la conservation de l`energie - cours
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AP22 - LA CONSERVATION DE L’ENERGIE DONNEE Intensité de pesanteur : g = 9,81 N.kg 1 EXERCICE 1. 1. Calculer la variation d’énergie cinétique d’une voiture d’une tonne assimilée à un solide en translation qui, freinant, passe de la vitesse vi = 130 km.h 1 à la vitesse vf = 50,0 km.h 1. 2. Un nageur de masse M = 70 kg saute d’un plongeoir culminant à 7,5 m au-dessus du sol. Il touche la surface de l’eau de la piscine, à 30 cm sous le niveau du sol. Calculer la variation d’énergie potentielle de pesanteur du plongeur. EXERCICE 2. La légende dit qu'une pomme tombant en chute libre sur la tête d'Isaac Newton (1642-1727) révéla au grand physicien anglais sa théorie sur la gravitation. Si cette pomme était située à 2,6 m au-dessus de la tête de Newton, à quelle vitesse l'a-t-elle frappé ? Les frottements sont négligés. EXERCICE 3. Un skieur de masse m= 87,0 kg (avec son équipement) se laisse glisser après s'être donné une vitesse initiale v0 = 5,4 m.s 1. Le dénivelé de la piste est h = 110 m. 1. Calculer l'énergie cinétique initiale du skieur. Calculer également son énergie potentielle de pesanteur en précisant la référence utilisée. 2. En bas de la piste, le skieur a une vitesse v ' = 12,7 m.s 1. Calculer son énergie cinétique et son énergie potentielle de pesanteur en bas de la piste. 3. Calculer la variation d'énergie mécanique du skieur entre le haut et le bas de la piste. 4. Quels facteurs expliquent cette variation ? Comment réduire leur influence ? 5. Si l'énergie mécanique restait constante, quelle serait la vitesse v ’’ du skieur à l'arrivée en bas de la piste ? EXERCICE 4. Une bille de masse m = 30 g est suspendue à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable. L’autre extrémité du fil est fixée en un point O fixe dans le référentiel terrestre. La bille est écartée, fil tendu, de sa position d’équilibre et lâchée sans vitesse initiale. Le traitement avec un logiciel de pointage a permis d’obtenir les courbes ci-après. Energie (en mJ) (axe vertical) 1. Attribuer à chaque courbe l’énergie dont elle traduit les variations. Justifier. 2. Pour quel angle l'énergie potentielle de pesanteur de la bille est-elle nulle ? 3. D'après les courbes, comment varie l'énergie mécanique de la bille ? Que peut-on en conclure sur les frottements que l'air exerce sur la bille ? 4. Quelle est la valeur maximale de l'énergie cinétique de la bille ?5. En déduire la valeur de la vitesse maximale de la bille. 6. Calculer la hauteur maximale atteinte par la bille. EXERCICE 5. Un jeu d'enfant contient un personnage pirate et son canon. Ce dernier est constitué d'un tube cylindrique à l'intérieur duquel un ressort pousse un petit boulet de canon. L'enfant s'amuse à tirer un boulet verticalement vers le haut. Données : - L'énergie potentielle élastique emmagasinée par un ressort est définie par l'expression : Epe = ½.k.x2 où k caractérise la raideur du ressort. Pour ce jouet : k = 35,0 N.m1. x est la variation de longueur du ressort au cours de la compression et vaut ici x = 1,20 cm. - Les boulets fournis avec le jouet ont une masse m = 0,200 g. 1. Calculer la valeur de l'énergie emmagasinée par le ressort. 