Chapitre 13 TRIANGLES QUELCONQUES 13.1 Rappels : TRIANGLES RECTANGLES Figure de référence C γ a B b β c A Notations a = longueur du côté opposé au sommet A b = longueur du côté opposé au sommet B c = longueur du côté opposé au sommet C L’angle de sommet A se nomme α. L’angle de sommet B se nomme β. L’angle de sommet C se nomme γ. Cosinus = adjacent sur hypoténuse cos β = |AB| |BC| = cos γ = |AC| |BC| = b a b a sin γ = |AB| |BC| = c a b c tg γ = |AB| |AC| = c b c a Sinus = opposé sur hypoténuse sin β = |AC| |BC| = Tangente = côté sur côté tg β = |AC| |AB| = Pythagore |BC|2 = |AC|2 + |AB|2 a2 = b2 + c2 Angles α+β+γ =π β+γ = 98 π 2 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 99 Exercice 13.1 Résoudre le triangle ABC 1 rectangle en A dans chacun des cas suivants. a b 54 32 c β γ 38, 6◦ 46 38, 2 47, 5 49◦ 18′ 27′′ 54, 3 Exercice 13.2 Un observateur veut déterminer la distance de A à B sans devoir franchir la rivière représentée cidessous. A B En A est planté un piquet et en B se trouve l’observateur. Celui-ci est muni d’un théodolite2 . 1. Imaginer une méthode et les mesures à prendre pour résoudre le problème. 2. Supposer des mesures et calculer la distance de A à B d’après ces mesures. Exercice 13.3 Quand la planète Vénus est observée depuis la Terre pendant une certaine période, elle paraı̂t se mouvoir en avant et en arrière le long d’un segment de droite, Le Soleil étant au milieu. A la distance apparente maximale du Soleil, l’angle3 Soleil-Terre-Venus est d’environ 36◦ . Sachant que la distance Terre-Soleil vaut environ 148, 64 . 106 km, estimez la distance séparant Vénus du Soleil. 1 La figure de référence est celle donnée en début de paragraphe qui permet de mesurer des angles sur le terrain 3 Cet angle s’appelle l’élongation. Il est maximum quand le Soleil, la Terre et Vénus sont en quadrature. 2 Appareil CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 13.2 100 TRIANGLES QUELCONQUES Al-Kashi, mathématicien originaire d’Iran mort approximativement en 1436 est connu pour avoir donné des décimales de π assez précises. Mais nous allons nous intéresser ici au théorème qui porte aujourd’hui encore son nom, et qui est une forme généralisé du théorème de Pythagore. Il énonce une relation entre la longueur des côtés d’un triangle quelconque et l’un des angles de celui-ci. Notons que le résultat fut trouvé antérieurement par Euclide d’Alexandrie au III ème siècle avant J.C. et figure dans la proposition XII du second livre des Eléments. 13.2.1 Théorème du cosinus (Théorème d’Al-Kashi) Soit ABC un triangle quelconque. Deux cas se présentent. Les trois angles sont aigus Un angle est obtus Y Y B (x;y) B (x;y) β β y a c y c a γ b x cos α = |AD| c y c x D (x;0) X γ = x c ou x = c cos α cos α = − cos(π − α) = − |AD| = c ou y = c sin α sin α = X C (b;0) A C (b;0) D (x;0) sin α = π−α b α A α y c x c ou x = c cos α ou y = c sin α = (b − x)2 + y 2 a2 = (b − c cos α)2 + (c sin α)2 = (b2 − 2bc cos α + c2 cos2 α) + c2 sin2 α = b2 + c2 (cos2 α + sin2 α) − 2bc cos α Donc a2 = b2 + c2 − 2bc cos α En faisant une permutation cyclique des lettres a, b, c et α, β, γ , nous obtenons les formules pour b2 et c2 . 13.2.2 Théorème du sinus Soit ABC un triangle quelconque. On déduit des figures du théorème précédent : sin α = y c et sin γ = y a sin α = sin(π − α) = y c et sin γ = y a CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 101 Ainsi, y = c sin α et y = c sin(π − α) = c sin α y = a sin γ Ce qui nous donne a sin α = y = a sin γ a c = sin α sin γ a sin γ = c sin α =⇒ Un raisonnement similaire donne la relation et b sin β qui, combinée avec la précédente, nous fournit: a b c = = sin α sin β sin γ 13.2.3 Aire d’un triangle Soit ABC un triangle quelconque. Base × Hauteur b×y = 2 2 On déduit des figures du premier théorème : A= A= bc sin α 2 ou A= ab sin γ 2 A= bc sin(π−α) 2 = bc sin α 2 Un raisonnement analogue donne la relation A= 13.2.4 ac sin β 2 Formulaire Figure de référence A α c b γ β a C B Les angles α+β+γ =π Théorème du cosinus a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ Théorème du Sinus a sin α = b sin β = c sin γ Aire A= A= A= bc sin α 2 ab sin γ 2 ac sin β 2 ou A= ab sin γ 2 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 102 Remarques importantes 1. Lorsque deux angles sont donnés, le troisième sera calculé à l’aide de l’égalité α + β + γ = π . 2. Lorsqu’un seul angle est donné, chacun des angles inconnus sera calculé en utilisant soit le théorème du cosinus, soit le théorème du sinus mais pas la formule donnant la somme des trois angles qui peut alors conduire à des erreurs. 