Chapitre 03 Matrices Terminale S Spécialité MATRICES I- Définitions Définition 1 Une matrice A de format (n, p) est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice. Le coefficient de la ième et de la j ème est noté aij . a11 a12 · · · a1p a21 a22 · · · a2p A= . .. .. . On pourra écrire A = (aij ). .. . . an1 an2 · · · anp Exemple −3 2 1 A= est une matrice de dimension 2 × 3. 4 −1 5 a23 = 5, a12 = 2. Définition 2 Si n = 1, la matrice A est une matrice ligne. Si p = 1, la matrice A est une matrice colonne. Si n = p, la matrice A est une matrice carrée (on dit que c’est une matrice carrée d’ordre n). Exemples A = 3 −2 4 −5 est une matrice ligne de format (1, 4). 2 B = −6 est 3 −4 1 12 C = 7 3 −2 une matrice colonne de format (3, 1). 5 3 est une matrice carrée de d’ordre 3. 1 Définition 3 Deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) sont égales si elles ont le même format n × p et si, pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p, aij = bij . Définition 4 La matrice nulle de format (n, p) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. Définition 5 Soit A = (aij ) une matrice de format (n, p). L’opposée de la matrice A, notée −A, est la matrice de format (n, p) dont les coefficients sont les opposés des coefficients de A situés à la même ligne et même colonne. −3 2 1 3 −2 −1 Si A = , alors −A = 4 −1 5 −4 1 −5 Définition 6 La matrice transposée d’une matrice A de format (n, p) est la matrice notée tA de format (p, n) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. 1 Chapitre 03 Matrices Terminale S Spécialité Exemple −4 −4 −3 2 1 Si A = , alors tA = 2 −1. 4 −1 5 1 5 A est de format (2, 3), tA est de format (3, 2). II- Opérations 1. Somme de deux matrices Définition 1 On appelle somme de deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) de même format (n, p) la matrice notée A + B = (cij ) de format (n, p) telle que, pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p, cij = aij + bij . 1 −5 0 4 3 2 Soit A = et B = deux matrices de format (2, 3). −3 −3 −1 2 3 −1 5 −2 2 A+B = . −1 0 −2 Théorème Soit A = (aij ), B = (bij ), C = (cij ) trois matrices de même format (n, p) et O la matrice nulle de format (n, p). • A+B =B+A • (A + B) + C = A + (B + C), on notera donc A + B + C cette somme. • A + O = O + A = A. • A + (−A) = (−A) + A = O Démonstration • Les coefficients de la matrice A + B sont aij + bij , ceux de la matrice B + A sont bij + aij . aij + bij = bij + aij pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p. On a donc : A + B = B + A. • Les coefficients de la matrice (A + B) + C sont (aij + bij ) + cij . Les coefficients de la matrice A + (B + C) sont aij + (bij + cij ). (aij + bij ) + cij = aij + (bij + cij ) = aij + bij + cij , pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p. On a donc : (A + B) + C = A + (B + C). • aij + 0 = 0 + aij = aij pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p. On a donc A + O = O + A = A. • aij + (−aij = (−aij ) + aij = 0 pour tout couple (i, j), avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p. On a donc A + (−A) = (−A) + A = 0. Remarque Soit A et B de même format (n, p). On notera A − B la somme A + (−B). 1 −5 0 4 3 2 Soit A = et B = deux matrices de dimension 2 × 3. 2 3 −1 −3 −3 −1 −4 −3 −2 −3 −8 −2 −B = et A − B = . 3 3 1 5 6 0 2 Chapitre 03 Matrices Terminale S Spécialité 2. Produit d’une matrice par un réel Définition Soit A = (aij ) une matrice de format (n, p) et λ un nombre réel. Le produit du réel λ par la matrice A est la matrice notée λA de format (n, p) dont le terme de la ième et de la j ème colonne est λaij . Exemple 1 −5 0 Soit A = . 2 3 −1 2 −10 0 2A = . 