Feuille d`exercices : Ondes sonores

Feuille d'exercices : Ondes sonores
P Colin
16 mars 2017
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Intensité sonore
Deux ondes sonores, dont l'une a une fréquence égale au double de la fréquence de
l'autre, ont des amplitudes de déplacement des particules uides égales.
1. Laquelle de ces ondes correspond à la surpression de plus grande amplitude ? Dans
quel rapport ? Quel est le rapport de leur intensité ?
2. Si l'amplitude d'une onde sonore est triplée, de combien de décibels l'intensité sonore
augmente-t-elle ?
3. Quelle est l'intensité sonore en décibels d'une onde sonore se propageant dans l'air
pour laquelle l'amplitude de déplacement des particules de uide est de 0,1 mm à
180 Hz ?
4. Si deux pétards qui explosent en même temps produisent une intensité sonore de 90
dB, quelle serait l'intensité sonore si un seul des deux pétards explosait ?
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Détermination de la célérité des ondes acoustiques
On considère un tuyau horizontal, cylindrique, d'axe Ox, de section S , rempli d'air
assimilé à un gaz parfait de masse molaire M . Dans les conditions de l'expérience (à la
température de 18◦ C), sa masse volumique au repos est ρ0 .
La longueur du tuyau est L = 1, 45 m. À l'extrémité x = L, est placé un haut-parleur
associé à un générateur basse fréquence : le déplacement de la membrane du haut-parleur
est ξ(t) = ξ0 cos ωt. À l'autre extrémité (x = 0), l'expérimentateur place une plaque
métallique rigide en aluminium. Un microphone mobile, relié à un millivoltmètre, peut se
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déplacer à l'intérieur du tuyau sans perturber les phénomènes étudiés. On suppose que les
grandeurs vibratoires ne dépendent que de x et de t.
Le micro délivre
une tension proportionnelle à la valeur ecace de la pression acousp
tique : V = α < p2a >.
1. Déterminer l'expression de la pression p(x, t) dans le tuyau en tenant compte des
conditions aux limites.
f (Hz)
300
500
988
x1 (cm)
32,0
17,7
8,0
xi (cm)
89,0
120,0
112,0
i
2
4
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2. L'expérimentateur relève la position du premier minimum de tension rencontré à
partir de x = 0 et celui du i-ème pour trois fréquences diérentes (tableau ci-dessus).
Calculer pour chacune de ces fréquences les valeurs de la longueur d'onde λ, de la
célérité c des ondes acoustiques dans le tuyau et celle de γ = ccvp . Commenter.
3. Le micro étant placé en x = 0, l'expérimentateur observe que les indications du
voltmètre passent par des valeurs très importantes pour certaines fréquences dont il
relève quelques valeurs : 355 Hz, 472 Hz, 590 Hz. Expliquer ces résultats. Y a-t-il
contradiction avec le fait que c'est le déplacement de la membrane qui génère les
ondes ?
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Ondes sphériques
On s'intéresse à la propagation d'ondes sonores à symétrie sphérique : les champs
p1 (M, t), µ1 (M, t) et v(M, t) ne dépendent que de r, distance à un point xe O et du temps
∂
t. Le laplacien d'une fonction f (r, t) en coordonnées sphériques est ∆f = r12 ∂r
r2 ∂f
∂r .
1. Déterminer l'expression générale de la surpression p1 (r, t).
On étudie dans la suite de l'exercice une onde sphérique divergente harmonique de
la forme :
p
p1 =
0
r
exp i(ωt − kr)
2. Montrer que le champ des vitesses s'écrit comme la somme de deux termes. Justier
la dénomination de champ proche et champ lointain et examiner leur contribution à
l'intensité I de l'onde.
p
3. Exprimer l'impédance Z = v1 d'une telle onde en fonction de µ0 c et kr. Commenter.
Une petite sphère de rayon moyen r0 eectue un petit mouvement radial harmonique :
r(t) = r0 + a cos(ωt) avec a r0 .
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4. Exprimer p0 en fonction de a, et r0 puis la puissance d'émission sonore P de la sphère
pulsante en fonction des données a, et r0 entre autres. Les sources de petite taille
sont-elles adaptées à produire des sons graves ?
5. Application numérique : calculer l'amplitude a avec laquelle doit vibrer une membrane de haut-parleur en forme de calotte sphérique de rayon r0 = 5 cm pour produire
un son grave de fréquence f = 50 Hz et de forte intensité IdB = 90 dB à une distance
r = 1 m.
