Simplification Topologique de Champs Scalaires Volumiques
Thématique: Géométrie Algorithmique (applications à la visualisation scientifique)
Laboratoire: LTCI UMR CNRS 5141 / Télécom ParisTech
Ville: Paris (13ème), France
Équipe: Traitement et Interprétation des Images
Directeur(s) de stage:
Julien Tierny <tierny@telecom-paristech.fr>, http://www.telecom-paristech.fr/~tierny
Pooran Memari <memari@telecom-paristech.fr> http://www.telecom-paristech.fr/~memari
Directeur du laboratoire: Olivier Cappé <cappe@telecom-paristech.fr>
Illustration 1: Simplification topologique de champs scalaires définis sur des surfaces [10]. Le graphe de
Reeb de la fonction en entrée est simplifié selon différentes métriques (squelette, en haut) et l'algorithme
reconstruit de manière robuste une fonction simplifiée admettant cette topologie (admettant ces singularités).
Contexte Général :
Les champs scalaires (fonctions réelles définies sur des variétés) sont des données très récurrentes en Visualisation
Scientifique, par exemple dans le contexte d'analyse de simulations physiques ou d'acquisition volumique. Pour
appréhender la complexité de ces données, de nombreuses techniques topologiques issues de la théorie de Morse [1]
ont été proposées pour capturer la structure du champ (les relations entre ses singularités) dans des abstractions
topologiques de haut niveau comme les graphes de Reeb [2, 3] ou les complexes de Morse-Smale [4]. De plus, des
méthodes efficaces existent pour la simplification de ces abstractions [5, 6], produisant ainsi des représentations multiéchelles de la topologie du champ. Cependant, ces dernières méthodes ne simplifient pas le champ scalaire sous-jacent
directement. Or, dans de nombreuses applications, il peut être utile de simplifier le champ, ne serait-ce que pour
visualiser l'impact de la simplification. Par ailleurs, la simplification de la topologie du champs en tant que prétraitement permet d'accélérer grandement la plupart des algorithmes topologiques, rendant ainsi possible l'analyse
topologique dans un contexte de visualisation in-situ (en même temps que la simulation produisant la donnée).
Objectifs du stage :
Dans ce stage, nous souhaiterions développer de nouveaux algorithmes pour la simplification topologique de champs
scalaires définis sur des 3 variétés linéaires par morceaux (maillages tétraédriques). Par contraste avec les approches
numériques (visant à approcher la solution par résolution d'équations aux dérivées partielles), nous souhaiterions
développer un algorithme combinatoire, ce type d'approche permettant de fournir des garanties topologiques fortes sur
la justesse du résultat au travers de preuves formelles.
Plusieurs algorithmes combinatoires ont été proposés dans le cas des champs scalaires définis sur des 2-variétés [7, 8, 9]
dont un récemment, plus général que les approches précédentes, par l'un des encadrants de ce sujet de stage [10] (Fig.
1). Cependant, en augmentant la dimension du domaine (en passant des surfaces aux volumes), le problème devient
notoirement plus compliqué, puisque de nouveaux types de singularités émergent dans les champs au fur et à mesure
que la dimension augmente. Le stage pourra se décliner selon les étapes suivantes :
1. Étude bibliographique (cf Références bibliographiques ci-dessous)
2. Étude des avantages et inconvénients des différents formalismes de représentation et de manipulation des
champs scalaires (réprésentations linéaires par morceaux traditionnelles ou par gradient discret [11, 12]).
3. Extension directe de l'algorithme présenté dans [10] pour la suppression des paires de singularités
extrema/selles.
4. Définition d'un nouvel algorithme pour la suppression des paires de singularités 1-selles/2-selles.
5. Implémentation de l'algorithme.
Selon l'avancement du stagiaire, de nombreuses applications en Visualisation Scientifique pourront être mises en œuvre,
notamment pour la simplification de rendus volumiques guidés par la topologie. Enfin, selon l'avancement du stagiaire,
la publication des résultats de ce stage est envisagée.
Compétences espérées
Des connaissances rudimentaires en géométrie algorithmique sont nécessaires. Des compétences en C ou C++
constituent un plus. Curiosité, persistance et aptitudes au travail d'équipe sont des compétences humaines bienvenues !
Questions/Contacts
N'hésitez pas à contacter Julien Tierny <tierny@telecom-paristech.fr> ou Pooran Memari <memari@telecomparistech.fr> en cas de question.
Références bibliographiques
[1] Morse M., « Relations between the critical points of a real function of n independant variables », Transactions of the American Mathematical Society, 1925.
[2] Reeb G., « Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une fonction numérique », Comptes-rendus des Séances de l'Académie des Sciences, 1946.
[3] Tierny J., Gyulassy A., Simon E., Pascucci V., « Loop Surgery for Volumetric Meshes : Reeb Graphs Reduced to Contour Trees », IEEE Transactions on Visualization and Computer
Graphics (Proc. Of IEEE VIS 2009).
[4] Gyulassy A., Bremer P.T., Hamann B., Pascucci V., « A practical approach to Morse-Smale Complex Computation : Scalability and Generality », IEEE Transactions on
Visualization and Computer Graphics (Proc. Of IEEE VIS 2008).
[5] Edelsbrunner H., Letscher D., Zomorodian A., « Topological Persistence and Simplification », Discrete and Computational Geometry, 2002
[6] Carr H., Snoeyink J., Ulrike A., « Simplifying flexible isosurfaces using local geometrical measures », Proc. Of IEEE VIS 2004.
[7] Edelsbrunner H., Morozov D., Pascucci V., « Persistence-sensitive simplification of functions on 2-manifolds », Proc. Of ACM Symposium on Computational Geometry, 2006.
[8] Attali D., Glisse M., Hornus S., Lazarus F., Morozov D., « Persistence-sensitive simplification of functions on surfaces in linear time », Proc. Of TopoInVis 2009.
[9] Bauer U., Lange C., Wardetzky M., « Optimal topological simplification of discrete functions on surfaces », Discrete and Computational Geometry, 2012.
[10] Tierny J. and Pascucci V., « Generalized Topological Simplification of Scalar Fields on Surfaces », IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics (Proc. Of IEEE VIS
2012).
[11] Forman R., « A User's Guide to Discrete Morse Theory », Advances in Mathematics, 1998.
[12] Gunther D., Reininghaus J., Prohaska S., Weinkauf T., Hege H.C., « Efficient Computation of a Hierarchy of Discrete 3D Gradient Vector Fields », Proc. Of TopoInVis 2011.
Illustration 2: Application de la simplification topologique de champs scalaires à la suppression de bruit
numérique lors de la résolution d'équations aux dérivées partielles sur les surfaces [10]. La discrétisation
par poids co-tangents de l'opérateur de Laplace-Beltrami (b) est instable numériquement (par opposition au
Laplacien de graphe (a)) ; notre algorithme peut corriger automatiquement ce bruit pour fournir une
solution (c) géométriquement et topologiquement correcte.
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