DS TS2 - Case des Maths

D EVOIR SURVEILLÉ N◦ VII :
TS
Mars 2015
Nombres complexes, loi exponentielle, ...
Exercice 1
La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui
suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0.
Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant t est égale à
Zt
λe−λx dx.
p(X 6 t) =
0
−1
1. Déterminer λ, arrondi à 10 près, pour que la probabilité p(X > 6) soit égale à 0,3.
Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,2 .
2. A quel instant t, à un mois prés, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ?
3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4 .
4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2 près, la probabilité qu’il
soit encore en état de marche au bout de six ans ?
5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante.
Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux
premières années.
Exercice 2
√
Soient les nombres complexes : z1 = −2i et z2 = −1 + i 3.
z
1. Calculer z1 × z2 et 1 .
z2
2. Ecrire z1 ,z2 et z2 sous forme trigonométrique.
3. Déterminer le nombre complexe z3 tel que ABCD soit un parallélogramme avec A d’affixe z1 , B d’affixe z2 , C d’affixe z3
et D d’affixe z4 = z2
Exercice 3
On se propose de résoudre dans C l’équation suivante :
(E) : z 3 + (−2 + i) z 2 + 2 (1 − i) z + 2i = 0
4. Résoudre dans C l’équation suivante :z 2 − 2z + 2 = 0.
5. Démontrer que (E) a une seule racine imaginaire pure que vous déterminerez.
6. Déterminer les réels a et b tels que
z 3 + (−2 + i) z 2 + 2 (1 − i) z + 2i = (z + i)(z 2 + a z + b).
.
7. Résoudre dans l’équation : z 3 + (−2 + i) z 2 + 2 (1 − i) z + 2i = 0
Exercice 4
On considère les nombres complexes :
π
z1 = 2ei 6 ;
π
z
z2 = 2e−i 4 et Z = 1 .
z2
1. Donner la forme exponentielle de Z.
2. Donner les formes algébriques de z1 et z2 . En déduire la forme algébrique de Z
5π
5π
3. En déduire les valeurs exactes de cos
et sin
.
12
12
Exercice 5
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C
d’affixes respectives√
√
zA = 2 , zB = 1 + i 3 et zC = 1 − i 3.
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1. a) Donner la forme trigonométrique de zB puis de zC .
b) Placer les points A, B et C sur un graphique.
2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.
3. Déterminer et construire l’ensemble D des points M(z) du plan tels que
|z| = |z − 2|.
Exercice 6
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Vous devez cocher la réponse exacte
sans justification. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L’absence de réponse
ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Questions
On considère dans C le nombre complexe :z = (1 + i)2 .
1. z est imaginaire pur
Réponses
Vrai
Faux
Je ne sais pas.
2. z est réel strictement positif.
Vrai
Faux
Je ne sais pas.
3. |z| = 1 .
Vrai
Faux
Je ne sais pas.
4. Il existe un nombre complexe a tel quea2 = z .
Vrai
Faux
Je ne sais pas.
5. Il existe n ∈ N∗ tel que z n soit un nombre réel strictement
inférieur à −109 .
Vrai
Faux
Je ne sais pas.
Exercice 7
Résoudre dans C l’équation (1 + 2i)z − (4 + 3i)z = 1.
Lycée l’Oiselet
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