Devoir maison - PCSI

PCSI : mathématiques
2016-2017
Devoir maison
(À rendre le mercredi matin 16 novembre)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte
dans l’évaluation de la copie.
Problème.
Partie I : Nombres de Mersenne
1. a) Soit a > 2 et n > 2 deux entiers naturels. Supposons que an − 1 est premier. Montrer
que a = 2.
b) Pour n ∈ N, on pose Mn = 2n − 1. Montrer que si Mn est premier, alors n est premier.
(Indication : factoriser 2kl − 1)
2. Montrer que M2 , M3 , M5 , M7 sont premiers.
3. M11 est-il premier ?
Les nombres de la forme 2p − 1, pour p premier, sont appelés nombres de Mersenne. Le plus
grand nombre premier actuellement connu est M74207281 , il comporte 22338618 chiffres.
Partie II : Nombres parfaits
1. Soit r ∈ N∗ , soient k1 , k2 , . . . , kr et α1 , α2 , . . . , αr des entiers naturels non nuls. Montrer que
X
k1β1 k2β2 . . . krβr =
r
Y
(1 + ki + ki2 + · · · + kiαi ).
i=1
06β1 6α1
...
06βr 6αr
(Indication : on peut raisonner par récurrence)
2. Pour tout entier naturel non nul n, on note σ(n) la somme des diviseurs de n.
a) Si p est premier, que vaut σ(p) ?
b) Pour n > 2, exprimer σ(n) en fonction des termes intervenant dans la décomposition en
facteurs premiers de n.
3. Montrer que si n et m sont premiers entre eux alors σ(nm) = σ(n)σ(m).
4. On dit qu’un entier naturel non nul n est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs
autres que lui-même (c’est-à-dire si n = σ(n) − n) . Soit p un nombre premier. Si Mp est
premier, montrer que 2p−1 Mp est parfait.
Réciproquement, les nombres parfait pairs sont de la forme évoquée à la question 4. On ne
connaît aucun nombre parfait impair, on ne sait même pas s’il en existe. En revanche, on sait que
s’il en existe un, alors il a au moins 300 chiffres et 9 facteurs premiers distincts dont le plus grand
est supérieur à 108 .
Partie III : Nombres de Fermat
1. a) Soit j un entier naturel impair. Factoriser 2j + 1.
b) Soit n ∈ N∗ . En déduire que si 2n + 1 est un nombre premier, alors n est une puissance
de 2.
k
2. Pour k ∈ N, on pose Fk = 22 + 1.
a) Calculer F0 , F1 , F2 , F3 , F4 . Sont-ils premiers ?
b) Montrer que pour tout entier naturel k, Fk − 2 =
k−1
Q
Fi .
i=0
c) En déduire que les entiers (Fk )k∈N sont premiers entre eux deux à deux.
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d) Utiliser la question précédente pour donner une autre démonstration du fait qu’il existe
une infinité de nombres premiers (théorème d’Euclide).
Les nombres Fk sont appelés nombres de Fermat.
Exercice (Nombre de surjections). Si n et p sont des entiers naturels non nuls, on notera Snp le
nombre de surjections de J1, nK sur J1, pK.
1. a) Que vaut Snp si p > n ?
b) Pour n > 1, calculer Snn et Sn1 , puis, pour n > 2, calculer Sn2 et Snn−1 .
2. Quel est le cardinal de l’ensemble des applications de J1, nK dans J1, pK ? Montrer que
p
q
P
p
pn =
q Sn .
q=0
3. a) En considérant qu’une surjection de J1, nK sur J1, pK peut ou non réaliser une surjection
p
p−1
de J1, n − 1K sur J1, pK, montrer que Snp = p(Sn−1
+ Sn−1
).
b) Dresser un “triangle de Pascal” des coefficients Snp pour n, p inférieurs à 6.
4. Application. Dans un (in)certain pays, chaque fois que l’on implante une grande surface
de chez LARNAC, les dirigeants doivent verser un dessous de table à l’un des quatre partis
de la coalition au pouvoir. Chaque parti de la coalition touche au moins un dessous de
table. LARNAC a décidé d’implanter 6 grandes surfaces dans ce merveilleux pays. Combien
y a-t-il de répartition possibles des 6 pots-de-vins ?
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