Noter - SCIL

Propriétés des transformées de Fourier
Quelques démonstrations. Le reste des propriétés peut être démontré de façons
analogues.
Autres notations dans les transformées de Fourier:
En posant !=2"f :
$
TF [ g (t )] & G ( f ) &
# g ( t )e
% i 2"ft
$
# g ( t )e
dt ' G (! ) &
%$
% i!t
dt
%$
!=2"f, d!=2"df ! df=d!/2":
$
g (t ) & TF (G ( f )) & # G ( f )e
%1
i 2"ft
%$
$
1
df ' g(t) & # G (! )e d! / 2" &
2"
%$
i!t
$
# G(! )e
i!t
d!
%$
Linéarité:
a1g1(t) + a2g2(t) ( a1G1(f) + a2G2(f)
TF +a1 g1 (t ) - a2 g 2 (t ), &
$
# +a g (t ) - a g (t ),e
1 1
2
% i 2"ft
2
dt
%$
$
&
# a g ( t )e
% i 2"ft
1 1
$
dt - # a2 g 2 (t )e %i 2"ft dt & a1G1 ( f ) - a2G2 ( f )
%$
%$
Symétrie:
$
g (t ) &
$
i 2"ft
# G( f )e df .
Changer t ( -t ) g (%t ) &
%$
# G ( f )e
% i 2"ft
df
%$
$
En interchangeant t et f: g ( % f ) & # G (t )e %i 2"ft dt & TF (G (t ))
%$
Échelle du temps:
!!"#" #
$
TF [ g ( at )] &
$
$%$
(
&' )
# g (at )e
%
% i 2"ft
dt
avec a * R*.
x = at ) dx = adt ) dt = dx/a
%$
$
Si a > 0: FT [ g ( at )] &
1
1
g ( x )e %i 2"fx / a dx & G ( f / a )
#
a %$
a
C'est l'argument de l'exponentiel qui donne l'argument de G.
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 48/138
Si a < 0: FT [ g (at )] &
FT [ g (at )] &
1
a
%$
% i 2"fx / a
dx &
# g ( x )e
$
$
1
1
g ( x)e % i 2"fx / a dx & G ( f / a )
#
% a %$
a
1
G ( f / a)
a
Parité:
G(!) est la transformée de Fourier de g(t)
Si g(t) est réelle et paire ) G(!) est réelle et paire
Si g(t) est réelle et impaire ) G(!) est imaginaire et impaire
Si G(!) est réelle et positive ) elle fait un angle 0 avec l'axe des réels ) la phase vaut
zéro (.(!) = 0).
Si G(!) est réelle et négative ) elle fait un angle de ± " avec l'axe des réels ) la phase
vaut ± " (.(!) = ± ").
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 49/138
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 50/138
La fonction de Dirac /
La fonction de Dirac / peut être définie comme la dérivée de la fonction de Heaviside qui
est définie comme:
30
0
H (t ) & u (t ) & 2 1
2
0
11
si t 5 0
si t & 0
si t 4 0
et /(x) est définie comme:
3$ si x & 0
/ ( x) & 2
10 si x 6 0
<
31 si i & j9
7
: / de Kronecker / ij & 2
:
7
10 si i 6 j 8
;
Figure. Fonction de Dirac /.
Les propriétés de /(x):
$
# / ( x)dx & 1
%$
$
# f ( x)/ ( x)dx & f (0)
%$
$
# f ( x)/ ( x % a)dx & f (a)
%$
/ (ax) &
1
/ ( x)
a
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 51/138
Le peigne de Dirac ou train d'impulsions:
/ T (t ) &
$
= / (t % nT )
n & %$
Figure. Peigne de Dirac ou train d'impulsions.
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 52/138
Transformées de Fourier généralisées
Certaines fonctions ne sont pas de carrés intégrables:
$
# g (t )
2
dt & $
%$
c'est le cas des fonctions périodiques comme le sinus et le cosinus, la fonction de
Heaviside, une constante etc....
30
0
Fonction de Heaviside: H (t ) & u (t ) & 2 1
2
0
11
si t 5 0
si t & 0
si t 4 0
Par définition, une fonction généralisée à progrès lent g(t) est une fonction associée à une
fonction symbolique .(t) qui décroît rapidement:
$
g (t ),. (t ) &
# g (t ). (t )dt
%$
Pour calculer les transformées de Fourier de fonctions généralisées, on utilise la formule
de Parseval.
La formule de Parseval
$
#
$
# F ( x) g ( x)dx
f ( x)G ( x)dx &
%$
%$
Celle-ci peut être démontrée de la façon suivante, en utilisant les transformées de Fourier:
$
F ( y) &
# f ( x )e
% ixy
dx
%$
$
G( x ) &
# g ( y )e
%ixy
dy
%$
$
#
%$
$
#
%$
$
@
C$
f ( x)G ( x)dx & # f ( x) A # g ( y )e %ixy dy >dx
%$
?>
BA% $
$
@
C$
f ( x)G ( x)dx & # g ( y ) A # f ( x)e %ixy dx >dy
>?
