1 2 Perpendiculaire à un côté du secteur, tracée où l’on veut T RIGONOMÉTRIE I. MESURE Secteur représentant l’angle Considérons un secteur angulaire et un cercle ayant pour centre le Hypoténuse DÉFINITION D’ UN ANGLE EN RADIAN Côté « opposé » à sommet O de ce secteur. Soient A et B les points d’intersection de avec les côtés du secteur. Notons AB l’arc du cercle intercepté par longueur de l'arc AB rayon du cercle Côté « adjacent » à de l’angle AOB est le rapport : le secteur. La mesure en DÉFINITION Dans un triangle rectangle, on considère un angle (autre que l’angle droit). On définit le sinus, le cosinus et la tangente de cet angle comme rapports de certains côtés du triangle rectangle : ANGLES USUELS tan côté adjacent hypoténuse cos côté opposé hypoténuse sin 2πr 2 r πr Mesure en radian de l’angle plat : = r 1 πr πr π Mesure en radian de l’angle droit : 2 = = r 2r 2 Mesure en radian de l’angle plein : sin 2 1 2 » signifie cos « cos 2 T R I G O N O M É T R I Q U E S AU C O L L È G E L E S R A P P O RT S cos 2 II. RAPPEL : sin cos est la mesure en radian de l’angle plat. rad tan Angle plat = RÉSUMÉ RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES côté opposé côté adjacent 3 4 VALEURS EXACTES À CONNAÎTRE mesure de en degré L’arc fléché sert à « numéroter » les côtés (1-départ ; 2-arrivée) et non à orienter ! De ce fait, il peut tourner dans l’autre sens et cos sin B A O & % # " III. ANGLE % OA;OB % π 3 3 2 1 2 $ π 4 2 2 2 2 & π 6 1 2 3 2 mesure de en radian pourtant marquer le même angle : % 60° % 45° % 30° RÉCAPITULATIF DE COUPLE Angles de secteurs ANGLE DE SECTEUR Angles de couples Dans le secteur angulaire les deux côtés ont un rôle similaire, en revanche, on distingue le secteur saillant du secteur rentrant. Deux B B & % % % & % $ $ * A O entre la partie saillante et la partie rentrante, mais on distingue les B & % % ) A # " O & % % % & # " Départ % $ A O % ! ! OA;OB OA;OB % O A % $ B O & O * Arrivée A % ' AOB A % OA;OB % l’arrivée). B B B deux côtés (le numéro 1 et le numéro 2 ou si l’on préfère le départ et # " # " A O % OB;OA & % % % & % O % OA;OB % O BOA A ( ) AOB A ' ANGLE DE COUPLE Dans le couple de demi-droites (ou de vecteurs) on ne choisit pas B B % secteurs définissent le même angle lorsqu’ils sont « superposables ». 5 6 V I V. M E S U R E S O R I E N T É E S D ’ UN ANGLE DE COUPLE π 2 ORIENTATION . 0 / . - , + Pour mesurer les angles (de couple), on 9π ; ... 2 : . - , 0 + / + - , 0 / . 6 5 4 3 2 1 1 . = < ? > = < ; Chaque angle a ainsi une infinité de est traditionnellement représenté par le sens inverse des aiguilles 5π ; 2 : 3π π ; + ; 2 2 9 7π ; 2 9 ... ; . Sur le papier, ce sens d’une montre. Les mesures des angles sont alors munies d’un signe : 5π 2 Les mesures de l’angle droit direct sont : tout d’abord le plan, c'est-à-dire qu’on privilégie l’un des deux sens de rotation, qui sera appelé le : 9 3π 2 LA MESURE PRINCIPALE < ? > = A @ @ < B C ? π 2 de cet angle. D E G F E 8 7 π 2 D + π;π ) est appelée < qui appartient à l’intervalle ; sinon, elle est négative. C La mesure d’un angle donné qui a la plus petite valeur absolue (celle B si l’on tourne dans le sens trigonométrique, la mesure est positive, CONGRUENCE On passe d’une mesure à l’autre d’un même angle en ajoutant ou H soustrayant un certain nombre de fois 2 . On dit qu’elles sont angle droit direct angle droit indirect 2 . I K H B > ; TRIGONOMÉTRIQUE G E I F I J E < > Q ? O P ; ? O est le cercle de rayon 1 et de centre O. U U lorsque l’angle droit i; j T G E K O < ? S R Un repère orthonormé est dit est lui-même direct. < B ? < O < ? , le G G E K M cinq quarts de tours dans le sens positif, etc. N O ; i; j N Dans un repère orthonormé L DÉFINITION = aussi tourner de trois quarts de tours dans le sens négatif, ou de V. C E R C L E < de tourner d’un quart de tour dans le sens positif, mais on peut > ? Pour attribuer une mesure à l’angle droit direct, le plus simple est I J F I G LES MESURES entre elles, 7 8 + g 3π 4 j i π 4 π 6 0 5π 6 π 6 q π 2 q r Z trigonométrique. À tout point M de , on fait correspondre l’angle 2π 3 π 3 q 3π 4 r Z X le cercle q π r Y Y Dans un repère orthonormé direct O ; i; j , on note W AZIMUT π 3 5π 6 f O π 2 2π 3 π 4 ^ _ _ _ _ ^ ^ _ _ _ _ ^ ] ] e d c b a ` \ [ \ [ i;OM . L’angle i;OM s’appelle l’ du point M. + azimut M VI. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES AU LYC É E DÉFINITION f O i Dans un repère orthonormé direct : k sont les coordonnées du point d’« azimut » sur le k m l j k j i h et o cercle trigonométrique. (Respectivement abscisse et ordonnée.) sin 0, on pose : tan Lorsque cos cos p o n k o ANGLES USUELS Voici les mesures principales (en radian) des angles les plus courants, représentées sur le cercle trigonométrique (les mesures sont écrites à côté du point du cercle qui représente l’angle) : 9 10 x tan x } sin ~ } cos FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES sin, cos et tan peuvent être vues comme des fonctions. SINUSOÏDE Voici les courbes de ces trois fonctions. Les courbes des fonction sinus et cosinus (dans un repère orthogonal) se nomment des s z y x w s v u t s . { x sin x | –2 | cos x π 2 π 2 2 | x | – π 2 π 2