2. Sous quelle forme est stockée l'énergie par le ressort ? Sous quelle forme est celle reçue par le boulet de canon lors de la détente du ressort ? 3. Que devient l'énergie reçue par le boulet au cours du mouvement vertical ? 4. En appliquant le principe de conservation de l'énergie, calculer la hauteur à laquelle le boulet devrait monter. 5. Comment expliquer qu'en réalité, le boulet ne monte qu'à 1,0 m de haut ? CORRECTION AP22 EXERCICE 1. 1. Posons m = 1,0 t = 1,0.103 kg la masse de la voiture. 1km.h-1 = 1km/1h = 103 m/3600s = 1/3,6 m.s-1 La variation d’énergie cinétique est : ΔEC = EC(finale) - EC(initiale) = 1 .m.v2f - 1.m.vi2 donc 2 2 ΔEC = 1 .m( vf2 – vi2) 2 50,0 2 130 2 A.N. : ΔEC = 1 x 1,0.103[( )-( ) ]= - 555 kJ 2 3 ,6 3 ,6 Remarque : la variation d’énergie cinétique est négative car la vitesse diminue. 2. On définit un axe vertical Oz orienté vers le haut, avec une origine z = 0 au niveau du sol. On choisit le sol comme niveau de référence des énergies potentielles. l’altitude initiale zi = 7,5 m dans l’état final l’altitude z f = - 0,30 m, La variation d’énergie potentielle de pesanteur s’écrit : ΔEPP = EPP(finale) – EPP(initiale) = M.g.zf.- M.g.zi donc ΔEPP = M.g(zf – zi) A.N. : ΔEPP = 70 x 9,81(-0,30 – 7,5) = 5,4 kJ Remarque : la variation d’énergie potentielle de pesanteur est négative car le plongeur descend. EXERCICE 2 Le système « pomme » de masse m est assimilé à un point matériel dans le référentiel du sol. Le repère d'étude a pour origine la tête de Newton et posons z l'altitude de la pomme. Dans l'état initial, l'altitude est2 zi = 2,6 m et la vitesse initiale vi = 0. On peut en déduire l'énergie mécanique initiale : Emi = m.g.zi + ½.m.vi = m.q.zi Dans l'état final, l'altitude est zf = 0 et la vitesse finale vf inconnue. L'énergie mécanique finale est : Emf = m.g.zf + ½.m.vf2 = ½.m.vf2 En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve et : Emf = Emi Ainsi : ½.m.vf2 = m.q.zi Après simplification par la masse de la pomme (qui n'intervient donc pas) : ½.vf2 = q.zi On trouve ainsi : vf 2.g.zi soit : v f 29,812,6 = 7,1 m.s-1 (26 km.h-1) EXERCICE 3 1. L'énergie cinétique initiale du skieur est : EC0 1.m.v02 187,05,4 2 = 1,3.103J 2 2 En prenant comme altitude de référence le niveau du bas de la piste, l'énergie potentielle de pesanteur du skieur est : Epp0 = m.g.h = 87,0 9,81 110 = 9,39.104 J 2. En bas de la piste, l'énergie cinétique du skieur est : EC ' 1.m.v'2 187,012,7 2 = 7,02.103 J 2 2 Son énergie potentielle de pesanteur EPP’ est nulle, puisque le bas de la piste est l'altitude de référence (z = 0). 3. La variation d'énergie mécanique entre le haut et le bas de la piste est : ΔEm = (Ec’ + EPP’ ) - (EC0 + EPP0) = 7,02.103 - (1,3.102 + 9,39.104 ) = - 8,82.104 J = - 88,2 kJ L'énergie mécanique du skieur a diminué. 4. Une partie de l'énergie mécanique a été dissipée par les frottements de l'air sur le corps du skieur et ceux de la neige sur les skis. Pour réduire les frottements de l'air, le skieur peut diminuer sa prise au vent en se courbant et en utilisant une combinaison spéciale. Pour diminuer les frottements de la neige, il peut farter ses skis. 5. Si l'énergie mécanique restait constante, les énergies cinétique EC’’ et potentielle de pesanteur EPP’’ vérifieraient la relation : EC’’ + EPP’’ = EC0 + EPP0 L'énergie cinétique du skieur en bas de la piste s’obtient donc (puisque