Nom:...............................................Prénom:.........................................Date :.....................Classe:.......... CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint - A NB: Justifie tes réponses et détaille tes calculs partout où c'est demandé. Sois précis dans tes formulations, et utilise des phrases complètes. Assure-toi de répondre (uniquement) aux questions posées... Toutes les réponses doivent être fournies sur le questionnaire. C1 : /15 C2 : /13 C3 : /12 1. A quelles conditions peut-on écrire que √ a . √ c= √ a.c ? C1: /2 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2. Vrai ou faux ? Rectifie ce qui est faux C1: /3 2 + a) ∀b ∈ℝ : ( √ b ) =b ....................................................................................................... 2 b) ∀b ∈ℝ : √ b =b ....................................................................................................... 2 c) ∀b ∈ℝ : √ b =−b ....................................................................................................... 3. Vrai ou faux ? On ne considère que des angles orientés correctement C1: /4 représentés sur le cercle trigonométrique. Attention, une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse coûte un demi-point et une abstention ne rapporte ni ne coûte rien. a) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté d'amplitude α tel que sin α = x. Vrai – Faux π b) Pour tout angle orienté α différent de 2 +k π , il est possible de trouver un angle orienté distinct qui possède la même tangente. Vrai – Faux c) Pour tout angle orienté d'amplitude α, je peux trouver un réel x tel que tan α = x. Vrai – Faux d) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui possède le même sinus. Vrai – Faux 4. Définis : C1: /6 a) Racine carrée d'un réel : ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... b) Sinus d'un angle orienté : ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... (suite au verso!) CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 1 5. Résous (et exprime correctement la solution!) : C2: /5 2 a) ( x−2)( x+4)=4−x ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... b) 3 x+5<6−2 x ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 6. Dans le repère ci-dessous, place (aussi précisément que possible) et C2: /3 donne les coordonnées (exactes) du point A qui représente un angle d'une amplitude de 2π/3 radian dans le cercle trigonométrique. A(..................;................) 7. On donne sin(131°) = ¾. Calcule, si possible, cos(131°) et cos(-49°) C2: /5 ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 2 8. La grande roue du Millénaire de Londres a un diamètre de 160 mètres et C3: /5 en 15 secondes, les nacelles parcourent 100 mètres. Quelle est l'amplitude en degrés de l'angle parcouru par la roue pendant ces 15 secondes ? Aide-toi d'un schéma, et donne une réponse exacte et une réponse approximative à 10° près. ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 9. Classe par ordre croissant les nombres suivants : π 11π 2π . 0 ; 1 ; cos 10° ; cos 70° ; cos 340° ; tan ; sin 3 ; tan – 20 3 Aide-toi d'un cercle trigonométrique pour établir ta réponse (ci-dessous) C3: /7 ...............<................<................<................<................<................<................<................ Bonus : Combien existe-t-il sur le cercle trigonométrique de paires d’angles orientés distincts qui soient à la fois opposés et anti-supplémentaires ? Justifie ta réponse, et identifie les angles (s'il en existe). ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... Bon travail ! Quelques cercles trigonométriques à utiliser pour supporter vos réflexions.... CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 3 CS Intermédiaire de Toussaint - Corrigé - A Question 1 Question 2 a) Vrai b) Faux : ∀b ∈ℝ : √b 2=∣b∣ c) Vrai : ∀b ∈ℝ : √b 2=∣b∣ En particulier si b <0, |b| = -b Question 3 a) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté α tel que sin α = x. Faux : il faut que x soit compris entre -1 et 1. π b) Pour tout angle orienté d'amplitude α différent de 2 +k π , il est possible de trouver un angle orienté distinct qui possède la même tangente. Vrai. Il y a toujours deux angles orientés dont les côtés extrémités ont la même intersection avec l'axe des tangentes. c) Pour tout angle orienté d'amplitude α, je peux trouver un réel x tel que tan α = x. π Faux : si α = 2 +k π , il n'y a aucun réel tel que tan α = x. d) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui possède le même sinus. Faux. Il n'y a qu'un seul angle dont le sinus vaut 1 par exemple. Question 4 Voir cours. Question 5 ( x−2)( x+4)=4−x 2 ⇔( x−2)( x+4)−(4−x 2 )=0 ⇔( x−2)( x+4)−( 2−x )(2+x )=0 a) ⇔( x−2)( x+4)+( x−2)( 2+ x)=0⇔(x −2) (( x+4)+( x+2) )=0 ⇔( x−2)(2x+6)=0⇔ 3( x−2)( x+3)=0 ⇔ x=2 ou x=−3 S ={−3 ; 2} 3 x−5<6+5 x ⇔3 x−5 x<6+5 ⇔−2 x<11 ⇔ x >− b) S =]− 11 2 11 ;→ 2 CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 4 Question 6 Question 7 cos 2 131° =1−sin 2 131 ° =1− 9 7 = 16 16. 131 ° ∈ QII ⇒ cos 131 °≤0 7 cos 131° =− √ 4 On remarque que 131° et – 49° sont des amplitudes d'angles anti-supplémentaires. Donc cos(-49°) = - cos(131°). 7 cos−49 °= √ 4 Question 8 100=r. θ=80 .θ ⇔θ= 100 5 5 360 ° 5. 360 ° 5 . 45 ° 225° = rad ≡ . = = π = π ≈75 ° 80 4 4 2π 8π Question 9 tan 11π √3 < cos 340° < cos 10° < 1 < tan – 2 π < 0 < cos 70° < sin π = 20 3 3 2 Bonus Dans une telle paire, les points représentant les angles doivent être symétriques par rapport à l'origine (puisque les angles sont antisupplémentaires) et par rapport à l'axe X (puisque les angles sont opposés). Seuls les points réprésentant π/2 et - π/2 répondent à ces conditions. Ils représentent donc la seule paire CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 5 de tels angles. CS Intermédiaire de mathématiques 4M5 - Toussaint – A - 15/11/11 6