EXAMEN ANNEE 2012-2013 Licence Economie 2e année 1re SESSION 3e SEMESTRE Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (30 min, 5 points) En 2009, sur les 20 millions de foyers fiscaux français imposables, 3 % étaient soumis à l’impôt de solidarité sur la fortune (ISF). 1) Soit X le nombre de foyers fiscaux soumis à l’ISF sur 90 foyers choisis au hasard (parmi les foyers imposables). a) Il s’agit d’un tirage sans remise. Donc X suit une loi hypergéométrique H .20M; 90; 0:03/. Toutefois, le nombre de tirages (n D 90) étant très inférieur au nombre de foyers fiscaux (N D 20M ), on peut considérer les tirages avec remises et approcher la loi de X par une loi binomiale B.90; 0:03/. b) Le nombre moyen espéré de foyers soumis à l’ISF parmi les 90 est E.X / D 90 0:03 D 2:7. c) La probabilité qu’au moins deux des 90 foyers choisis soit soumis à l’ISF est P .X > 2/ D 1 P .X < 2/ D 1 P .X 6 1/ D 1 P .X D 0/ P .X D 1/ 1 0:0645 0:1785 D 0:756 2) En Ile-de-France (IdF), 5 % des foyers (imposables) sont soumis à l’ISF, alors qu’ils ne sont que 2.5 % sur le reste du territoire français. En outre, l’Ile-de-France représente 20 % de foyers fiscaux imposables. a) On note ISF l’événement « un foyer choisir au hasard est soumis à l’ISF » et IdF l’événement « un foyer choisir au hasard est en Ile-de-France. On a donc P .IdF/ D 0:2 P .IdF/ D 0:8 P .ISFjIdF/ D 0:05 P .ISFjIdF/ D 0:025 b) D’après la formule des probabilités totales, on a P .ISF/ D P .ISFjIdF/ P .IdF/ C P .ISFjIdF/ P .IdF/ D 0:05 0:2 C 0:025 0:8 D 0:03 D 3 % c) D’après la formule de Bayes, on a P .IdFjISF/ D P .ISFjIdF/ P .IdF/ 0:05 0:20 D D 0:3333 D 33:33 % P .ISF/ 0:03 Un tiers des foyers fiscaux soumis à l’ISF est situé en Ile-de-France. Exercice II (20 min, 4 points) Les primes de fin d’année accordées aux employés d’un grande entreprise sont uniformément réparties de 500 € à 1500 €. On note X la variable aléatoire donnant la prime d’un employé choisi au hasard. 1) D’après l’énoncé X suit une loi uniforme U.500; 1500/. (Cf cours pour représentation graphique.) 2) La prime moyenne perçue par les employés est E.X / D .1500 Var.X / D 500/2 .1500 12 500/=2 D 1000. L’écart-type est : 83 333:33 H) X p 83 333:33 288:675 3) La probabilité qu’un employé reçoive plus de 1200 € de prime est Z P .X > 1200/ D 1500 1200 1 1500 500 dt D 1500 1200 D 0:30 1500 500 La probabilité qu’un employé reçoive entre 750 et 1000 € est 1000 Z P .750 6 X 6 1000/ D 1 1500 750 500 dt D 1000 1500 750 D 0:25 500 Exercice III (35 min, 5.5 points) Pour a; b 2 R, on considère le couple de variables discrètes .X; Y / dont la loi est donnée dans le tableau suivant : Y X 0 1 0 1 a 1=3 b 1=6 1) On sait que la somme des probabilités est égale à 1. On trouve donc : X pij D 1 H) a C b C 1 1 1 C D 1 H) a C b D 3 6 2 2) La loi marginale de X est P .X D 0/ D a C b D 1=2 et P .X D 1/ D 1=2. On en déduit que X suit une loi de Bernoulli B.1; 1=2/. D’où E.X / D 1=2 et Var.X / D 1=4. 3) On a E.XY / D X ij 1 xij pij D 6 1 E.Y / D b C 6 1 E.X / E.Y / D 6 Cov.X; Y / D E.X Y / 1 1 1 bC D 2 6 12 b 2 4) Les variables X et Y sont non-corrélées lors Cov.X; Y / D 0. On en déduit que b D 1=6 et a D 1=3. 5) Pour les valeurs de a et b trouvées à la question précédente, on vérifie que pij D pi pj . pour i; j D 0; 1. Exercice IV (35 min, 5.5 points) Durant les fêtes de fin d’année, le volume des ventes (en kilogrammes) de chocolats d’un artisan-chocolatier est en moyenne de 400 Kg avec un écart-type de 50 Kg. On suppose que le volume des ventes X suit une loi normale. 1) Pour les fêtes 2012, l’artisan prévoit de produire 500 Kg de chocolats. a) On sait que X ,! N .400; 50/. L’artisan répondra à la demande si sa production est supérieure à la demande. Soit P .X 6 500/ D P .X 6 .500 400/=50/ D P .X 6 2/ D 0:9772 b) L’artisant vendra toute sa production si elle est inférieure à la demande. D’où P .X > 500/ D 1 P .X 6 500/ D 1 0:9772 D 0:0228 c) Pour qu’il répondre à la demande, il faut que X 6 500 et pour qu’il ne lui reste pas plus de 100 Kg d’invendus, il faut que X > 400. Donc P .400 6 X 6 500/ D P .X 6 500/ P .X 6 400/ D P .X 6 500/ P .X 6 0/ D 0:9772 0:500 D 0:4772 2) Pour répondre à la demande avec une probabilité de 0:99, il faut que la quantité produite Q vérifie Q P .X 6 Q/ D 0:99 ” P X 6 400 50 Donc Q D 400 C 2:33 50 D 516:5 Kg. 2 D 0:99 H) Q 400 D z0:99 D 2:33 50