 4) Si „ est inversible, alors toute valeur propre de „ est non nulle. 5) On suppose k µ C. Si „ est trigonalisable sur R et diagonalisable sur C, alors „ est diagonalisable sur R. 8 2M371 – Algèbre linéaire 2 Mathématiques Université Pierre et Marie Curie Année 2015/2016 Sujet no 8 Soient E un Q-espace vectoriel de dimension finie n > 0, et „ un endomorphisme de E vérifiant : „2 = 2 idE . (ı) L’endomorphisme „ est-il trigonalisable ? Indication. Si P est un polynôme annulateur de „, que peut-on dire des éventuelles valeurs propres de „ ? 9