Correction DM 2

Mathématiques
L3 MIAGE
Devoir Maison 2 - Corrigé
Exercice
Le jeu du 421 consiste à lancer 3 dés en même temps, et d’essayer d’obtenir les chiffres 4, 2 et
1 sur la table (peu importe quel dé a fait quel chiffre).
a.
Quel est l’univers associé à cette expérience ?
L’expérience est ici le lancer de 3 dés en même temps : un résultat est alors le triplet des
chiffres des dés. Vu que l’univers est l’ensemble des résultats possibles à l’expérience,
en notant l’univers Ω, on a :
Ω = {(d1 , d2 , d3 ) | d1 , d2 , d2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3 .
b.
Quelle est la probabilité d’obtenir un 421 ?
On obtient un 421 sur la table (sans tenir compte de l’ordre de dés), si le résultat
de l’expérience est (1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2) ou (4, 2, 1). On peut en
particulier noter A l’événement obtenir un 421, et dans ce cas :
A = {(1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1)}.
P(A) =
c.
|A|
6
1
1
= 3 = 2 = .
|Ω|
6
6
36
Quelqu’un connu pour tricher une fois sur trois joue à ce jeu. Lorsqu’il triche, il obtient
de manière sûre un 421. Quelle est la probabilité que cet individu obtienne un 421 ?
On note T l’événement “l’individu triche” et G l’événement “cet individu obtient un
421”. On peut alors utiliser la formule des probabilités totales :
P(G) = P(G | T ) × P(T ) + P(G | T ) × P(T ).
– L’événement G | T a une probabilité de 1, vu que si l’individu triche, il obtient
automatiquement un 421.
– D’après l’énoncé, P(T ) = 1/3.
– En utilisant la formule du complémentaire, on obtient : P(T ) = 1 − P(T ) = 2/3.
– Enfin, l’événement G | T correspond à l’individu obtient un 421 sachant qu’il n’a
pas triché, ce qui correspond exactement à obtenir un 421 pour une personne
normale.
P(G) = 1 ×
d.
1
1
2
1
1
19
+
× = +
= .
3 36 3
3 54
54
Quelle est la probabilité que cet individu ait triché, sachant qu’il a obtenu un 421 ?
En utilisant les mêmes notations, on s’intéresse à la probabilité de l’événément T | G.
Etant donné qu’on connaît les probabilités de T , G et G | T grâce à la question
précédente, on peut utiliser le théorème de Bayes (à défaut on pouvait utiliser deux
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fois la définition des probabilités conditionnelles).
P(T | G) =
e.
1× 1
1 × 54
18
P(G | T ) × P(T )
= 19 3 =
= .
P(G)
3 × 19
19
54
Les joueurs peuvent maintenant parier sur leur score : pour entrer dans une partie, il faut
parier un jeton.
–
–
–
–
–
Si on fait un 421, on gagne sa mise + 25 jetons.
Si on a 3 fois le chiffre 1, on gagne sa mise + 10 jetons.
Si on a 3 chiffres identiques (autre que 1), on gagne sa mise + 2 fois (le chiffre) jetons.
Si on a 2 fois le chiffre 1, puis un autre chiffre, on récupère sa mise.
Dans les autres cas, la mise est perdue.
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire du gain ?
On note X la variable aléatoire du gain. Etant donné que la mise vaut un jeton, les
gains possibles sont 25 (pour un 421), 10 (pour 3 fois le chiffre 1), 4 (trois fois le chiffre
2), 6 (trois fois le chiffre 3), 8 (trois fois le chiffre 4), 10 (trois fois le chiffre 5), 12
(trois fois le chiffre 6), 0 (2 fois le chiffre 1, et un autre chiffre), −1 (tous les autres
cas). On va donc devoir calculer chacune de ces probabilités :
Obtenir un 421 :
1
On l’a déjà calculé à la question b. , et elle vaut
.