4 6 −2 Théorème Soit A et B deux matrices de même format, λ et µ deux nombres réels. • 0.A = O et 1.A = A • λ(A + B) = λA + λB • (λ + µ)A = λA + µA. • (λµ)A = λ(µA) Remarque On retrouve les mêmes propriétés que sur l’ensemble des vecteurs du plan muni de l’addition et du produit par un réel. x On peut noter les coordonnées d’un vecteur ~u sous forme d’une matrice colonne : . y 3. Produit de deux matrices Définition 1 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne b1 b2 Soit A = a1 a2 · · · an une matrice ligne de format(1, n) et B = · · · une bn matrice colonne de format (n, 1). ! n X ai bi . A × B est une matrice de format A × B = (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) = i=1 (1, 1). Exemple 4 2 −3 1 × 2 = (2 × 4 + (−3) × 2 + 1 × 0) = (2). 0 Définition 2 Produit de deux matrices Soit A une matrice de format (n, p) et B une matrice de format (p, q), n, p et q étant des entiers naturels non nuls. Le produit A × B est la matrice de dimension n × q, dont le terme de la iième ligne et de la j ième colonne est le produit de la iième ligne de la matrice A par la j ième colonne de la matrice B. Soit aik les coefficients de la matrice A, bkj les coefficients de la matrice B et cij les coefficients de la matrice A × B. p X Alors : cij = aik bkj . k=1 3 Chapitre 03 Matrices Terminale S Spécialité Exemple et disposition des calculs 6 −3 2 −1 3 Soit A = une matrice de format (2, 2) et B = une matrice de 1 −2 5 0 4 format (2, 3). Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, on peut donc effectuer le produit A × B, qui est une matrice de format (2, 3). Remarque : On ne peut pas effectuer le produit B × A. On dispose lescalculs de la manière suivante : 2 −1 3 5 0 4 6 −3 −3 −6 6 1 −2 −8 −1 −5 Le coefficient de la première ligne et première colonne s’obtient en effectuant le produit de la première ligne de A par la pemière colonne de B : 6 × 2 + (−3) × 5 = −3. III- Matrices carrées Définition 1 Une matrice carrée d’ordre n est une matrice qui a n lignes et n colonnes. Définition 2 La matrice unité d’ordre n, notée In est la matrice dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1 et dont tous les autres termes sont nuls. Exemple 1 0 0 I3 = 0 1 0. 0 0 1 Propriétés (admises) Soit A, B et C trois matrices carrées d’ordre n, n étant un entier naturel non nul. • (A × B) × C = A × (B × C). On note ce produit A × B × C. (Associativité) • A × (B + C) = A × B + A × C et (A + B) × C = A × C + B × C. (Distributivité) • Pour tout réel λ, (λA) × B = λ(A × B) = A × (λB). • A × In = In × A = A. Attention • La multiplication n’est en général, on n’apasA × B = B × A. pas commutative, 2 1 4 −2 10 −3 4 −2 2 1 8 10 Exemple : × = mais × = 0 −3 2 1 −6 −3 2 1 0 −3 4 −1 • Si A et B sont non leur deux matrices nulles, produit peut être nul. 2 1 −1 3 0 0 × = Exemple : 4 2 2 −6 0 0 Conséquence : Si A × B = A × C, avec A non nulle, on ne peut pas en déduire en général que B = C. Définition 3 Soit A une matrice carrée d’ordre n, n étant un entier naturel non nul. A1 = A et, pour tout entier naturel k non nul, Ak+1 = Ak × A. Par convention : A0 = In . 4 Chapitre 03 Matrices Terminale S Spécialité Exemple 1 1 Soit la matrice A = . 1 1 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, An = 2n−1 A. On fait une démonstration par récurrence : Intialisation A1 = 20 A est vrai, la propriété est initialisée au rang 1. Hérédité Supposons que, pour un entier naturel n non nul, An = 2n−1 A. n+1 n n−1 On a alors A × A = 2n−1 A2 . A = A × A = 2 2 2 Or A2 = = 2A. 2 2 Par conséquent An+1 = 2n−1 × 2A = 2n A. La propriété est héréditaire. Conclusion Pour tout entier naturel n non nul, An = 2n−1 A. 5