Nombres, Ensemble, Nombres premiers

Nombres, Ensemble, Nombres
premiers
I. Nombre
1. Qu’est-ce ?
Un nombre est composé d’un signe : + ou - et d’une distance à zéro, appelé valeur absolue.
Exemple :
La valeur absolue de +3 est |+3| = 3.
La valeur absolue de -3 est |-3| = 3.
Remarque :
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.
2. Écriture scientifique
Rappel sur les puissances :
Notation : pour tout réel a et tout entier naturel n ¥ 2, on a : an
1
Par convention, nous avons : a
a
0
a
1
aloooooooomoooooooon
a a.
1
an n facteurs
an
Propriété :
Pour tous réels a et b, et tous entiers relatifs n et m :
an
an am an m et par suite : m an am (pour tout a 0).
a
pan qm anm
n
n
pa bqn an bn et par suite : ab abn (pour tout b 0).
La notation scientifique d’un nombre est de la forme : a 10n avec 1 ¤ a 10 et n un entier relatif.
Exemples :
23 591 = 2,359 1 104
0,0548 = 5,48 10-2
II. Ensemble
Définition :
Un entier naturel est un nombre entier et positif.
Tous les entiers naturels forment un ensemble noté N t0; 1; 2; ...u.
Exemple :
26 P N se lit ”26 appartient à N”. Mais
3 R N.
Définition :
Un entier relatif est un nombre entier pouvant être positif ou négatif.
Tous les entiers relatifs forment l’ensemble noté Z t...; 2; 1; 0; 1; 2; ...u
Remarques :
Z comme Zahl en allemand qui signifie nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs, on dit que ”N est inclus dans Z”, noté : N
3, 2 R Z
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€ Z. Mais
1
Définition :
Un nombre décimal est un quotient d’un nombre entier par une puissance de 10.
Exemple :
32
2
3, 2 1 est un nombre décimal. Mais n’est pas un nombre décimal.
10
3
L’ensemble des nombres décimaux se note D.
On a : N € Z € D.
Remarque :
Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimal est finie, c’est-à-dire qui n’a qu’un nombre fini de
chiffres après la virgule.
Définition :
Un nombre rationnel est un quotient de deux nombres entiers :
p
tel que p P Z et q
q
PN
Exemple :
2
est un nombre rationnel.
3
L’ensemble des nombres rationnel se note Q.
On a : N € Z € D € Q.
?
Attention : 2 R Q ; π R Q. Ils sont irrationnels.
L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels forment l’ensemble des nombres réels R.
On a : N € Z € D € Q € R
III. Arithmétique : Nombres premiers
Définition :
$
& b divise a
b est un diviseur de a , si le quotient exact de a par b est un nombre entier.
On dit que
% a est divisible par b
Exemples :
2 divise 48. 3 ne divise pas 10.
Critère de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est pair : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est
divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Remarque :
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2
Un nombre entier est toujours divisible par 1 et lui-même.
Définition :
Un nombre est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
2 ; 3 ; 5 sont premiers. 24 n’est pas premier, car 24 = 2
12.
Attention : 1 n’est pas un nombre premier.
Décomposition d’un nombre entier en facteurs premiers :
Théorème :
Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs de nombres premiers.
Exemple :
24 = 2 2 2
3
24
Applications :
180
23 3
22 32 5
2
ou
15
?
24
24
? 180 152 .
180
IV. Comparer deux nombres
Comparer deux nombres équivaut à étudier le signe de la différence :
a b ðñ a b 0
a ¡ b ðñ a b ¡ 0
a b ðñ a b 0
La valeur absolue de la différence entre deux nombres est appelée la distance entre ces deux nombres.
Rappel : a est l’abscisse du point A.
AB = |a - b| = |b - a|
Exemple :
AB = |3,5 - 2| = |2 - 3,5| = 1,5
Nous pouvons résoudre |x 2| 5 ùñ
Ainsi S
t3; 7u.
"
x 25
x 25
ùñ
"
x7
x3
En plaçant un point C entre A et B, son abscisse c sera compris entre a et b : a ¤ c ¤ b.
Sous forme d’ensemble, cela s’écrit : c P ra ; bs.
Définition :
On appelle intervalle un ensemble de nombres déterminés par une inégalité ou un encadrement.
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3
Ensemble des réels x tels que
Représentation graphique
Notation
a¤x¤b
x P ra; bs
a x¤b
x P sa; bs
a¤x b
x P ra; br
a x b
x P sa; br
a¤ x
x P ra;
8r
a x
x P sa;
8r
x¤b
x Ps 8; bs
x b
x Ps 8; br
3
Exemple : Résoudre 5 6x ¤ 5
28
¤ 8x
5
7
¤x
Ainsi,
10 7
D’où : S ; 8 .
10
2x
Définition :
Soient deux intervalles I et J de R.
Les réels qui sont à la fois dans I et dans J appartiennent à l’intersection de I et de J : si x P I
et x P J, alors x P I X J (le symbole X se lit ”inter”).
Les réels qui sont soit dans I, soit dans J appartiennent à la réunion de I et de J : si x P I ou
x P J, alors x P I Y J (le symbole Y se lit ”union”).
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