3. On privilégiera toujours, si possible, le théorème du cosinus à celui du sinus pour déterminer un angle inconnu. En effet, si l’angle est donné par son cosinus, seule la solution comprise entre 0 et π est à retenir (Celle donnée systématiquement par la calculatrice!). Par contre, si l’angle est donné par son sinus, deux solutions comprises entre 0 et π sont éventuellement à prendre en considération : l’une donnée systématiquement par la calculatrice, l’autre étant la supplémentaire de la première. 13.2.5 Exercices Exercice 13.4 Résoudre les triangles ABC suivants et calculer également leur aire : 1. a = 70.24 2. β = 58.25◦ b = 82.12 γ = 30.69◦ γ = 39.38◦ a = 20.46 3. a = 41.94 b = 96.92 c = 107.26 4. a = 20.43 b = 5.63 c = 27.84 5. β = 30.65◦ a = 98.06 6. β = 39.37◦ a = 460.14 b = 364.04 b = 335.59 Réponses 1. α = 58.79◦ β = 90.52◦ c = 41.92 2. α = 82.37◦ b = 17.55 c = 13.1 3. α = 22.99◦ β = 64.52◦ γ = 92.48◦ 4. impossible 5. α = 7.89◦ γ = 141.46◦ c = 444.95 6. deux solutions : α = 60.43◦ γ = 80.2◦ c = 521.33 ou α = 119.57◦ γ = 21.06◦ c = 190.11 Un observateur, couché sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35◦ avec la verticale. Sachant que le satellite gravite à 1000 km au-dessus de la surface de la Terre, quelle est la distance séparant le satellite de l’observateur (rayon de la Terre : 6370 km) ? Réponse: 1182.588 km Exercice 13.5 Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction 55◦ W à la vitesse de 38 km/h (les angles sont mesurés avec la direction N). Un deuxième bateau quitte le même port à 13 h 30 et vogue dans la direction 70◦ E à 28, 5 km/h. Calculez la distance séparant les bateaux à 15 h 00 . Réponse: 106.44 km CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 103 Exercice 13.6 (Le pavage de Penrose) Les pavés de Penrose4 ont la forme d’un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1 et dont un angle intérieur fait 72◦ . On situe un point P sur la diagonale AC à une distance 1 du sommet C . De ce point partent les deux segments de droite P B et P D rejoignant les deux autres sommets du losange, comme le montre la figure ci-dessous. Les deux pavés ainsi formés sont appelés ”fer de lance” et ”cerf-volant”. 1 B C Cerf-volant 1 1 1 P 72 Fer de lance A 1 D \ , AP \ \ 1. Calculez les mesures en degrés de ABP B et BP C. 2. Calculez la longueur du segment [BP ] à 0.001 près. 3. Calculez l’aire d’un fer de lance et d’un cerf-volant à 0.01 près. Réponses 1. 36◦ 4 Ce 108◦ 72◦ 2. 0, 618 3. 0, 36 0, 59 pavage joue un rôle important en cristallographie. Roger Penrose (Colchester, 8 août 1931 - ) Physicien et mathématicien britannique. Il enseigne les mathématiques au Birkbeck Collège de Londres où il élabore la théorie décrivant l’effondrement des étoiles sur elles-mêmes (Death of stars), entre 1964 et 1973 , où il rencontre le célèbre physicien Stephen Hawking. Ils travaillent alors àune théorie de l’origine de l’univers, Penrose y apportant sa contribution mathématique a la théorie de la relativité générale appliquée à la cosmologie et à l’étude des trous noirs. En 1974 , il publie un article où il présente ses premiers pavages non-périodiques : les pavages de Penrose (Pentaplexity, Bulletin of the Institute for Mathematics and its Applications, 10 , 266 − 271 , 1974 ). CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 104 Exercice 13.7 Une basilique est située au sommet d’une colline (voir schéma ci-dessous). Quelle est la hauteur de cette basilique ? Réponse: 105 m Exercice 13.8 Quelle est la longueur du segment [DE]? Réponse: ≈ 4, 69 Exercice 13.9 Construire et mesurer l’intensité de la force résultante (résolution algébrique) A A 10N 61 120 80N Réponse: ≈ 155, 42N et ≈ 17, 32N 20N 100N CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 105 Exercice 13.10 Le parallélogramme ABCD a ses diagonales qui mesurent 42 m et 51 m et qui font un angle de 62◦ . Calculer les mesures des côtés et les angles de ce parallélogramme. A B O 62 D C Réponses: b=C b = 102, 474◦ et B b=D b = 77, 526◦ . |AB| = |DC| = 39, 926 m ; |AD| = |BC| = 24, 26 m; A Exercice 13.11 Les côtés parallèles d’un trapèze mesurent 15 cm et 10 cm et les autres côtés 5 cm et 6 cm. Calculer les angles et les longueurs des diagonales. Exercice 13.12 Un calibre d’angles a la forme de la figure. Il est découpé dans une pièce d’acier de 15 cm sur 10 cm. Indiquer les cotes sur le plan si les encoches doivent avoir des parois de 2 cm de long. 135 90 60 45 30 Exercice 13.13 Calculer les éléments manquants. M N 12 31 49 P 18 Q