LES NOMBRES COMPLEXES. FORMES TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE. I. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul. 1. Module et argument d’un nombre complexe non nul. Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe. Le ............................. de z, noté z , est la longueur OM. L ................................... de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle ( u OM ). Il est défini à 2k près avec k entier. On écrit alors arg(z) mod(2 ) ou arg(z) (2 ). On pose |0| 0. Remarques : si z a est un nombre réel, on a alors z = a² = a (valeur absolue de a). Propriété : Pour tout complexe z, zz = z ². Démonstration : Soit z a ib (a et b réels) un nombre complexe non nul. Théorème : Soit z un nombre complexe non nul. On note z …………….. cos ........... Conséquences : arg( z) = ............................. arg(z). Alors : sin ................ M arg ( z ) = ................................ arg( z) = ………………………… M 4 o M 3 M 2 Remarques : Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même argument à un multiple de 2 près. Un nombre complexe non nul est réel ssi son argument est 0 ou à un multiple de 2 près. Un nombre complexe non nul est imaginaire pur ssi son argument est ou à un multiple de 2 près. Exemples : Sans calcul, déterminer le module et l argument des nombres suivants : z1 3 ; z2 2 ; z3 5i ; z4 i ; z5 1 i ; z6 2 2i. 2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul. Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument . On a z ....................................................................... : c’est la ................................................... Exemple 1 : Soit z Exemple 2 : Soit z Propriété : Si z Attention : r 2 2i 3 . Donner la forme trigonométrique de z. 3 cos isin . Donner la forme algébrique de z. 3 3 r(cos( ) isin( )) avec r 0, alors r(cos( ) isin( )) est la forme trigonométrique de z. 0 est nécessaire. Exemple : Donner la forme trigonométrique de z 2cos isin . Donner |z | et arg(z). 5 5 II. Opérations sur les modules et les arguments. Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z′ : z z’ z + z’ zz’ = z z’ et arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) mod 2 Pour tout entier naturel non nul n : zn = z n et arg(z n ) = n arg(z)mod 2 1 1 arg 1 arg(z) mod 2 z |z| z | z | et arg z = arg(z) arg(z ) mod 2 z z |z | z Démonstration dans le cas de zz’ : Application : Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de Z = ( déduire les valeurs exactes de cos 7 et sin 7 . 12 12 III. Interprétation géométrique. + i)(1 i) puis en A et B sont deux points d abscisses respectives zA et zB . Alors AB | zB zA| et ( u AB ) arg ( zB zA ) Applications : Dan le plan complexe, A est le point d affixe 1 i; B est le point d affixe 1 + i et C est le point d affixe 1 3. z z z z 1. Montrer que ( AB AC ) arg C A et que AB C A . z z AC B A zB z A z z 2. Calculer C A et en déduire la nature du triangle ABC. zB z A 3. Déterminer l ensemble (E) des points M d affixe z tels que |z 1 i | 5. 4. Déterminer l ensemble (F) des points M d affixe z tels que |z 1 i | | z 1 3| IV. La notation exponentielle d’un nombre complexe non nul. Soit f la fonction définie sur Pour tout réels et ’, f( et à valeurs dans par f( ) cos( ) isin( ) ) (cos( ) isin( ))(cos( ) isin( )) (cos cos −sin sin ) i(sin cos cos sin ) cos( ) isin( ) f( ) f( ) f(0) = 1. Comme la fonction exponentielle, f "transforme les sommes en produits" et vaut 1 en 0. On pose alors la notation : Pour tout réel , on note ....................................................... Exemples : ei0 = ei = e i /2 = e i 2/3 = On a vu que tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument pouvait s’écrire z r(cos + i sin . Ainsi : Définition : Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument peut s’écrire z = re i . C’est la .................................................................. On a alors avec cette notation : Pour tous réels et et tout entier naturel non nul n : e i = 1 et arg(e i ei e i e i ′ = e i ( ′) = e i (′) ei e i i e e i n = e n i (formule de Moivre) ei ei ei ei cos ()= et sin()= i Exemple : On donne z1 2e i 2 ; z2 ie i 3 et z3 3 3 3i. Ecrire z1, z2 et z3 sous forme exponentielle.