TS. Exercices série 0 - Fonctions trigonométriques Trigo Convertir en radians les mesures d’angles exprimées en degrés : 72◦ , 105◦ , 50◦ et 44◦ 7π 5π π 2π Convertir en degrés les mesures d’angles exprimées en radians : , − , et − 24 18 9 5 ³ π´ 7π En utilisant les valeurs remarquables, calculer les réels suivants : cos sin − 6 2 1 2 µ ¶ 9π cos − 4 10π 3 Sans calculatrice, dire si les réels suivants sont des mesures principales en radians d’angles orientés 7π 5 3 − π 4 13π 5 − 3π 2 3π 4 − 2π 3 − 37π 36 7π 6 Exprimer à l’aide de sin(x) et cos(x) les expressions suivantes : A = cos(x + π) − cos(−x) + 5 cos(x) C = sin(π + x) cos(π − x) − sin(π − x) cos(π + x) B = sin(π − x) + 2 sin(x + 2π) + sin(x + 3π) D = sin(x + 11π) + sin(11π − x) − cos(11π − x) ³π´ ³ π´ sin − 7 µ 8π sin 7 ¶ µ 6π sin 7 ¶ 4 Soit a = sin 5 Soit θ ∈ [π , 2π] tel que cos θ = − 6 ¸ π 3π 1 Soit θ ∈ tel que sin θ = ; 2 2 4 7 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels t de ] − π ; π] tels que cos(t ) = − . Exprimer en fonction de a : 7 · 4 alors on a : ¬ sin θ 6 0 5 a. cos(t ) = − 1 2 ­ sin2 θ = 1 5 b. cos x = cos π 4 c. sin x = sin π 6 p 2 8 Résoudre dans les équations suivantes : ¬ cos(x) = − 2 Puis dans chaque cas, donner les solutions de l’intervalle [2π ; 5π[ R µ 5π cos 14 ® sin θ = 0, 6 ¯ sin θ = − p 15 ® cos θ = − 4 3 alors on a : ¬ cos θ 6 0 ­ cos θ = 4 R les équations suivantes : 1. Résoudre dans 9 sin d. cos x = − 1 2 p 3 ­ sin(x) = 2 1 2 ¶ 3 5 p 15 ¯ cos θ = 4 e. sin x = − cos ® cos(x) = −1 π 4 ¯ sin(x) = 0 À l’aide d’une figure, résoudre les équations et inéquations suivantes : p 1 3 3. cos(x) > pour x ∈ [−π ; π[ pour x ∈ [0 ; 2π[ 1. cos(x) = 2 2 p 1 2 2. sin(x) = − pour x ∈ [−π ; π[ 4. sin(x) < pour x ∈ [0 ; 2π[ 2 2 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels t de ] − π ; π] puis ceux de [0 ; 2π[ tels que p 1 2 ¬ − 6 sin(t ) 6 ­ cos(t ) 6 0 ® 1 − 2 sin(t ) > 0 2 2 1 11 Sur l’intervalle [0 ; 2π], les solutions de l’inéquation cos θ > − sont : · ¸ ¸ · ¸ · ¸ ·2 · ¸ −2π 2π 2π 4π 4π 2π 4π 1. ; ; ; 2π 4. 0 ; ; 2π 2. 3. ∪ 3 3 3 3 3 3 3 π 12 Résoudre dans l’équation (E) : sin x = cos ; puis résoudre l’équation (E) dans ] − π ; π] 3 10 R 13 Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie, sur est située entre les droites d’équations y = −3 et y = 1. 14 Résoudre, dans R, l’équation : R par : f (x) = cos(2x) + sin x − 1 2 sin3 x − 17 sin2 x + 7 sin x + 8 = 0 Résoudre, dans ] − π ; π[, l’équation : 2 cos3 x − 7 cos2 x + 2 cos x + 3 = 0 Résoudre, dans ] − π ; π[, l’équation : 2 sin3 x + cos2 x − 5 sin x − 3 = 0 http://lycee.lagrave.free.fr 1 n TS. Exercices série 0 - Fonctions trigonométriques 15 Partie A : Équation cos x = a 1 1. Soit l’équation cos x = à résoudre dans 2 R. 1 2 −→ −−→ −→ −−−→0 Déterminer les mesures principales des angles (OI ; OM ) et (OI ; OM ). 1 En déduire l’ensemble des solutions dans ] − π ; π] de l’équation cos x = . 2 Résoudre dans cette équation. p 2 Par une méthode analogue, résoudre dans l’équation cos x = − . 2 En déduire les solutions dans [0 ; 2π[ de cette équation. a. Placer sur le cercle trigonométrique les points M et M0 d’abscisse b. c. 2. a. b. 3. R R a. Examiner le cas des équations cos x = 1, 5 et cos x = −3. b. Donner une condition sur a pour que l’équation cos x = a puisse admettre des solutions. 4. Soit l’équation cos x = 0, 25. Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l’équation. a. On note θ la solution de cette équation dans [0 ; π[. Exprimer en fonction de θ les solutions de l’équation cos x = 0, 25 sur R. b. Résoudre cette équation dans [0 ; 2π[. Donner, à l’aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à 10−4 près. Partie B : Équation sin x = a 1 1. En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l’équation sin x = dans ] − π ; π] puis dans 2 p 3 2. Même question pour sin x = − . Donner ensuite les solutions de cette équation dans [0 ; 2π[. 2 i π πi 3. Soit l’équation sin x = 0, 3. On note α la solution de cette équation dans − ; . 2 2 Exprimer en fonction de α les solutions sur de l’équation sin x = 0, 3. R 16 ´ ³π −x 1. Exprimer en fonction de cos(x) et/ou sin(x), le réel suivant : A = sin(π − x) − sin(−x) + sin 2 µ ¶ p µ ¶ 2π 7π 5−1 2. a. On donne cos = . En déduire la valeur exacte de cos 5 4 5 p µ ¶ µ ¶ µ ¶ 5+ 5 7π 2π 2 7π b. Montrer que sin = . En déduire la valeur exacte de sin et sin − . 5 8 5 5 17 1. a. Résoudre dans l’intervalle ] − π; π] l’équation cos(x) = cos b. 2. a. b. 3. a. b. c. ³π´ . 7 Donner ensuite les solutions de cette équation sur , puis les solutions dans [0; 2π[. 1 Résoudre dans l’intervalle ] − π; π] l’équation sin(x) = . 2 Donner ensuite les solutions de cette équation dans [0; 2π[. p 2 Résoudre dans l’intervalle ] − π; π] l’équation cos(x) = − . 2 p 2 En déduire les solutions de l’inéquation cos(x) > − dans ] − π; π]. 2 Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans [−2π; 3π[. R 4. On a interrogé un logiciel de calcul formel en entrant la ligne suivante : solve(2*sin(x)ˆ2-sin(x)-1=0,x) a. Que demande-t-on au logiciel ? b. Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie. m 2 R.