PDF (formulas from app)
publicité
PhysPrem App LCD Cinématique v= dOM dt v : vecteur vitesse [v ] = € € OM a= € dv dt a € : vecteur position : vecteur accélération [ a] = € € m s m s2 Base de Frenet Soient N et T deux vecteurs unitaires liés au mobile : € • le vecteur T est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens positif • le vecteur N est normal à la trajectoire et orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire " dv a = T $ dt # 2 $a = v % N R avec a = aN ⋅ N + aT ⋅ T Mouvement circulaire uniforme € s : abscisse curviligne en m s = R⋅ θ € θ : angle en rad R : rayon en m € ω= Δθ Δt v = R⋅ω € ω : vitesse angulaire en rad/s v : vitesse linéaire en m/s R : rayon en m € ω : vitesse angulaire en rad/s € T= 1 f T : période en s f : fréquence en Hz € ω = 2⋅ π ⋅ f T= ω : vitesse angulaire en rad/s 2⋅ π ω € € fresh.lu z0 = 0 * Vitesse PhysPrem App initiale : LCD v 0 forme avec l'axe Ox un angle de tir At=0: v0 : v0x v0 cos v 0y v 0 sin tel que 0 < < 2 v 0 (à cause du choix des Ox et Oy !) Tir oblique (champ deaxespesanteur) 0z figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics #a = 0 % ay = −g x d)a =Forces extérieures $ g Seule force extérieure : poids P du projectile. (Nous avons négligé le frottement !) % x = v 0 ⋅ cos α ⋅ t ' & €1 2 '( y = − g⋅ t + v 0 ⋅ sin α ⋅ t + y 0 2 € y=− € g ⋅ x 2 + x⋅ tan α + y 0 2⋅ v 0 ⋅ cos2 α 2 équations paramétriques équation cartésienne € fresh.lu b) Système. Référentiel. Repère Le App système étudié est la particule chargée. PhysPrem Le référentiel est celui du condensateur qui crée le champ électrique uniforme. Choisissons l’origine O du repère: par exemple le point par lequel la charge entre dans le champ. LCD On choisit les directions des axes de façon que Oy soit parallèle à E et Ox soit perpendiculaire à E . Tir oblique (champ électrique) α: figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics positif si la particule se déplace vers les y positifs c) Conditions initiales négatif si la particule se déplace vers les y négatifs * Position initiale : A t = 0 : Position: x0 = 0 qE y0 = 0 a= m € # ax = 0 % $ qE %& ay = − m signe dépend de la nature de la charge et de l’orientation de l’axe ! € # x = v0 ⋅ cos α ⋅ t % $ 1 qE 2 t + v0 ⋅ sin α ⋅ t %& y = − 2 m équations paramétriques y=− qE ⋅ x 2 + x⋅ tan α 2 2 2⋅ m⋅ v 0 ⋅ cos α équation cartésienne € fresh.lu orme vectorielle PhysPrem App oit u AB un vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B. Les forces attractives LCD i s’exercent entre les deux masses ponctuelles s’expriment par FA sur B = − FB sur A = −K FA sur B = −K⋅ € mAmB u AB r2 Gravitation figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics mA ⋅ mB ⋅ uAB r2 !!!!!!" !" F m !!!" G = A sur B = −K ⋅ 2A ⋅ uAB mB r € force d’interaction gravitationnelle loi de Newton de la gravitation K= constante de gravitation universelle Nm 2 K = 6.67259 ⋅10−11 2 kg champ de gravitation créé par la masse mA [G] = N kg € G0 = K € figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics M R2 M R2 Gz = K 2 = G0 (R + z) (R + z) 2 champ de gravitation à la surface d’une planète sphérique homogène de masse M et de rayon R champ de gravitation à l’altitude z € fresh.lu PhysPrem App 1re B et C LCD 28 3 Particule soumise à une force centrale. Gravitation 4. Mouvement des planètes et satellites : Lois de Kepler Partisan du système de Copernic qu’il voulait démontrer en le confrontant à des observations précises, Kepler constata que les trajectoires des planètes ne sont pas circulaires mais Lois de Kepler elliptiques. a) Première loi figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics Les trajectoires planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers. 1. Loi des trajectoires : Les centres d’inertie des planètes décrivent des ellipses dont le Soleil b) Deuxième loi occupe l’un des foyers. En des durées égales, les aires balayées par le segment qui joint le centre de la planète au centre du des soleil sont égales. 