EPP’’ = 0) : EC’’ = EC0 + EPP0 Cette énergie s'écrit EC ’’ = ½.m.v ’’2, ce qui permet d'obtenir la vitesse v ’’ en bas de la piste : 2(.EC0 EPP0) 2(1,3.103 9,39.104 ) 2.EC'' = 46,8 m.s-1 v'' m m 87,0 EXERCICE 4 1. Lors de la descente de la bille (lorsque l’angle tend vers zéro), l’altitude du centre d’inertie de la bille diminue et sa vitesse augmente : l’énergie potentielle de pesanteur de la bille diminue tandis que l’énergie cinétique croît. Lors de la remontée de la bille (lorsque l’angle s’écarte de la valeur zéro), l’altitude du centre d’inertie de la bille augmente et sa vitesse décroît jusqu’à s’annuler : l’énergie potentielle de pesanteur de la bille augmente et l’énergie cinétique diminue. La courbe rouge correspond donc aux variations de l’énergie cinétique de la bille et la courbe verte aux variations de l’énergie potentielle de pesanteur de la bille. La courbe bleue est la somme de la courbe verte et de la courbe rouge, c’est-à-dire de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur : la courbe bleue correspond donc à de l’énergie mécanique de la bille. Em EPP EC 2. D’après le graphique, l’énergie potentielle de pesanteur est nulle lorsque l’angle est nul. En effet, lorsque = 0°, le fil est à la verticale et la bille est au plus bas. 3. La courbe bleue correspondant aux variations de l’énergie mécanique est horizontale : l’énergie mécanique est donc constante. On peut en conclure que les frottements que l'air exerce sur la bille sont négligeables. 4. Par lecture du graphique, la valeur maximale de l’énergie cinétique de la bille est de E Cmax = 15,0 mJ 1 2 5. EC .m.v2 et : v soi t 2 15.103 30.10 3 v 2.EC m 1,0 m.s 1 = 1,0 m.s -1 6. Lorsque la bille atteint son altitude maximale, sa vitesse est nulle. A cet instant, l’énergie mécanique E m de la bille est égale à l’énergie potentielle de pesanteur E PP (l’énergie cinétique est nulle, l’énergie potentielle de pesanteur est maximale), et : Em = EPP = 15 mJ En posant h la hauteur maximale atteinte par la bille, il vient : EPP = m.g.h et : h EPP 15.103 5,1.102 m 5,1 cm m.g 30.103 9,81 = 5,1 cm EXERCICE 5 1. La formule permettant de calculer l'énergie emmagasinée par le ressort est : Epe = ½.k.x2 = ½ 35,0 (1,20.10-2)2 = 2,52.10 -3J 2. Le ressort possède de l’énergie potentielle élastique (il est déformé). Quand il se détend, il transfère cette énergie au boulet de canon, celui-ci possède alors de l’énergie cinétique. 3. L'énergie cinétique du boulet se transforme en énergie potentielle de pesanteur pendant l'ascension du projectile jusqu'au sommet de la trajectoire où le transfert d'énergie est complet. En effet, durant l’ascension, la vitesse du boulet décroît tandis que son altitude augmente. 4. D'après le principe de conservation de l'énergie, si l'énergie potentielle élastique du ressort est entièrement transférée au boulet de canon sous forme d'énergie cinétique E C, elle-même entièrement convertie en énergie potentielle de pesanteur EPP au sommet de la trajectoire, alors Epe = EC = EPP = 2,52.10 -3J. Or : EPP = m.g.h avec h la hauteur atteinte par le boulet. Ainsi : h EPP 2,52.103 1,28 m = m.g 0,200 9,81 1,28 m 5. Les frottements entre le boulet et le fût du canon puis entre le boulet de canon et l'air transforment une partie de l'énergie cinétique reçue en énergie thermique.