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Isolation phonique
Un mur est modélisé par une membrane de masse volumique ρ et d'épaisseur e pouvant
coulisser sans frottement au voisinage de x = 0 dans un tuyau sonore de section S rempli
d'air à la température de 20◦ C de masse volumique ρ0 = 1, 2 kg.m−3 . Une onde sonore
progressive plane incidente se propage dans la zone x < 0 vers le mur. Elle est caractérisée
par un champ de vitesse vi = v0 exp j(ωt−kx). On cherche à déterminer les ondes transmise
et rééchie par le mur en x = 0.
1. Pour traiter le problème, on considère que la membrane, malgré son mouvement, peut
être considérée, vis à vis des ondes sonores, comme étant constamment en x = 0. À
quelle(s) condition(s) cette approximation est-elle valable ?
2. Écrire les conditions aux limites imposées aux ondes sonores par la présence de la
membrane.
3. Donner la forme des ondes de pression et de vitesse du côté (1) (x < 0) et du côté
(2) (x > 0).
4. Dénir et déterminer le coecient complexe de transmission en vitesse τ (jω), puis
celui en puissance T (ω).
5. Commenter le type de ltre obtenu au vu de la fonction de transfert τ (jω). Donner
l'expression de sa fréquence de coupure.
6. Pour ρ = 1 800 kg.m−3 , quelle est l'épaisseur du mur permettant une atténuation de
40 dB à 400 Hz ?
7. Quels instruments de musique entend-on le mieux à travers un mur ?
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Amortissement par rayonnement
On considère un tuyau sonore de section constante S et d'axe Ox s'étendant entre les
abscisses x = 0 et l'inni. Ce tuyau est rempli d'air de masse volumique µ0 où la célérité
du son vaut c. Il est fermé par un piston de masse m mobile sans frottement : À l'instant
t = 0, on lance le piston, initialement en x = 0, vers les x croissants avec une vitesse u0
et on constate qu'il s'arrête après avoir parcouru une distance nie qu'on supposera faible
devant toute distance caractéristique du problème, de telle sorte que l'abscisse du piston
reste approximativement nulle.
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À un instant quelconque, on note u(t) la vitesse du piston. A droite, le mouvement du
piston engendre une onde sonore décrite par la surpression p1 (x, t) et le champ des vitesses
v1 (x, t). Pour simplier, on néglige l'onde émise vers la gauche, c'est à dire qu'on suppose
que la pression y reste uniforme, égale à p0 .
1. Écrire les conditions aux limites sur le piston, et en exploitant la notion d'impédance
d'une onde sonore progressive et plane, en déduire l'expression de u(t). Dénir un
temps caractéristique τ et commenter ses variations avec m et S .
2. En déduire l'expression de v1 (x, t) et la représenter graphiquement à un instant t > 0
donné.
3. Établir l'expression de l'énergie de l'onde sonore à l'instant t et interpréter le résultat.
4. On suppose désormais le tuyau ni, de longueur L cτ . Représenter le graphe de
v1 (x, t) à un instant t légèrement supérieur à L/c. Que se passe-t-il qualitativement
ensuite ?
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Onde sonore dans un pavillon
On étudie la propagation d'une onde acoustique dans un pavillon à symétrie de révolution autour d'un axe Ox et se section variable S(x).
Le uide supposé parfait, est caractérisé à l'équilibre par la pression p0 et la masse
volumique µ0 . En présence d'une onde acoustique, la pression vaut p(x, t) = p0 + pa (x, t),
la masse volumique µ(x, t) = µ0 + µa (x, t) et la vitesse ~va (x, t). On se place dans l'approximation acoustique et note χS le coecient de compressibilité isentropique du uide.
On suppose le problème unidimensionnel avec un champ de vitesse écrit en notation
complexe sous la forme ~v a = v0 exp i(kx − ωt) ~ex .
1. Pourquoi cette expression du champ des vitesse ne peut-elle être qu'approximative ?
Les variations de la section du paillon sont décrites par S(x) = S0 exp xa , où a est
une longueur caractéristique.
Quelle condition la longueur d'onde λ doit-elle vérier pour que l'expression proposée
du champ des vitesses soit acceptable ?
Réaliser un bilan de masse portant sur une tranche [x, x + dx] xe découpée par la
pensée dans le pavillon. En déduire une relation entre le champ de vitesse et le champ
de masse volumique.
Établir l'équation d'onde vériée par le champ de vitesse.
En déduire la relation de dispersioné :
2.
3.
4.
5.
k 2i
k
ω2
= 2
a
c
où c est la célérité du son dans le même uide mais en dehors du pavillon (espace
illimité).
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6. Montrer que le pavillon ne permet la propagation d'onde sonore que si leur fréquence
est supérieure à une fréquence de coupure fc dont on donnera l'expression en fonction
de a et c.
7. Dans le cas où il y a propagation, calculer l'intensité et la puissance sonore traversant
la section S(x) du pavillon.
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