Cours Ensembles de nombres

ENSEMBLES DE NOMBRES
Ne pas confondre « nombre » et « chiffre »
Les nombres servent à dénombrer, calculer….les chiffres servent à écrire les nombres.
Numération de position : Principe selon lequel la signification d'un chiffre dépend de sa
position dans le nombre. Par exemple, dans 3033, le 3 le plus à droite signifie 3, le second
le plus à droite 30, et le plus à gauche 3000.
Les nombres sont écrits à partir de 10 chiffres ou encore en base 10
ex. 2357 = 2×103+3×102+5×101+7
I - Les entiers naturels
On les appelle « naturels » car ce sont ceux qu’on utilise pour compter des choses dans
la nature
1. Définition
L’ensemble des entiers naturels noté ℕ est celui des nombres obtenus (générés) par
addition à partir de 0 et 1.
ℕ= {0 ;1 ;…. ;n ;n+1 ;…}
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté ℕ*
3
ℕ se lit 3 appartient à ℕ, 0 ∉ ℕ* se lit 0 n’appartient pas à ℕ étoile.
Représentation sur une droite :
On remarque la régularité : les nombres se suivent de 1 en 1, il n'y a aucun entier
naturel entre 1 et 2 , 2 et 3 etc...
2. Opérations dans ℕ
Théorème 1 : La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.
Théorème 2 : le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
Ces théorèmes ne sont pas valables pour la soustraction et la division.
Touteslesadditionsettouteslesmultiplicationssontpossiblesdanscetensemble,maispas
touteslessoustractions(ex3–5)nitouteslesdivisions(ex2/5).
II – Entiers relatifs
On les appelle relatif car ils sont relatifs au zéro
1. Définition : L’ensemble des entiers relatifs, ou entiers, noté ℤ est celui des entiers
naturels et de leurs opposés.
deux nombres opposés sont deux nombres dont la somme est 0.
1
2.
Représentation sur une droite
Le nombre 1 est situé une unité à droite du 0, et on place le nombre -1 une unité à
gauche de 0, le nombre 2 est situé deux unités à droite de 0 et le nombre -2, deux unités
à gauche de 0 etc ...
3.
on remarque que les entiers relatifs sont régulièrement répartis de 1 en 1 et à gauche et à
droite de 0.
Opérations dans ℤ :
Dans ℤ toutes les additions et toutes les soustractions sont possibles, on parle de somme
algébrique ou somme. Soustraire un nombre c’est ajouter son opposé 3 − 2 = 3 + (−2)
Théorème 3 : la somme, ou le produit, de deux entiers relatifs est un entier relatif.
Remarques : toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans ℤ ex 2 ∉ ℤ
3
Tout entier naturel est un entier relatif on dit que ℕ, est inclus dans ℤ et on note
ℕ ⊂ ℤ ce qui signifie que si a ∈ ℕ, alors a ∈ ℤ la réciproque est fausse.
exemple si 3 ∈ ℕ, alors 3 ∈ ℤ mais −3 ∈ ℤ et − 3 ∉ ℕ
4.
III – Nombres décimaux
Définition : l’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻, est celui des nombres qui
a
peuvent s’écrire sous la forme n avec a∈ ℤ et n∈ ℕ,
10
n
(ou sous la forme a×10 avec a ∈ ℤ et n ∈ ℤ)
1232
ex : 1,232 =
ou 1,232 = 1232×10-3.
3
10
Remarques : toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans 𝔻 (ex 5 / 3)
ℕ, ⊂ ℤ ⊂ 𝔻
Les nombres décimaux s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule
IV – Nombres rationnels
Définition :
L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ est celui des nombres qui peuvent s’écrire
sous la forme a avec a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*. Réfléchir sur les ensembles pour a et b
b
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ
Théorème 4 :
Tout nombre rationnel admet une écriture unique sous forme d’un fraction irréductible
Remarque : Touteslesadditions,lessoustractions,lesmultiplicationsettouteslesdivisions
sontpossiblesdanscetensemblemaisilexistedesmesuresquinepeuventêtrequantifiée
danscetensemble,parexemplelalongueurdeladiagonaled’uncarrédecoté1
2 oule
périmètred’uncerclederayonr 2𝜋𝑟 .
