Exposé 4 : Description mathématique d’une expérience aléatoire : Ensemble des événements élémentaires, événements, probabilité (On se limitera au cas où l’ensemble des événements élémentaires est fini.) Pré requis : - language ensembliste récurrence (pour une démonstration) Cadre : Soit Ω un ensemble fini 1) Expérience aléatoire a) Définitions Expérience aléatoire : expérience reproductible dont le résultat est a priori incertain. On la modélise par l’ensemble des issues w , appelé univers et noté Ω . Exemple : pile ou face, jeu de dés, tirage au loto. Exemple 1 : 3 lancers d’une pièce équilibrée. Ω = {PPP, PPF , PFP, FPP, PFF , FPF , FFP, FFF } Ω ' = {0,1, 2,3} (nombre de " pile ") b) Notion d’évènements Un événement lié à une expérience aléatoire sera représenté par le sousensemble de Ω constitué des issues qui le réalisent. L’ensemble des événements est noté℘(Ω) . Exemple : obtenir un cœur dans un jeu de carte A ∪ B ( B ⊂ Ω) Terminologie : notation terminologie Ensemble Ensemble vide ∅ Partie A (⊂ Ω ) a (∈ Ω) Elément Singleton {a } Complémentaire de A A Union A ∩B Intersection A ∩B = ∅ Parties disjointes Ω terminologie probabiliste Univers (et événement certain) Evénement impossible Evénement Eventualité Evénement élémentaire Evénement contraire de A A ou B A et B Evénements imcompatibles 2) Notion de probabilité a) Définition et propriétés Définition : On appelle probabilité sur Ω (fini) toute application P de ℘(Ω) dans [ 0,1] vérifiant : P (Ω) = 1 Si A ∩ B = ∅ alors P( A ∪ B) = P( A) + P( B) Propriétés : Soit P une probabilité de Ω . P (∅ ) = 0 i. ii. ∀A ∈℘(Ω), P ( A) = 1 − P ( A) iii. Si A ⊂ B, P ( B \ A) = P ( B ) − P ( A) et P ( A) ≤ P ( B ) iv. ∀A et B, P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) Preuve : i. On a Ω ∩ ∅ = ∅ donc P (Ω ∪ ∅) = P (∅ ) + P (Ω) or Ω ∪ ∅ = Ω D’où P (Ω) = P (∅) + P (Ω) d’où P (∅) = ∅ ii. A ∩ A = ∅ donc P ( A ∪ A) = P ( A) + P ( A) iii. iv. D’où P (Ω) = 1 = P ( A) + P ( A) et P ( A) = 1 − P ( A) Soient A et B tels que A ⊂ B ,on a B = A ∪ ( B \ A) A ∩ ( B \ A) = ∅ donc P ( B ) = P ( A ∪ ( B \ A)) = P ( A) + P ( B \ A) D’où P ( B \ A) = P ( B ) − P ( A) Une probabilité étant toujours positive, on a P ( B ) ≥ P ( A) A ∪ B = A ∪ ( B \ ( A ∩ B )) A ∩ ( B \ ( A ∩ B )) = ∅ Avec ( A ∩ B ) ⊂ B d’où le résultat Exercice : calculer P ( A ∪ B ∪ C ) b) Détermination d’une probabilité Proposition : soit Ω = {w1 ,..., wn } i. Si P est une probabilité de Ω et qu’on note pi les probabilités P({wi }) , on a, ∀i ∈ {1,..., n} n pi ≥ 0 et ∑ pi = 1 i =1 ii. Soient p1 ,… , pn tel que ∀i ∈ {1,..., n} pi ≥ 0 et n ∑p i = 1 alors il existe une i =1 unique probabilité P sur Ω telle que ∀i ∈ {1,..., n} P({wi }) ≥ pi et dans ce cas, n pour tout A de ℘(Ω) on a P ( A) = ∑ pi (*) i =1 Preuve : que tous les pi soient positifs est immédiat (ce sont des probabilités) i. n Comme Ω = ∪{wi } et que les {wi } sont deux a deux disjoints : i =1 n n n i =1 i =1 P (Ω) = P (∪ {wi }) = ∑ P ({wi }) = ∑ pi = 1 car P (Ω) = 1 i =1 ii. Sous les conditions données, on définit une application P de ℘(Ω) dans [ 0,1] a l’aide de l’égalité (*). On vérifie que c’est bien une probabilité. On a : n P (Ω) = ∑ p =∑p i wi∈Ω i =1 i =1 Et pour tout A et B inclus dans Ω tel que A ∩ B = ∅ P ( A ∪ B ) = ∑ pi = ∑ pi + ∑ pi = P ( A) + P ( B) wi∈ A∪ B wi∈ A wi∈B D’où l’existence de la probabilité. L’unicité est immédiate (comme tout événement A est réunion disjointe des évènements élémentaires qui le composent, une probabilité P est entièrement caractérisée par la donnée des P ({wi }) . c) Equiprobabilité Définition : Il y a équiprobabilité si ∀i ∈ {1,..., n} P({wi }) = Proposition : En cas d’équiprobabilité, P ( A) = 1 n Card ( A) Card (Ω) Exercice : les anniversaires (on a besoin des combinatoires) Une classe de 34 élèves. Quelle est la probabilité que deux enfants aient leurs anniversaires le même jour ? Résolution : Ω = ensemble de 34 listes formées des 365 jours. On suppose qu’il y a équiprobabilité. Card (Ω) = 36534