36
Obtenir trois fois le même chiffre :
Par exemple, pour obtenir trois fois le chiffre 1 : il faut que chacun des trois dés
soient tombés sur le chiffre voulu, il n’y a donc qu’une seule possibilité par dé,
1
1
et donc qu’un seul résultat qui mène à trois fois le chiffre 1. D’où : 3 =
.
6
216
Par symétrie, pour chacun des autres chiffres, on obtient aussi une probabilité
1
.
de
216
Obtenir deux fois le chiffre 1 et un autre chiffre :
Ici, l’énoncé n’était pas forcément clair, puisqu’il n’était pas indiqué si l’ordre
devait pris en compte ou non, d’autant plus que le “puis” semblait indiquer un
ordre. Les deux solutions pouvaient donc être choisies.
Avec ordre : Les deux premiers dés doivent tomber sur 1, et le dernier sur un
autre chiffre. Il y a donc 5 résultats possibles : (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4),
5
(1, 1, 5), (1, 1, 6). On obtient alors une probabilité de
.
216
Sans ordre : On doit commencer par choisir quel dé tombera sur un chiffre
différent de 1 : 3 choix possibles. Ensuite, ce dé a 5 possibilités (toutes
sauf le chiffre 1), et enfin, les deux dés restants doivent tomber sur le chiffre
1, donc ils n’ont qu’un seul choix possible. Cela donne une probabilité de
3×5×1
15
=
= 572.
216
216
Reste du temps :
Il suffit ici d’utiliser le fait que la somme des probabilités sur l’ensemble des
valeurs possibles d’une variable aléatoire doit valoir 1.
On peut alors donner la loi de probabilité de X suivant le choix fait, sans oublier que
l’événement X = 10 peut provenir de deux événements différents et disjoint, et en
indiquant le calcul du reste du temps en dessous.
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Avec ordre :
x
25
12
10
8
6
4
0
−1
P(X = x)
1
36
1
216
2
216
1
216
1
216
1
216
5
216
199
216
P(X = −1) = 1 −
1
1+2+1+1+1+5
216 − 6 − 11
199
−
=
=
.
36
216
216
216
Sans ordre :
x
25
12
10
8
6
4
0
−1
P(X = x)
1
36
1
216
2
216
1
216
1
216
1
216
15
216
189
216
P(X = −1) = 1 −
f.
1
1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 15
216 − 6 − 21
189
−
=
=
.
36
216
216
216
Quelle est la probabilité de gagner (strictement : uniquement récupérer sa mise ne compte
pas) de l’argent ?
L’événément “gagner strictement de l’argent” correspond exactement X > 0, ce qui
s’écrit encore X ∈ {25, 12, 10, 8, 6, 4}, puisque c’est l’ensemble des valeurs strictement
positives que X peut prendre avec une probabilité non nulle. Vu que tous ces événements sont disjoints, on peut conclure :
P(X > 0) = P(X = 25) + P(X = 12) + P(X = 10) + P(X = 8) + P(X = 6) + P(X = 4)
=
g.
1
1
2
1
1
1
6+1+2+1+1+1
12
1
+
+
+
+
+
=
=
= .
36 216 216 216 216 216
216
216
18
Bonus : Quelle est l’espérance de cette variable aléatoire ?
On peut utiliser directement la formule de l’espérance :
E[X] = 25 × P(X = 25) + 12 × P(X = 12) + 10 × P(X = 10) + 8 × P(X = 8)
+6 × P(X = 6) + 4 × P(X = 4) + 0 × P(X = 0) + (−1) × P(X = −1).
Avec ordre :
E[X] =
=
25 × 1 12 × 1 10 × 2 8 × 1 6 × 1 4 × 1 −1 × 199
+
+
+
+
+
+
36
216
216
216
216
216
216
150 + 12 + 20 + 8 + 6 + 4 − 199
1
=
.
216
216
Sans ordre :
E[X] =
=
25 × 1 12 × 1 10 × 2 8 × 1 6 × 1 4 × 1 −1 × 189
+
+
+
+
+
+
36
216
216
216
216
216
216
150 + 12 + 20 + 8 + 6 + 4 − 189
11
=
.
216
216