Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 4

Université Bordeaux I
Master de Mathématiques 1ère année
Second semestre
Théorie algébrique des nombres
Feuille d’exercices n◦ 4
Rappel : Si K est un corps de nombres
de discriminant dK , de degré n = r1 + 2r2 ,
r
sa constante Minkowski vaut CK = π4 2 nn!n , et toute classe d’idéaux contient un idéal I
p
vérifiant N(I) ≤ CK |dK |.
Exercice 1. On note Z l’ensemble des éléments de C entiers sur Z.
(1) Montrer que pour
tout x ∈ Q, il existe d ∈ N>0 tel que dx ∈ Z (en particulier, on
a Q = Frac Z ).
(2) Montrer
√ que l’anneau Z n’est pas noethérien (on pourra considérer l’idéal engendré
2n
par
2 n∈N ).
(3) Soient K un corps de nombres et a ⊆ OK un idéal. Montrer qu’il existe un corps
de nombres L qui contient K et tel que aOL est principal.
(4) En déduire que Z est un anneau de Bézout, i.e. que tous ses idéaux de type fini
sont principaux.
Exercice 2. Soient K un corps de nombres tel que # Cl(OK ) = 2 et π ∈ OK irréductible
mais pas premier. Montrer que πOK = p1 p2 où p1 et p2 sont deux idéaux premiers non
nuls de OK (par forcément distincts).
√ Exercice 3.
(1) Soit K = Q i d avec d ∈ {3, 7, 11}. Montrer que hK = 1.
√ (2) Soit K = Q d avec d ∈ {3, 5, 6}. Montrer que hK = 1.
(3) Soit K = Q(α), où α ∈ C est une racine de X 3 + X − 1. Montrer que hK = 1.
√ Exercice 4.
(1) Soit K = Q i 43 . Montrer que OK est principal.
√ √ (2) Soit K = Q 3 2 . On a vu que OK = Z 3 2 . Montrer que OK est principal.
√ Exercice 5. Soit K = Q 10 . Montrer que hK = # Cl(OK ) = 2 (on montrera que
l’unique diviseur premier de 2 n’est pas principal).
√
√ Exercice 6. Soit K = Q i 23 . On pose α = 1+i2 23 .
(1) Soient p2 et p′2 les idéaux premiers au-dessus de 2, p3 et p′3 les idéaux premiers
au-dessus de 3. Montrer que Cl(K) est composé des classes {OK , p2 , p′2 , p3 , p′3 }. En
déduire que # Cl(K) ≤ 5.
(2) Montrer que ni p2 , ni p22 ne sont principaux, mais que p32 l’est (on pourra vérifier
que 2 − α en est un générateur). En déduire que hK = 3.
√
√ Exercice 7. Soit K = Q i 47 : on a OK = Z[α] avec α = 1+i2 47 . On se propose de
décrire le groupe Cl(OK ).
(1) Soit p l’idéal de OK engendré par 2 et α. Montrer que p et p sont premiers, que ce
sont les seuls idéaux de OK de norme 2 et que pp = 2OK .
1
2
(2) Montrer que si a est un idéal principal de OK , alors l’équation x2 + 47y 2 = 4 N(a) a
une solution dans (x, y) ∈ Z2 . En déduire que p, p2 , p3 et p4 ne sont pas principaux.
(3) Montrer qu’il existe deux idéaux principaux de norme 32. Donner la liste des idéaux
de norme 32 et montrer que p5 est principal.
(4) Montrer qu’il y a au plus huit idéaux entiers de norme inférieure ou égale à 4.
Calculer la constante de Minkowski de K, et en déduire que Cl(OK ) est cyclique
d’ordre 5.
(5) Soit q l’idéal de OK engendré par 3 et α. Calculer sa norme et déterminer les entiers
n tels que l’idéal pn q est principal.
√ Exercice 8. Soit K = Q i 21 . Montrer que Cl(K) ≃ (Z /2 Z)2 (on pourra utiliser le
√
fait que 2 + i 21 est de norme 25.)
√ Exercice 9.
(1) Montrer que pour d ∈ {1, 2, 3, 7, 11}, l’anneau des entiers de Q i d
est euclidien.
(2) Résoudre les équations diophantiennes suivantes :
(i) y 2 + 2 = x3 ;
(ii) y 2 + 4 = x3 ;
(iii) x2 + 7 = 2n .
Exercice 10. Le but de cet exercice est de montrer que les couples (17, ±70) sont les seules
solutions dans Z2 de l’équation
y 2 + 13 = x3
√ On pose K = Q i 13 et on note (x, y) ∈ Z2 une solution de l’équation.
