Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique Chapitre 03 : Fonctions élémentaires I.2. Module, argument et conjugué de : dans la forme polaire, alors on peut l’écrire : Si on pose ( I. Fonction exponentielle complexe : On rappelle la définition d’une fonction exponentielle complexe : ) Par identification, on trouve : Déf. I.1 : La fonction définie par : Est appelée fonction exponentielle complexe. Vérifiant bien que : | | ; du moment que dans R : ( ) Pour une fonction exponentielle complexe, les propriétés sont similaires Et avec une exponentielle réelle, telle que la différentiabilité partout sur R Un résultat important est déduit : de Le conjugué de : . . est également obtenu : ̅̅̅ ( Théorème I.1 : La fonction exponentielle Ceci conclut donc que : est entière et sa dérivée est donnée par : ̅̅̅ ) ( ) ̅ ̅ I.3. Propriétés algébriques : Si On vérifie bien que pour ( ( ) ) sont deux complexes alors on a : (1) est analytique et (2) répond aux conditions de Cauchy-Riemann : { et (3) { (4) ( En plus du fait que la dérivée de ) I.4. Périodicité de : Comme ( ) : définie par les deux fonctions cosinus et sinus ; qui sont elles- mêmes périodiques, on en déduit que la fonction Exemple 1. : Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ( ) ( ) ( ) * ( ) périodique de période + 1 : est également Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique « La fonction exponentielle complexe est périodique avec une période purement imaginaire : ( ) ( )» Ceci peut être également vérifié pour : Mais la première région de périodicité . est définie comme « région fondamentale ». Figure 2. Transformation de segments verticaux sous exp(z) Cas 2 : z est une ligne horizontale : Donc sous Figure 1. Région fondamentale de exp(z) I.5. Transformation sous Comme : on s’intéresse aux cas suivants : Cas 1 : z est une ligne verticale : : Donc sous Ceci montre que pour toute région périodique sous ensemble de cercles concentriques de rayon Figure 3. Z est sous forme de lignes horizontales donne lieu à un Les images : ( ) ce sont des segments droits de longueur et qui sont portés sur une direction définie par l’argument b. 2 Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique solutions (à cause de la périodicité de l’argument). Ceci peut être mieux une solution de l’équation expliqué en supposant : dans ce cas on écrira : | l’identification | | | et | | que : | | et équivalente : ( ) ( ) et il en découle de ( ) et et ou d’une manière ( ). Cependant, pour un complexe non nul z on peut montrer que : | | ( ) A cause de l’infinité des arguments de z, l’équation ci-dessus donne une ( ) qui est donnée par la fonction multivaluée (à valeurs multiples) définition suivante : Déf.II.1. La fonction multivaluée Figure 4. Image sous exp(z) de lignes horizontales | | On résume les propriétés des transformations sous (i) En utilisant la notation exponentielle de transforme la région fondamentale transforme le segment vertical : ( en un ) avec Remarque : la notation transforme la ligne horizontale rayon porté sur un angle , alors on peut réécrire le logarithme complexe de z dans la forme suivante : cercle | | (iii) ( ) Est appelée le Logarithme Complexe de z. comme suit : en un ensemble | | (ii) définie par : . est utilisée pour définir le logarithme népérien (à base de e) de la valeur réelle positive non nulle x. en un ( ) Exemple 2. Trouver toutes les solutions complexes des équations suivantes : II. Fonction logarithme complexe : ( ) ( ) ( ) Comme on l’a déjà vu dans la fonction exponentielle complexe, elle II.1. Les identités logarithmiques : n’est pas une fonction univoque comme c’est le cas pour la fonction Les identités suivantes sont facilement démontrables par la définition exponentielle réelle. Ceci dit, dans la plan des complexes C et pour un complexe donné fixe et non nul, l’équation : II.1, qui sont analogues aux identités logarithmiques réelles : a une infinité de 3 Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Si et Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique sont des nombres complexes non nuls et n un