EC 4A : E - ISFEC Jacques Sevin

EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES
TRIGONOMETRIE
EXERCICES CORRECTION
EXERCICE N°1 :
Dans un triangle PQR, rectangle en R :
a) Le côté adjacent à l’angle est [PR]
b) Le côté opposé à l’angle est [PR]
c) L’angle dont le côté [RQ] est adjacent est
EXERCICE N°2 :
a) Dans le triangle rectangle CDF, le côté opposé à l’angle est [CF]
b) Dans le triangle rectangle CDF, le côté adjacent à l’angle est [CF]
c) Dans le triangle rectangle CEF, l’hypoténuse est [CF]
d) Dans le triangle rectangle CDE, le côté adjacent à est [DE]
e) Dans le triangle rectangle CDE, le côté opposé à est [DE]
EXERCICE N°3 :
a) cos
=
b) sin
=
c) tan =
EXERCICE N°4 :
cos =
,
sin
=
tan
=
.
EXERCICE N°5 :
a) cos 25°
0,906
b) sin 75°
0,965
c) tan 67°
2,355
EXERCICE N°6 :
ABC est un triangle rectangle en C donc, d’après le théorème de Pythagore,
on a :
cos² + sin² =
=
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 1/9 EXERCICE N°7 :
a)
b) Dans le triangle ABC, rectangle en C, on a :
EXERCICE N°8 :
a) Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :
b) Dans le triangle ABM, rectangle en M, on a :
c) Le triangle n’étant pas rectangle, on ne peut pas déterminer AB
d) Dans le triangle ABK, rectangle en B, on a :
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 2/9 EXERCICE N°9 :
a) cos x = 0,567
b) sin x = 0,876
c) tan x = 2,37
d) sin x = 1,2
impossible, un sinus
étant inférieur à 1
EXERCICE N°10 :
a)
b) Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :
EXERCICE N°11 :
a) Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :
b) Dans le triangle KLM, rectangle en K, on a :
c) Dans un triangle, la somme des angles est de 180°, donc :
On a
.
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 3/9 EXERCICE N°12 :
a) P est un point du cercle de diamètre [LM]
donc le triangle LPM est rectangle en P.
Dans le triangle LPM, rectangle en P, on a :
b) Dans le triangle LCK, le plus grand côté est LK.
On calcule séparément :
On constate que
, donc d’après la
réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit
que le triangle LCK est rectangle en C.
Dans le triangle LCK, rectangle en C, on a :
c) Dans un triangle, la somme des angles est de 180°, donc :
On a
, donc le triangle TMS est rectangle en T.
Dans le triangle TMS, rectangle en T, on a :
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 4/9 d) On sait que ABCD est un losange
Or, si un quadrilatère est un losange,
alors ses diagonales se coupent en leur
milieu perpendiculairement
Donc (AO) (OD) et
Dans le triangle AOD, rectangle en O, on a :
e) D’après le codage, I est le milieu de [SV], est donc la médiane issue du
triangle SEV.
D’après le codage, la médiane [EI] a pour longueur la moitié du côté
[SV], on en déduit que le triangle SEV est rectangle en E
Dans le triangle SEV, rectangle en E, on a :
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 5/9 Trois problèmes de type concours :
Problème n°1 :
1) a) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est BC.
On calcule séparément :
On constate que
, donc d’après la
réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit
que le triangle ABC est rectangle en A.
b) Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :
2) a) E est un point du cercle de diamètre [CD] donc le triangle CDE
est rectangle en E.
On sait que (DE) (EA) et (AB) (EA)
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,
alors elles sont parallèles entre elles
Donc (DE) // (AB)
2) b) Les droites (AE) et (BD) se coupent en C et les droites (DE) et (AB)
sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès, on a :
CE = 2,4 cm.
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 6/9 2 c) Dans un triangle, la somme des angles est de 180° donc dans le
triangle ABC,
Les angles
et
sont opposés par le sommet, ils ont donc la même
mesure, d’où :
.
3)
Dans le triangle ACF, rectangle en A, on a :
B
BF
[AF] donc AF = AB + BF, d’où BF = AF – AB
5,1 – 3
2,1
2,1cm
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 7/9 Problème n°2 :
Dans un triangle, la somme des angles est de 180°
donc dans le triangle ABC,
Dans le triangle ABC, rectangle en C, on a :
donc
Dans le triangle BCD, rectangle en C, on a :
Dans le triangle ABC, rectangle en C, on a :
D [AC] donc AC = AD + DC,
d’où AD = AC – DC =
15,8
Dans le triangle DBC, rectangle en C, on a :
DB + BA + AD =
A chaque tour, il parcourt environ 85,49m.
Master 1, EC 4A : Eléments de mathématiques Trigonométrie : exercices correction Peggy RICHARD, 2012 2013 Page 8/9 Problème n°3 :
BCDE est un carré donc (BC) ⊥ (CD) et H est le milieu de [BD]
BCH est un triangle isocèle en H (les diagonales d’un carré se coupent en
leur milieu et sont de même longueur donc HB = HC) donc la médiane issue
de H est aussi la hauteur, ainsi (HI) ⊥ (BC)
Dans le triangle BCD, rectangle en C, on a d’après le théorème de
Pythagore :
BD² = BC² + CD²
BD² = 230² + 230²
BD² = 105 800
BD =
Dans le triangle ABH, rectangle en H, on a :
Dans le triangle BIH, rectangle en I, on a d’après le théorème de Pythagore :
BH² = BI² + IH²
= IH² + IH
26 450= 2IH²
IH² =
IH = 115m
Dans le triangle AIH, rectangle en H, on a :
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