2. Loi aires: Si t 2 t1 t4 t 3 alors A1 A2 . Le segment qui joint le centre de la planète au centre du soleil balaie des (On comprend aisément qu’à cause de la conservation de l’énergie mécanique totale du aires égales pendant des intervalles de temps égaux. système « planète-Soleil », la vitesse de la planète est plus grande si sa distance au Soleil Loipetite des périodes: est3.plus !) Le carré de la période de révolution T d’une planète est proportionnel au cube c) Troisième loi du demi-grand axe a de l’ellipse. 2 Le carré de la T période de révolution T d’une planète est proportionnel au cube du demi= cste grand axe a dea 3son orbite. T12 T22 constante a13 a 32 € fresh.lu PhysPrem App LCD atellite en mouvement circulaire et uniforme Données Le cercle peut être considéré comme une ellipse particulière où les deux foyers sont confondus. Dans ce cas le grand axe et le petit axe sont égaux et correspondent au diamètre. Satellites L’étude suivante se limite aux trajectoires circulaires, ce qui correspond en première approximation * aux orbites des satellites artificiels de la Terre dans le référentiel géocentrique (constitué par le centre de la Terre et trois étoiles fixes bien déterminées) ; * à la plupart des orbites planétaires dans le référentiel héliocentrique de Copernic (constitué par le centre du Soleil et les trois mêmes étoiles fixes). On considère un satellite de masse m figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics ournant autour d’un astre (Terre) de masse M M sur un cercle de rayon r = R + z, avec G = −K R = rayon de l’astre etaz = = altitude. r 2 ⋅u Le centre de la trajectoire coïncide avec celui de l’astre. v= € € € K⋅ M G0 =R R+z R+z 3 2π (R + z) 3 = T = 2π (R + z) 2 K⋅ M K⋅ M 4π 2 T2 = r 3 K⋅ M satellite de masse m en orbite circulaire autour un astre de masse M et de rayon R vitesse linéaire du satellite période de révolution du satellite autour de l’astre 3ème loi de Kepler € fresh.lu f m est le produit vectoriel de q v par B . PhysPrem App LCD b) Caractéristiques de la force de Lorentz direction : perpendiculaire au plan formé par qv et B sens : Mouvement dans undoigts champ déterminé par la règle des trois de la mainmagnétique droite (cf. figure) norme : f f m = q⋅ v Λm B qvB sin avec : q est la charge (C) fm : force (magnétique) de Lorentz v est la vitesse de la charge (m/s) v : vitesse en m/s B est l'intensité (la norme) du vecteur champ magnétique (T) q : charge en C est l'angle formé par qv et B . € B : champ magnétique en T 1 re B et C 4 Particule soumise à une force centrale. Champ magnétique 34 2. Etude cinématique dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire au champ magnétique Données : A l'instant initial t = 0, une particule de masse m et de charge électrique q pénètre avec la vitesse v 0 dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme B . figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics On suppose que v 0 est perpendiculaire à B. c) Attention Si q < 0 alors qv est de sens opposé à la vitesse v ! figure : M. André Mousset, www.al.lu/physics Nous étudions le mouvement de la particule à l'intérieur du champ uniquement. r= m⋅ v q⋅ B r rayon de la trajectoire circulaire en m a) Système. Référentiel. Repère Le système est la particule chargée. € m : masse de la particule chargée en kg Le référentiel est celui du dispositif qui crée le champ magnétique (par exemple deux bobines de Helmholtz). Le repère est celui de Frenet ( T , N ) lié à la particule, auquel on ajoute le vecteur unitaire k fixe et perpendiculaire au plan formé par T et N à l’instant t = 0. fresh.lu PhysPrem App LCD Condensateur Q = C⋅ U € € 1 E = C ⋅U 2 2 € Q : charge en C U : tension en V C : capacité en F énergie électrique emmagasinée Bobine € u = L⋅ di + r⋅ i dt loi d’Ohm de la bobine r : résistance interne en Ω € L : inductance en H 1 E = L⋅ I 2 2 énergie magnétique emmagasinée Oscillateurs électriques 2 € 1 d u u 2 = − L⋅ C dt équation différentielle u = tension en V L = inductance en H € C = capacité en F ω2 = € € 1 L⋅ C T = 2π L⋅ C période 1 1 E = L i2 + C u2 2 2 énergie électromagnétique € fresh.lu PhysPrem App LCD Oscillateurs mécaniques 2 k d x x 2 = − m dt équation différentielle € : élongation en m k : raideur en N/m m x(t) = X m ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ) € € solution de l’équation différentielle Xm ω ϕ € ω2 = ω⋅ t +ϕ : amplitude en m : pulsation en rad/s : phase initiale en rad : phase en rad € k m T = 2π : masse en