entier, alors : (i) ( (ii) . / complexe qui constitue une Branche Principale de ) ( ) . Cette branche est définie comme : ( ) | | ( ) - Ce qui exclut tout avec ( ) -. (iii) II.2. Valeur principale du logarithme complexe : La fonction complexe | | définie par : ( ) ( ) Est appelée la valeur principale du logarithme complexe. Exemple 3. Calculer ;es valeurs principales du logarithme complexe pour : ( ) ( ) ( ) II.3. La fonction inverse de la fonction Si la fonction exponentielle complexe ( ) fondamentale , donc : est définie sur la région Figure 5. Domaine de définition de ( ) est une fonction ( ) -+ Ceci nous permet d’obtenir une fonction analytique sur ce domaine : univoque (un-à-un) et la fonction inverse de ( ) est la valeur principale du logarithme complexe : *- continue et dérivable qui vérifie le théorème suivant : . II.4. Analyticité du logarithme complexe : Théorème.II.1. Analyticité de la branche principale de lnz Comme la fonction logarithme complexe est une fonction multivaluée La branche principale ( ) donc elle ne vérifie pas les conditions de continuité et dérivabilité sur * ( ) *- ( ) avec ( ) Est une fonction analytique et sa dérivée est donnée par : tout le plan complexe, c’est pour ainsi qu’on définit une fonction logarithmique complexe définie sur le domaine | | du logarithme complexe définie par : -+ ou ( ) +. On parle dans ce cas d’une fonction logarithme 4 Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique Exemple 4. Trouver les dérivées des fonctions suivantes dans le Il est possible de vérifier que pour un exposant n entier, la fonction domaine approprié : puissance ( ) ( ) ( est une fonction univoque, par contre lorsqu’il s’agit d’un exposant complexe comme c’est le cas pour ) on parle ici d’une fonction puissance complexe multivaluée. II.5. Transformations sous Exemple 5. Trouver les valeurs des puissances complexes suivantes : constitue une fonction inverse de l’exponentielle Comme la fonction complexe : ( ) on peut déduire les propriétés de transformation suivantes ) Les puissances complexes définies plus haut, vérifient les propriétés sous une fonction logarithmique complexe : transforme l’ensemble | | (i) ( )( suivantes qui sont analogues dans le cas des puissances réelles : en une région (i) transforme un cercle définie par | | (ii) (ii) en une un (iii) ( (iii) segment de ligne verticale transforme un rayon ( ) ) III.1. Valeur principale d’une puissance complexe : en une ligne On rappelle que dans la définition III.1 la puissance complexe est une horizontale multivaluée définie avec le qui est déjà une multivaluée. On peut III. Puissance complexe : définir une valeur principale d’une puissance complexe en utilisant la On sait déjà comment manipuler une puissance entière d’un nombre valeur principale du logarithme complexe : complexe du type , par contre lorsqu’il s’agit d’un exposant Déf. III.2 : complexe, il n’est pas évident de calculer ou de résoudre une expression comme : ( Si est un nombre complexe et ) , pour cela on fait appelle au deux fonctions , alors la fonction définie par : est appelée La valeur principale de la puissance complexe exponentielle complexe et logarithme complexe : Def. III.1. : Si est un nombre complexe et , alors la puissance complexe Exemple 6. Trouver les valeurs principales des puissances complexes suivantes : est définie comme : ( )( 5 ) ⁄ ( )( ) Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique III.2. Analyticité de la fonction puissance complexe : IV.1. Identités trigonométriques : Etant définie avec la fonction logarithme complexe et l’exponentielle Comme les fonctions trigonométriques réelles, les fonctions trigo. complexe, la fonction puissance complexe est définie analytique sur le Complexes vérifient les identités suivantes : *- domaine : -+ et on parle dans ce cas de la fonction (i) branche principale de la puissance complexe : ( ( ( ) (ii) ) (iii) ( ) Cette fonction analytique (continue et dérivable) sur D et sa dérivée est (iv) ( ) définie par : (v) ( ) , ( ) ) IV.2. Périodicité : - On déduit trivialement que les fonctions