2
Irrationalité de 2 , raisonnement par l’absurde :
Supposons que 2 est un nombre rationnel donc qu’il existe deux nombres entiers a
et b, premiers entre eux (pas d’autre diviseur commun que 1), tels que :
2 = a . (cf. th. 4)
b
donc si on met au carré on a 2 = a²
b²
donc a² = 2b² et donc a² est un nombre pair puisqu’il est le
produit d’un nombre par 2.
On se pose la question : si a² est un nombre pair, a est-il un nombre
pair ?
Un nombre pair peut s’écrire a = 2n donc son carré est a 2 = 4n 2 est
un nombre pair.
Un nombre impair peut s’écrire a = 2n+1 (2n est pair donc si on lui
ajoute 1 on obtient un nombre impair)
donc son carré a 2 = (2n+1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 est un nombre impair
Réponse : si a 2 est pair, a est pair et réciproquement.
Donc comme a² est un nombre pair on en déduit que a est un
nombre pair et on peut écrire :
a = 2p
d’où a² =4p²
Si on rapproche les deux égalités encadrées on en déduit que :
2b²=4p²
donc b²=2p²
donc b² est un nombre pair et donc b est un nombre pair.
2 est un nombre rationnel signifie (équivaut à) qu’il existe deux
nombres entiers tels que 2 = a , avec a et b, premiers entre eux
b
La supposition
cette hypothèse a pour conséquence :
a est un nombre pair et b est un nombre pair.
Il y a donc contradiction entre les deux affirmations (c’est absurde)
et donc 2 ne peut pas être un nombre rationnel.
Il existe donc des nombres qui ne sont pas rationnels (autre exemple : π).
3
Nombres réels
1. Définition :
Soit une droite munie d’une origine O, d’un sens, et d’une unité OA = 1 (on peut dire
munie du repère (O ;A)) :
A tout point M de cette droite (OA) on associe un nombre x, appelé abscisse de M
dans le repère (O.A), tel que :
x = OM si x ∈ [OA)
x = − OM si x ∉ [OA)
Rappel la notation [OA) signifie la demi droite qui commence en O et passe par A (en
rouge)
L’ensemble de ces nombres est appelé ensemble des réels et est noté ℝ
ℕ⊂ ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ
Tout ce qui a une existence « réelle » peut être quantifié avec les réels.
2. Intervalles de ℝ:
L’ensemble des réels ℝ est l’ensemble de tous les nombres compris entre moins
l’infini, noté −∞, et plus l’infini, noté +∞.
On note parfois ℝ = ] −∞; +∞[ intervalle ouvert car −∞ et +∞ ne sont pas des
nombres réels, on ne peut jamais les atteindre
a et b étant deux réels donnés tels que a < b (donc a – b < 0), certaines parties de
ℝ sont appelés intervalles de ℝ et sont notés de la façon suivante.
Ensemble des
réels x tels
que
Représentation
Intervalle
] -∞ ; a [
𝑥 < 𝑎
𝑎 ≤ 𝑥 ≤𝑏
[a ; b]
a< 𝑥 <b
]a;b[
4
[a ; b [
a ≤ 𝑥 <b
[a ; +∞ [
x≥ a
Intersection d’intervalles :
L’intersection de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui appartiennent
à l’un et à l’autre des deux intervalles. On le note I ∩ J.
Si les intervalles sont disjoints (n’ont aucun nombre commun) leur intersection est
l’ensemble vide, noté Ø
Exemple : I = [-5 ; 7] et J = ]2 ;10[
I ∩J = ]2;7]
Réunion d’intervalles :
La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’un ou à
l’autre des deux intervalles.
Exemple : I = [-5 ;7] et J = ]2 ;10[
I ∪J = [-5 ;10[
Remarque : « crochets ouverts » et « crochets fermés »
Un crochet est « fermé » s’il est tourné vers l’intervalle :
Dans I les deux crochets sont tournés vers les nombres de l’intervalle, ils sont « fermés »
cela signifie qu’on peut prendre – 5 et 7 (ainsi que tous les autres nombres entre eux )
donc tous les nombres x tels que −5 ≤ 𝑥 ≤ 7
Dans J le premier crochet n’est pas tourné vers les nombres de l’intervalle, il est ouvert,
on ne peut pas prendre 2, le deuxième crochet est tourné vers les nombres, il est
« fermé » on peut prendre 10.
donc tous les nombre x tels que 2 < 𝑥 ≤ 10
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