(1) Montrer que x est impair,
√ que
y est pair et que 13 ne divise pas y.
(2) Montrer que OK = Z i 13 .
(3) Soit I un idéal de OK contenant des éléments a et b de Z premiers entre eux (en
tant qu’éléments de Z). Montrer
K . En déduire qu’il n’existe pas d’idéal
√ que I = O√
premier de OK contenant y + i 13 et y − i 13 (on pourra montrer qu’un tel idéal
premier contiendrait soit x et 2, soit y et 13).
√
(4) En déduire qu’il existe un idéal a de OK tel que l’idéal engendré par y + i 13
s’écrive a3 .
(5) Le but de cette question est de prouver que le groupe des classes d’idéaux de K est
de cardinal 2.
(i) Calculer le discriminant absolu de K, ainsi que le nombre de plongements réels
et complexes de K.
D’après la question précédente, la constante de Minkowski de K est < 5, ce qui
implique que toute classe d’idéaux de K contient un idéal de norme < 5.
(ii) Quels sont les idéaux de norme 1 ?
(iii) En calculant OK /2OK , montrer qu’il existe un unique idéal p de norme 2, que
l’on explicitera. Montrer que p est premier et que p2 = 2OK .
(iv) En calculant OK /3OK , montrer qu’il n’existe pas d’idéal de norme 3.
(v) Déduire de (iii) que 2OK est le seul idéal de norme 4 dans OK .
(vi) Conclure.
3
(6) Déduire des questions (4) et (5) qu’il existe (a, b) ∈ Z2 tels que
√ 3
√
y + i 13 = a + ib 13
(7) Conclure.
×
Exercice 11. Soit K un corps de nombres tel que le rang de OK
soit inférieur à 2. Quelles
sont les valeurs possibles pour le degré de K et quels sont les groupes possibles pour µK ?
Exercice
12. Soient n un entier tel que d√= n2 − 1 est sans facteur carré. √
Montrer que
√
n + d est une unité fondamentale de Q d (indication : supposer que n + d n’est pas
une unité
en déduire qu’il existe p un entier premier et u, v ∈ Z tels que
√ fondamentale,
√
p
u + v d = n + d, montrer que v ∈ {±1} et conclure).
Exercice 13. Soit K ⊂ R une extension de Q de degré 3 ayant un plongement réel (c’est
l’identité) et deux plongements complexes conjugués.
×
(1) Quel est le rang de OK
? Déterminer le groupe µK des racines de l’unité de K.
×
(2) Soit u ∈ OK positive. Montrer que NK/ Q (u) = 1.
×
(3) Soit u ∈ OK
avec u > 1. On note u2 et u3 les conjugués de u. On écrit u2 = exp(iθ)
x
2
avec x, θ ∈ R. Montrer que u3 = exp(−iθ)
et
u
=
x
.
En
déduire
une
expression
x
p
de | D(1, u, u2)| en fonction de x et de θ. On admettra que cela entraine que
|dK | ≤ 4u3 + 45.
√
(4) Application : on pose α = 3 2 et K = Q(α). On rappelle que OK = Z[α] et que
dK = −108. Montrer que u = 1 + α + α2 est une unité fondamentale de K.
Exercice 14. Soient K un corps de nombres et x ∈ K tel que (∀n ∈ N>0 ) (∃y ∈ K) x = y n .
Montrer que x ∈ {0, 1}.
Exercice 15. Soient
primitive n-ième de l’unité.
On pose K = Q(ζ),
∈ N>2 et ζ une racine2iπ/n
2π
−1
et L = Q ζ + ζ
(par exemple, si ζ = e
, on a L = Q cos n ).
(1) Calculer le nombre de plongements réels et le nombre de plongements complexes
de K.
(2) Mêmes questions pour L.
(3) Montrer, à partir de ce qui précède, qu’il existe un entier m > 0 tel que pour tout
×
u ∈ OK
, on ait um ∈ L.
Exercice 16. Soient K une extension cubique de Q et p un nombre premier. On suppose
que pOK = p1 p2 p3 où p1 , p2 et p2 sont des idéaux premiers deux-à-deux distincts. Soit
α ∈ OK tel que TrK/ Q (α) = 0 et α ∈ p1 p2 . Montrer que α ∈ pOK (indication : si α 6∈ Z,
donner la forme du polynôme minimal de α sur Q et montrer que ses coefficients non
dominants sont divisibles par p en utilisant la norme pour le coefficient constant puis les
valuations vpi pour i ∈ {1, 2, 3}).