5ème: Devoir numéro 4 (DM)/ Corrigé Ex. 1 – Tournoi de football Un collège organise un tournoi interne de football pour les élèves de 5ème qui comprennent 100 garçons et 80 filles. 1) Chaque équipe doit être constituée de 11 joueurs : 6 garçons et 5 filles. a. Combien d’équipes mixtes peut-on former ? 100 : 6 = 16 reste 4 80 : 5 = 16 reste 0. On pourra donc faire 16 équipes mixtes. b. Peut-on former une équipe supplémentaire ? Expliquer. Il ne reste que 4 garçons donc on ne pourra pas former une équipe supplémentaire. 2) a. c. Ce nombre est-il un nombre premier ? Pourquoi ? 16 n’est pas premier car il a plus que deux diviseurs (1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16) Combien d’équipes masculines et d’équipes féminines de 11 joueurs est-il possible de former ? 100 : 11 = 9 reste 1 80 : 11 = 7 reste 3. 9 + 7 = 16. On pourra former 16 équipes encore une fois. b. c. Combien de garçons et de filles reste-il alors ? Il restera 1 garçon et 3 filles. Ces nombres sont-ils premiers ? Pourquoi ? 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur (1) et 3 est premier car il n’a que deux diviseurs (1 et 3). Ex. 2 – Les Jeux Olympiques Les jeux Olympiques d’été ont lieu tous les quatre ans. Certaines de ces années sont bissextiles. On dit qu’une année est bissextile (c’est-à-dire que le calendrier comprend une journée supplémentaire, à savoir le 29 février) lorsque le numéro de l’année est divisible par 4. Les années divisibles par 100 ne sont pas bissextiles, à l’exception des années divisibles par 400. Par exemple, l’année 1912 était une année bissextile, car 12 est divisible par 4. Cependant, l’année 1500 n’était pas une année bissextile, car 1500 est divisible par 100, mais pas par 400. 1) Parmi les années suivantes, quelles sont celles qui ont vu se dérouler les jeux Olympiques d’été ? Justifier et donner dans l’affirmative le lieu de ces olympiades. Était-ce des années bissextiles ? 1896 est une année bissextile car 96 est divisible par 4. C’est une année olympique (Athènes, Grèce). 1908 est une année bissextile car 08 est divisible par 4. C’est une année olympique (Londres, Angleterre). 1926 n’est pas une année bissextile car 26 n’est pas divisible par 4. Ce n’est pas une année bissextile. 1964 est une année bissextile car 64 est divisible par 4. C’est une année olympique (Tokyo, Japon) 2) En 1900, les jeux Olympiques ont eu lieu à Paris, mais était-ce une année bissextile ? Justifier. 1900 n’est pas divisible par 400 ce n’est donc pas une année bissextile. Ex. 3 – Problème complexe À l’aide des documents 1 et 2, retrouver la fraction qui correspond au nombre dont une valeur approchée est 0,621621621621. Document 1: La définition d’un nombre périodique et de sa période Un nombre rationnel est dit «périodique» lorsqu’un chiffre ou une suite de chiffres se répète à l’infini dans la partie décimale du nombre. Cette suite de nombres est appelée la «période». Document 2: La méthode à suivre. Cette méthode vise à écrire un nombre ayant une partie décimale périodique et une partie entière nulle sous la forme d’une fraction. 1. Repérer la période du nombre périodique. 2. Écrire une fraction ayant pour numérateur cette période et pour dénominateur un nombre formé par autant de 9 qu’il y a de chiffres dans la période. 3. Simplifier cette fraction. 621 est la fraction recherchée. 999 621 621 9 69 69 3 23 999 999 9 111 111 3 37 La période est 621.