Arithmétique, Nombres rationnels L`arithmétique est la branche des

Arithmétique, Nombres rationnels
L'arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs
propriétés.
I – Décomposition d'un nombre entier
On s'intéresse à la décomposition d'un nombre en facteurs.
Exercice type :
Nombres rationnels – Critères de divisibilité
Indiquer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3 ou 5 :
45 et 56
> Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (il finit par 0, 2, 4, 6 ou 8).
45 finit par 5, donc il n'est pas divisible par 2. En effet 45÷2 = 22,5
56 finit par 6, donc il est divisible par 2. En effet 56÷2 = 28
> Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est aussi.
Pour 45 on calcule 4 + 5 = 9 qui est divisible par 3. Donc 45 est divisible par 3. En effet
45 ÷ 3 = 15
Pour 56 on calcule 5 + 6 = 11 qui n'est pas dans la table de 3. Donc 56 n'est pas divisible
par 3. En effet 56 ÷ 3 ≈ 18,67
> Un nombre est divisible par 5 s'il finit par 0 ou par 5.
45 finit par 5 donc il est divisible par 5. En effet 45 ÷ 5 = 9
56 finit par 6 donc il n'est pas divisible par 5. En effet 56 ÷ 5 = 11,2
Bilan de l'exercice :
45 est divisible par 3 et par 5
56 est divisible par 2.
Nombres rationnels : Division euclidienne
Poser la division euclidienne suivante et écrire l'égalité correspondante : 111 par 8
<poser 111 par 8>
Bilan : 111 = 8 x 13 + 7
Utilisation, interprétation de cette égalité :
> Si je veux répartir 111 bonbons entre 8 personnes, chacune en aura 13 et il restera 7 bonbons
non distribués.
> Si je veux ranger 111 œufs dans des boites de 8, il me faudra 13+1 = 14 boites. La dernière ne
sera pas pleine.
> Le résultat de 111 divisé par 8 est entre 13 et 14.
> 111 – 7 est dans la table de 8 (et de 13) car 111 – 7 = 8 x 13
Nombres rationnels – Diviseurs communs
Donner l'ensemble des diviseurs communs à 72 et 150
72 = 1 x 72
2 x 36
3 x 24
4 x 18 car 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 4 x 18
5 x car 72 finit par 2
6 x 12
7 x car 7x10=70 et 7x11=77
8 x 9 car 4 x 18 = 4 x 2 x 9 = 8 x 9
fini, les colonnes se sont rejointes.
Les diviseurs de 72 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72
150 = 1 x 150
2 x 75
3 x 50
4 x car 75 est impair
5 x 30
6 x 25
7 x car 7x20 = 140. Puis 147 et 154
8 x car pas de 4
9x car 50 n'est pas divisible par 3
10 x 15
11, 12, 13, 14 ne sont pas des diviseurs de 150
Les diviseurs de 150 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 et 150
Bilan : les diviseurs communs à 72 et 150 sont 1, 2, 3 et 6.
Définition : si deux nombres ont uniquement 1 comme diviseur commun, alors on dit que ces
nombres sont premiers entre eux.
Exemple : 2 et 3 sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun est 1.
II – Les ensembles de nombres
Définition : les nombres rationnels sont les nombres qu'on peut écrire sous la forme
b sont des nombres entiers relatifs ( b≠0 )
Parmi ces nombres rationnels, on trouve :
2
−5
2=
−5=
- tous les nombres entiers.
1
1
7
4567
4,567=
- tous les nombres décimaux. 3,5=
2
1000
a
où a et
b
- des nombres non décimaux (la division ne tombe pas juste).
1
3
;
−
2
7
; ...
Définition : les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
Exemple : π≈3,14
√5
Propriété admise : la racine carrée d'un nombre entier est soit un nombre entier, soit un nombre
irrationnel.
<schéma>
Nombres rationnels – Ensembles de nombres
Pour les nombres suivants, préciser s'il sont entiers, décimaux, rationnels et/ou irrationnels.
Justifier en donnant l'écriture adaptée.
11
1
;
;
5
;
√ 3 ; √ 16
2
3
11
11
11
=11÷2=5,5 donc
>
est décimal (5,5) et rationnel
2
2
2
1
1
> ≈0,33333 ... donc
est juste rationnel.
3
3
5
> 5 est entier (5), décimal (5,0) et rationnel
1
> √ 3≈1,73 donc √ 3 est irrationnel.
4
> √ 16=4 donc √ 16 est entier (4), décimal (4,0) et rationnel
1
( )
()
()
Nombres rationnels – Opérations avec fractions
Voir la fiche de révision sur les fractions.
III – PGCD : calcul et utilisation
Définition : Pour deux nombres donnés, le Plus Grand des Communs Diviseurs s'appelle le PGCD.
Exemple : recherche du pgcd de 30 et 18.
30 = 1 x 30
18 = 1 x 18
2 x 15
2x9
3 x 10
3x6
5x6
On a donc PGCD(30 ; 18) = 6.
Propriété : un pgcd vaut toujours au moins 1.
Propriété : deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur pgcd est 1.
Nombres rationnels – Calculer un pgcd
Calculer le pgcd de 30 et de 18
Calculer le pgcd de 22 et 121
Propriété : si a et b sont deux nombres entiers positifs avec a > b alors le pgcd de a et b est le
même que le pgcd de b et (a-b).
Exemple : pour calculer le pgcd de 30 et 18, je peux calculer à la place celui de 18 et (30-18)
30 – 18 = 12
18 – 12 = 6
12 – 6 = 6 ← réponse
6 – 6 = 0 ← un pgcd est toujours au moins de 1, ce n'est donc pas 0 la réponse.
pgcd (30 ; 18) = 6
Cette méthode de calcul s'appelle l'algorithme des différences successives.
Astuce 1 : on peut soustraire plusieurs fois d'un coup.
30 – 18 = 12
18 – 12 = 6 ← réponse
12 – 6x2 = 0 on a soustrait 6 deux fois
Astuce 2 : on peut utiliser le reste de la division euclidienne au lieu de la différence. On parle
alors de l'algorithme d'Euclide.
Exemple : calculer pgcd(22 ; 121)
121 – 22 x …
en posant la division : 121 = 22 x 5 – 11 donc
121 – 22 x 5 = 11
22 – 11 x 2 = 0
pgcd(22 ; 121) = 11
Propriété : le meilleur nombre pour simplifier la fraction
Par conséquent, la fraction
a
est pgcd(a;b)
b
a
est irréductible si et seulement si pgcd(a;b) = 1
b