kg € € € x € m k € 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 période énergie mécanique € € fresh.lu PhysPrem App LCD Ondes mécaniques c= F µ célérité d’une onde dans une corde c : célérité en m/s F : tension en N µ : masse linéaire en kg/m € € λ = c ⋅T € € € y S (t) = Y0 sin(ω ⋅ t + ϕ ) € € € λ T : longueur d’onde en m : période en s équation horaire de la source de vibration Y0 : amplitude en m ω ϕ : pulsation en rad/s : phase initiale en rad € ω ⋅ t + ϕ : phase en rad t € x y(t, x) = Y0 sin(2 π ( − ) + ϕ ) équation d’onde T € λ € Interférence 1D € fn = n F 2⋅ L µ € δ = 2n ⋅ f : fréquence en Hz n : nombre de fuseaux L : longueur de la corde en m € Interférence 2D € λ 2 δ = (2n +1)⋅ fréquences propres d’une corde ; expérience de Melde interférence constructive € λ 2 interférence destructive € δ : distance entre 2 points en m n : nombre entier € € € fresh.lu lumière. Dans la région où les deux faisceaux se superposent, les ondes lumineuses interfèrent. Il y a lumière en M si l’interférence y est constructive. Il y a obscurité en M si l’interférence y est destructive. PhysPrem App LCD b) Etude théorique * Calcul de la différence de marche L’état vibratoire en un point M dépend de la différence de marche de ce point aux deux sources O1 et O2: d d O M lumineuses OM Interférences Fentes de Young 2 1 2 1 D = distance séparant le plan desfigure fentes plan de l’écran : M.du André Mousset, www.al.lu/physics a = distance séparant les deux fentes a⋅ x D x = abscisse duδ point l’écran repéré par rapportdifférence à la médiatrice IJ de O1O2. = d2 M − dde de marche 1 = a : distance séparant les deux fentes m Compte tenu de ces notations, et en appliquant le théorème de Pythagore pour les triangles D : distance entre fentes et écran en m (O1KM) et (O2LM), on peut écrire: € d12 D2 a 2 2 x € λ⋅D 2 € a 2 2 a d2 D x 2k +1 λ ⋅ 2D € ⋅ x= 2 a λ⋅D i= a x =k⋅ € x : abscisse du point M en m position des franges brillantes position des franges obscures interfrange : distance séparant deux franges de même nature € € fresh.lu PhysPrem App LCD Relativité restreinte ΔT = ΔT0 v2 1− 2 c dilatation du temps ΔT ΔT0 € L = L0 ⋅ 1 − v2 c2 : durée propre en s contraction des longueurs € € : durée impropre en s L : longueur en mouvement en m L0 : longueur en repos en m € p = m⋅ v = m0 ⋅ v 1− v2 € c2 € p : quantité de mouvement en kg m/s m0 : masse au repos en kg € € m0 ⋅ c2 2 € E = m⋅c = v2 1− 2 €c m : masse relativiste en kg E : énergie en J E 0 = m0 ⋅ c2 énergie au repos en J € E cin = E − E 0 énergie cinétique en J € E 2 = E 02 + p 2 ⋅ c 2 relation entre énergie totale et quantité de mouvement € € fresh.lu PhysPrem App LCD Dualité onde-corpuscule E = h ⋅ν énergie d’un photon € E cin = E ph − Ws € € h p ν : fréquence en Hz effet photoélectrique E cin : énergie cinétique de l’électron éjecté en J E ph : énergie du photon en J Ws : travail d’extraction en J € longueur d’onde de de Broglie € € : constante de Planck en Js € € λ= h h : constante de Planck p : quantité de mouvement en kg m/s € € fresh.lu PhysPrem App LCD Atome de Bohr 1 1 1 = RH ( 2 − 2 ) λ 2 n formule de Balmer-Rydberg λ € m ⋅ vn ⋅ rn = n ⋅ h 2π E = E f − Ei = h ⋅ ν € € € € € € : constante de Rydberg : nombre entier postulats de Bohr ε0 ⋅ h 2 2 n rn = π ⋅ m ⋅ e2 orbites de Bohr 1 e2 E(rn ) = − 8 ⋅ π ⋅ ε 0 rn énergie de l’atome H m ⋅ e4 1 En = − 2 8 ⋅ ε0 ⋅ h 2 n 2 énergie de l’atome H E = E1 € € RH n : longueur d’onde du photon émis ou absorbé 1 1 2 − 2 = h ⋅ν nf ni énergie du photon émis ou absorbé € fresh.lu PhysPrem App LCD Physique nucléaire M NA m0 = € € € € € € N= m ⋅ NA M : masse d’un atome en kg M : masse molaire en kg/mol NA : nombre d’Avogadro nombre d’atomes dans un échantillon de masse m € A Z X→ AZ−4−2Y + 24 He€ radioactivité α A Z X→ Z +1A Y + −10e + υ e radioactivité β- A Z X→ Z −1A Y + +1 e + υ e radioactivité β+ A Z X * → ZA X + γ radioactivité γ 0 N = N 0 ⋅ e − λ ⋅t = N0 ⋅e T1/ 2 = € € € m0 − ln 2 loi de la décroissance radioactive t T1/ 2 ln 2 λ λ T1/ 2 dN dt =λ⋅N : demi-vie ou période radioactive en s activité en Bq € A=− : constante de désintégration en 1/s € = A0 ⋅ e − λ ⋅t E l = Δm ⋅ c 2 énergie de liaison en J € Δm € c :défaut de masse en kg : vitesse de la lumière en m/s € € fresh.lu
