Université Toulouse 2 le Mirail L2 MASS. Rattrapage analyse S3 Année universitaire 2006/2007 Suites numériques. Exercice 1 1. Montrer que toute suite convergeante est bornée. 2. Montrer que toute suite croissante non majorée tend vers +∞ 3. Montrer que si une suite converge, alors sa limite est unique. 4. (a) Soit (un ) une suite numérique telle que (u2n ) et (u2n+1 ) convergent et ont même limite `. Montrer qu’alors (un ) converge également vers `. (b) En déduire que la suite ((−1)n )n∈N n’a pas de limite. 5. Montrer que si (un ) est une suite positive qui ne tend pas vers +∞, alors (un ) admet une sous suite convergente. ******************** Exercice 2 Soit (un ) une suite numérique. on suppose que les suites extraites (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) convergent. Montrer qu la suite (un ) converge également et que toutes ces suite ont même limite. ******************** Exercice 3 1. Soit (rn )n∈N une suite d’entiers relatifs qui converge et soit r sa limite. (a) Montrer que (rn ) est stationnaire à partir d’un certain rang. (Rappel : la plus petite distance entre deux entier distincts est 1...) (b) En déduire que r est un entier relatif. 2. Soit x ∈ R\Q et soit (un ) une suite de nombres rationnels qui converge vers x. Pour tout n ∈ N, on note pn un = , (pn , qn ) ∈ Z × N∗ . qn Montrer que (qn ) et (|pn |) tendent vers +∞. ******************** Exercice 4 Soit f : N → N une application injective. Montrer que la suite (f (n))n∈N tend vers l’infini. ******************** Exercice 5 Calculer les limites des suites (un )n∈N dans les cas suivantes : 3n − 2n a) un = n , 3 + 2n b) un = √ n 1 n2 , c) un = √ n+1− √ n ******************** Exercice 6 Soient (un )n>2 et (vn )n>2 définies par un = n Y cos k=2 π 2k , vn = un sin 1. Montrer que (un ) est monotone. 2. Montrer que (vn ) est une suite géométrique. 3. En déduire vn puis un en fonctions de n. 4. En déduire la limite de la suite (un ). ******************** Exercice 7 Soit (un )n∈N∗ définie par √ n 2n un = n . 4 n 1. Montrer que (un ) est monotone. 2. Soit (vn ) définie par vn = ln un+1 − ln un . (a) Montrer que pour tout x ∈ R+ , on ln(x + 1) 6 x. n X 1 vk 6 . (b) En déduire que 8 k=1 3. En déduire que (un ) converge. 2 π 2n .