AB% $
%$
$
#
%$
$
f ( x)G ( x)dx &
# g ( y)F ( y)dy
%$
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 53/138
et en changeant la variable y en x:
$
#
$
f ( x)G ( x)dx &
%$
# g ( x)F ( x)dx
%$
Cette équation peut se rapporter aux transformées de Fourier comme suit, en intégrant
sur !:
$
#
%$
$
f (! )TF [ g (t )]d! & # TF [ f (t )]g (! )d!
%$
ou bien, en intégrant sur t:
$
%1
# TF [ F (! )]G(t )dt &
%$
$
# F (t )TF
[G (! )]dt
%1
%$
Dans les deux cas, nous avons conservé la même variable ! ou t pour f et F et pour g et
G.
Exemple 1:
Trouver la TF d'une constante, soit g(t) = 1.
g(t) = 1 est à progrès lent.
En utilisant la formule de Parseval avec la fonction rapidement décroissante .(t):
Soit la formule de Parseval:
$
$
%$
%$
# G( x). ( x)dx &
# g ( x)D( x)dx
qui devient:
$
$
%$
%$
$
$
# G(! ). (! )d! & # g (t )D(t )dt
@
C$
% i!t
G
!
.
!
d
!
t
dt
t
e
dt
(
)
(
)
(
)
(
)
&
D
&
D
>
A
#
#
#
%$
%$
?>! & 0
BA% $
C$
@
& TF +D (t ),! & 0
A # D (t )e %i!t dt >
AB% $
>?! & 0
et par la propriété de la symétrie:
TF +D (t ),! & 0 & +2". (%! ),! & 0 & 2". (0)
$
Par la propriété de /(x):
# f ( x)/ ( x)dx & f (0)
%$
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 54/138
$
2". (0) & 2" # / (! ). (! )d!
%$
$
$
%$
%$
Finalement, en reprenant l'équation de départ
# G(! ). (! )d! & # g (t )D(t )dt
et en
$
remplaçant le second membre par le résultat précédent qui est 2" # / (! ). (! )d!
%$
$
$
%$
%$
# G(! ). (! )d! &2" # / (! ). (! )d!
et en identifiant le contenu des intégrales des deux membres de l'équation:
TF[g(t)] = G(!) = 2"/(!)
Noter que dans cet exemple nous avons conservé ! pour simplifier les écritures au lieu de
travailler avec 2"f.
Exemple 2:
Calculer la TF de /(t).
/(t) est une fonction généralisée à progrès lent.
Par définition:
$
soit
#
$
$
%$
%$
# G(! ). (! )d! & # g (t )D(t )dt
G (! ). (! )d! &
%$
$
# / (t )D(t )dt & D(0)
%$
$
$
C$
@
aussi D(0) & TF +. (t ),! &0 & A # . (t )e%i!t dt > & # . (t )dt & # . (! )d! par changement de
%$
B%$
?! & 0 % $
variable t " !.
$
ainsi
#
G (! ). (! )d! &
%$
$
#1. (! )d!
%$
et par identification:
FT +/ (t ), & G (! ) & 1
$
On aurait pu faire le calcul directement : FT[/ (t)] = # / (t )e %i!t dt & e %i!t
%$
t &0
&1
En conclusion, la TF d'une constante est une fonction /, et la TF d'une fonction / est une
constante.
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 55/138
Exemple 3:
Calculer la TF de g(t)=exp(i!ot)
g(t) peut être réécrite sous la forme g(t)=f(t)exp(i!ot). Par la propriété du décalage de la
fréquence: TF[f(t)exp(i!0t)] = F(!-!0). Et comme f(t) = 1, et de l’exemple 1 ci-dessus: TF[1]
= 2"/(!) ! TF[exp(i!ot)] = 2"/(!%!o). C’est un décalage de fréquence de la fonction /.
Exemple 4:
Calculer la TF de cos(!ot) et sin(!ot).
cos(!ot) = (exp(i!ot) + exp(-i!ot))/2
TF[cos(!ot)] = TF[(exp(i!ot) + exp(-i!ot))/2]
= "/(!%!o) + "/(!-!o)
Pour le sinus : TF[sin(!ot)] = -i"/(!%!o) + i"/(!-!o)
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 56/138
Quelques fonctions courantes et leur transformée de Fourier
Cours IMN 359. Automne 2010. Page 57/138
Transformée de Fourier à deux dimensions
Si l'on remplace 2"f par !, la paire de Fourier s'écrit:
G (! ) & FT ( g (t )) &
$
# g ( t )e
% i!t
dt
%$
$
g (t ) & FT %1 (G (! )) & # G (! )ei!t df
%$
Par analogie, on détermine les paires en 2 dimensions (2D):
$ $
G (u, v ) & TF ( g ( x, y )) &
# # g ( x , y )e
% i ( ux - vy )
dxdy
% $% $
%1
g ( x, y ) & TF (G (u, v )) &
$ $
1
( 2" )
2
# # G (u, v )e
i ( ux - vy )
dudv
% $% $
Exercices :
1. Calculer la TF de /(t-t0).
2. Calculer la TF de /(t+t0).
3. Montrer que TF[/(t+t0) + 2/(t) + /(t-t0)] = 4cos2(!t0/2).
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