trigonométriques complexes Exemple 7. Trouver les dérivées de la valeur principale de point dans le Sinus et Cosinus sont périodiques et leur période est de : ( ) ( : ) IV.3. Zéros des fonctions Sinus et Cosinus Complexes : IV. Fonction trigonométriques complexes : Les fonctions Sinus et Cosinus complexes admettent d’une manière Déf. IV.1 : analogue des zéros dans les valeurs réelles suivantes : Les fonctions complexes Sinus et Cosinus sont définies par : ( ) , avec On définit également à partir de là les fonctions trigonométriques IV.4. Analyticité : complexes qui ont découlent de la définition du Sinus et Cosinus, d’une Les dérivées des fonctions Sinus et Cosinus complexes sont obtenues à manière analogue aux fonctions trigonométriques réelles : partir de leurs définitions en fonction de l’exponentielle complexe. On obtient : Exemple 8. : Dans chaque partie, exprimer trigonométriques données ci-dessous sous la forme ( ) ( ) ( ) ( ) ( les fonctions : ) 6 Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique V. Fonctions hyperboliques complexes : De manière similaire on obtient le passage entre les différentes Déf. V. 1. : fonctions hyperboliques et trigonométriques comme suit : Les fonctions hyperboliques complexes sont définies par : et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On en déduit également les autres fonctions hyperboliques : V.3. Identités des fonctions hyperboliques complexes : Il faut également remarquer que les fonctions hyperboliques sont entières car Les égalités ci-dessus peuvent être utilisées pour démontrer les et l’est déjà. identités des fonctions hyperboliques : ( ( ) V.1. Dérivées des fonctions hyperboliques complexes : (i) Les fonctions hyperboliques complexes sont obtenues à partir de leurs (ii) définitions en fonction de l’exponentielle complexe. On obtient alors : (iii) ( ) (iv) ( ) ) (v) VI. Fonctions Trigonométriques et hyperboliques inverses : VI.1. Fonctions trigonométriques inverses : V.2. Relations avec les fonctions trigonométriques complexes : En cherchant de trouver des solutions à l’équation Il est assez intéressant de voir quelle la relation entre les fonctions besoin de définir la fonction inverse tel que : hyperboliques et trigonométriques complexes, du moment que leurs Remplaçons z par iz dans la déf. 2.6 et on obtient : Ou, autrement : ( . Pour cela ; partant de la définition d’une fonction sinus complexe : expression ont la même forme à un facteur près. ( ) , on en a ou autrement : Et là on est ramené à résoudre une équation quadratique en ) ( ( ) Ou : 7 ) 0 ⁄ ( 0 ) ⁄ 1 ( ) ⁄ 1 : Faculté des Sciences et de la Technologie Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA Fonction de la Variable Complexe 2ème année Licence : Physique Ceci nous conduit à définir le sinus inverse : 0 ( ⁄ ) 0 1 : Sinus inverse 1 : Tangente hyperbolique inverse Pour des branches de ces fonctions définies sur un domaine D où elles Qui est une fonction multivaluée, du moment qu’elle s’écrit en fonction sont continues et dérivables, on a : du logarithme complexe. Le même procédé est utilisé pour définir les autres fonctions ( ) ⁄ ( ) ⁄ trigonométriques inverses : 0 0 ( ) ⁄ 1 : Cosinus inverse 1 : Tangente inverse Les dérivées de ces fonctions sont définies uniquement sur des Exemple 9. : domaines ou ces fonctions sont continues et dérivables (ça revient de 1- Trouver toutes les valeurs de : définir des branches de ces fonctions multivaluée) : 2- Trouver la valeur de la dérivée de √ dans le point (vérifier que ce point appartient au domaine de définition). ( ) ⁄ ( ) ⁄ 3- Admettant que représente une branche du cosinus hyperbolique inverse obtenu en utilisant comme branche de la fonction puissance complexe : 4- ( ) De la même manière que précédemment, on procède à la définition des fonctions hyperboliques inverses comme solutions des équations du , et on obtient : 0 0 ( ) ( ⁄ ) 1 : Sinus Hyperbolique inverse ⁄ √ ⁄ 1 : Cosinus Hyperbolique inverse 8 √ ( ) | complexe . suivantes : VI.2. Fonctions hyperboliques inverses : type : ( ) quadratique √ et Trouver le logarithme les valeurs