Nombres complexes 1 Rappels 1.1 Forme algébrique d'un nombre complexe Tout nombre complexe s'écrit sous la forme algébrique unique z = a + i b . i2 = −1 appartient à l'ensemble des nombres complexes C . - Le réel a est appelé la partie réelle de z ; il est noté Re(z). - Le réel b est appelé la partie imaginaire de z ; il est noté Im(z). Nombre complexe conjugué C'est le nombre z = a − ib . 1.2 Représentation géométrique de z − − Dans un plan rapporté à un repère orthogonal (O, → u ;→ v): M b r = OM = |z| → − v O • Le point M (a; b) est θ → − u l'image du nombre complexe z = a + b i. • Le nombre complexe z = a + b i est • Le • a l'axe du point M (a; b). √ module de z noté |z| est le nombre égal à la distance OM . Soit |z| = a2 + b2 . −−→ − L'argument de z noté arg(z) est la mesure de l'angle (→ u ; OM ). Soit arg(z) = θ + 2kπ . Si k = 0 (k ∈ Z) alors cos θ = √ a a2 + b 2 et sin θ = √ b a2 + b 2 • Le nombre complexe z de module |z| et d'argument arg(z) = θ s'écrit sous la trigonométrique : forme z = |z|(cos θ + i sin θ) parfois notée : z = [r; θ] . ∀M K T ST I2D 2014−2015 1/2 Ch8 - Complexes Exemple 1 Soit les nombres complexes z1 = 4 − 2i et z2 = −2 − 5i. Calculer et mettre sous la forme algébrique : a) la somme z1 + z2 b) le produit z1 × z2 . Exemple 2 Déterminer le√module et un argument des nombres complexes : b) z2 = 2 − 2i. a) z1 = 1 + i 3 Vérier les résultats sur une gure géométrique. En déduire leur formes trigonométriques. 2 Forme exponentielle d'un nombre complexe Dénition 1 (admis). La forme exponentielle du nombre complexe z de module r = |z| et d'argument θ est : z = reiθ 3 ou z = |z|eiθ Produit et quotient sous forme exponentielle Théorème 2. Pour tous nombres réels θ et θ0 on a : eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) eiθ i(θ−θ0 ) = e 0 eiθ (eiθ )n = einθ 1 = e−iθ eiθ eiθ = e−iθ 0 0 Exemple 1 Donner l'écriture exponentielle du nombre complexe z = −2 + 2i. Exemple 2 π π i On considère les nombres complexes z1 = 2e 3 et z2 = 5e 4 . z Calculer z1 × z2 et le quotient 1 z2 i ∀M K T ST I2D 2014−2015 2/2 Ch8 - Complexes